💡 11. Sınıf Matematik: İkinci Derece Fonksiyonların Grafikleri Çözümlü Örnekler

İkinci derece fonksiyonların grafikleri parabol şeklindedir.

• Fonksiyon: \( f(x) = x^2 - 4 \)
• Tepe Noktası: Bu fonksiyon \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formatında olup, burada \( a=1 \), \( b=0 \) ve \( c=-4 \)'tür. Tepe noktasının x-koordinatı \( x_v = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur. Bu durumda \( x_v = -\frac{0}{2 \times 1} = 0 \) olur.
• Tepe noktasının y-koordinatı için \( f(x_v) \) hesaplanır: \( f(0) = 0^2 - 4 = -4 \).
• Dolayısıyla tepe noktası T(0, -4)'tür.
• Y eksenini Kestiği Nokta: \( x=0 \) için \( f(0) = -4 \). Nokta: (0, -4).
• X eksenini Kestiği Noktalar (Kökler): \( f(x) = 0 \) eşitliğini çözeriz: \( x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \). Noktalar: (-2, 0) ve (2, 0).
• Grafik Yorumu: Parabol, tepe noktası (0, -4) olan ve x eksenini (-2, 0) ve (2, 0) noktalarında kesen, yukarı doğru açılan bir paraboldür (çünkü \( a=1 > 0 \)).

Bu fonksiyonun grafiği de bir paraboldür.

• Fonksiyon: \( g(x) = -x^2 + 6x - 5 \)
• Tepe Noktası: \( a=-1 \), \( b=6 \), \( c=-5 \).
• Tepe noktasının x-koordinatı: \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \).
• Tepe noktasının y-koordinatı: \( g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \).
• Tepe noktası T(3, 4)'tür.
• Y eksenini Kestiği Nokta: \( x=0 \) için \( g(0) = -(0)^2 + 6(0) - 5 = -5 \). Nokta: (0, -5).
• X eksenini Kestiği Noktalar (Kökler): \( -x^2 + 6x - 5 = 0 \). Denklemi \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) olarak yazabiliriz. Çarpanlara ayırarak: \( (x-1)(x-5) = 0 \). Kökler \( x=1 \) ve \( x=5 \). Noktalar: (1, 0) ve (5, 0).
• Grafik Yorumu: Parabol, tepe noktası (3, 4) olan ve x eksenini (1, 0) ve (5, 0) noktalarında kesen, aşağı doğru açılan bir paraboldür (çünkü \( a=-1 < 0 \)).

Tepe noktası verilen bir parabolün denklemi \( h(x) = a(x-x_v)^2 + y_v \) şeklinde yazılabilir.

• Tepe Noktası: T(2, -3). Bu durumda \( x_v = 2 \) ve \( y_v = -3 \)'tür.
• Fonksiyonun genel formu: \( h(x) = a(x-2)^2 - 3 \).
• Y eksenini Kestiği Nokta: (0, 5). Bu nokta fonksiyonu sağlamalıdır.
• Fonksiyonda \( x=0 \) ve \( h(x)=5 \) değerlerini yerine koyalım: \( 5 = a(0-2)^2 - 3 \).
• Denklemi çözelim: \( 5 = a(-2)^2 - 3 \implies 5 = 4a - 3 \implies 8 = 4a \implies a = 2 \).
• Bulduğumuz \( a \) değerini genel formda yerine koyalım: \( h(x) = 2(x-2)^2 - 3 \).
• Bu ifadeyi \( ax^2 + bx + c \) formuna getirelim: \( h(x) = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5 \).
• Dolayısıyla fonksiyonun kuralı \( h(x) = 2x^2 - 8x + 5 \)'tir.

Bu problemde, topun havada izlediği yörünge bir parabol olup, yerden yüksekliği \( f(t) \) ile gösterilmiştir. En yüksek noktayı bulmak için parabolün tepe noktasını hesaplamamız gerekir.

• Fonksiyon: \( f(t) = -t^2 + 8t \). Bu, \( f(t) = at^2 + bt + c \) formundadır, burada \( a=-1 \), \( b=8 \) ve \( c=0 \)'dır.
• En Yüksek Noktaya Ulaşma Zamanı: Bu, parabolün tepe noktasının t-koordinatıdır. \( t_v = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
• \( t_v = -\frac{8}{2 \times (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4 \) saniye.
• Yani top, futbolcu vurduktan 4 saniye sonra en yüksek noktasına ulaşır.
• En Yüksek Yükseklik: Bu, tepe noktasının y-koordinatıdır, yani \( f(t_v) \) değeridir.
• \( f(4) = -(4)^2 + 8(4) = -16 + 32 = 16 \) metre.
• Bu en yüksek yükseklik 16 metre'dir.

Bu senaryoda, kar fonksiyonu bir paraboldür ve en yüksek karı bulmak için parabolün tepe noktasını hesaplamamız gerekiyor.

