💡 11. Sınıf Matematik: İki doğrunun paralelliği Çözümlü Örnekler

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. 📌 1. Verilen \( d_1 \) doğrusunun denklemini \( y = mx + n \) formuna getirerek eğimini bulalım: \[ 2x - 3y + 5 = 0 \] \[ 3y = 2x + 5 \] \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \] Buradan \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = \frac{2}{3} \) olur. 2. Paralel olan \( d_2 \) doğrusunun eğimi de \( m_2 = m_1 = \frac{2}{3} \) olacaktır. 3. \( A(1, 2) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{2}{3} \) olan doğrunun denklemini noktanın analitik düzlemdeki koordinatlarını kullanarak yazalım: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 2 = \frac{2}{3}(x - 1) \] 4. Denklemi düzenleyelim: \[ 3(y - 2) = 2(x - 1) \] \[ 3y - 6 = 2x - 2 \] \[ 2x - 3y + 4 = 0 \] Bu, \( A(1, 2) \) noktasından geçen ve \( d_1 \) doğrusuna paralel olan doğrunun denklemidir. ✅

1. Verilen \( y = -x + 7 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = -1 \) 'dir. 2. Bu doğruya paralel olan doğrunun eğimi de \( m_2 = -1 \) olacaktır. 3. \( B(-2, 3) \) noktasından geçen ve eğimi \( -1 \) olan doğrunun denklemini yazalım: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 3 = -1(x - (-2)) \] \[ y - 3 = -(x + 2) \] \[ y - 3 = -x - 2 \] 4. Denklemi standart forma getirelim: \[ x + y - 3 + 2 = 0 \] \[ x + y - 1 = 0 \] Bu, istenen doğrunun standart denklemidir. ✨

İki doğrunun paralelliğini veya kesişimini anlamak için eğimlerine bakmalıyız. 🧐 1. \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 \): \[ 4y = -3x + 12 \] \[ y = -\frac{3}{4}x + 3 \] Buradan \( m_1 = -\frac{3}{4} \) olur. 2. \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 \): \[ 8y = -6x - 5 \] \[ y = -\frac{6}{8}x - \frac{5}{8} \] \[ y = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{8} \] Buradan \( m_2 = -\frac{3}{4} \) olur. 3. Eğimler eşit (\( m_1 = m_2 \)) olduğu için doğrular paraleldir. 4. Sabit terimleri karşılaştıralım: \( d_1 \) için \( C_1 = -12 \) ve \( d_2 \) için \( C_2 = 5 \). Sabit terimler farklı olduğu için doğrular çakışık değildir. Sonuç: \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paraleldir ve birbirinden farklıdır. 🤝

Paralel doğruların eğimleri eşittir. 📏 1. Birinci doğrunun eğimi \( m_1 \): \[ 2y = 3x + k \] \[ y = \frac{3}{2}x + \frac{k}{2} \] \( m_1 = \frac{3}{2} \) 2