• Kar Fonksiyonu: \( K(x) = -x^2 + 100x - 1500 \). Burada \( a=-1 \), \( b=100 \) ve \( c=-1500 \)'dir.
• En Yüksek Karı Sağlayan Daire Büyüklüğü: Bu, parabolün tepe noktasının x-koordinatıdır. \( x_v = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
• \( x_v = -\frac{100}{2 \times (-1)} = -\frac{100}{-2} = 50 \) metrekare.
• Şirketin en yüksek karı elde etmesi için dairelerin büyüklüğü 50 metrekare olmalıdır.
• Elde Edilecek En Yüksek Kar: Bu, tepe noktasının y-koordinatıdır, yani \( K(x_v) \) değeridir.
• \( K(50) = -(50)^2 + 100(50) - 1500 = -2500 + 5000 - 1500 = 1000 \) TL.
• Bu durumda elde edilecek en yüksek kar 1000 TL'dir.

Verilen fonksiyon bir ikinci derece fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür.

• Fonksiyon: \( f(x) = 2x^2 + 4 \). Bu, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formatında olup, \( a=2 \), \( b=0 \) ve \( c=4 \)'tür.
• Tepe Noktası: Tepe noktasının x-koordinatı \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \times 2} = 0 \)'dır.
• Tepe noktasının y-koordinatı \( f(0) = 2(0)^2 + 4 = 4 \)'tür.
• Dolayısıyla tepe noktası T(0, 4)'tür.
• Kolların Yönü: Katsayı \( a=2 \) olduğundan ve \( a > 0 \) olduğundan, parabolün kolları yukarı doğrudur.

Bu fonksiyonun grafiği de bir paraboldür.

• Fonksiyon: \( h(x) = -3x^2 - 6x + 9 \).
• Tepe Noktası: \( a=-3 \), \( b=-6 \), \( c=9 \).
• Tepe noktasının x-koordinatı: \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \times (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1 \).
• Tepe noktasının y-koordinatı: \( h(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) + 9 = -3(1) + 6 + 9 = -3 + 6 + 9 = 12 \).
• Tepe noktası T(-1, 12)'dir.
• X eksenini Kestiği Noktalar (Kökler): \( h(x) = 0 \) olmalıdır. \( -3x^2 - 6x + 9 = 0 \).
• Denklemi 3'e bölerek sadeleştirelim: \( -x^2 - 2x + 3 = 0 \).
• Denklemi \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) olarak da yazabiliriz. Çarpanlara ayırarak: \( (x+3)(x-1) = 0 \).
• Kökler \( x=-3 \) ve \( x=1 \). Noktalar: (-3, 0) ve (1, 0).

Bu problemde, toplam gelir fonksiyonu bir paraboldür ve maksimum geliri bulmak için parabolün tepe noktasını hesaplamamız gerekir.

• Gelir Fonksiyonu: \( G(x) = -2x^2 + 80x \). Burada \( a=-2 \), \( b=80 \) ve \( c=0 \)'dır.
• Maksimum Geliri Elde Etmek İçin Satış Fiyatı: Bu, parabolün tepe noktasının x-koordinatıdır. \( x_v = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
• \( x_v = -\frac{80}{2 \times (-2)} = -\frac{80}{-4} = 20 \) TL.
• Firmanın maksimum geliri elde etmesi için satış fiyatı 20 TL olmalıdır.
• Elde Edilecek Maksimum Gelir: Bu, tepe noktasının y-koordinatıdır, yani \( G(x_v) \) değeridir.
• \( G(20) = -2(20)^2 + 80(20) = -2(400) + 1600 = -800 + 1600 = 800 \) TL.
• Bu durumda elde edilecek maksimum gelir 800 TL'dir.

Su kemerinin şekli bir parabol olduğundan, en yüksek noktayı bulmak için parabolün tepe noktasını hesaplamamız gerekir.

• Yükseklik Fonksiyonu: \( h(x) = -0.1x^2 + 2x \). Burada \( a=-0.1 \), \( b=2 \) ve \( c=0 \)'dır.
• Suyun En Yüksek Noktaya Ulaştığı Yatay Mesafe: Bu, parabolün tepe noktasının x-koordinatıdır. \( x_v = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
• \( x_v = -\frac{2}{2 \times (-0.1)} = -\frac{2}{-0.2} = 10 \) metre.
• Suyun döküldüğü en yüksek noktaya ulaştığı yatay mesafe 10 metre'dir.
• Suyun En Yüksek Yüksekliği: Bu, tepe noktasının y-koordinatıdır, yani \( h(x_v) \) değeridir.
• \( h(10) = -0.1(10)^2 + 2(10) = -0.1(100) + 20 = -10 + 20 = 10 \) metre.
• Suyun en yüksek yüksekliği 10 metre'dir.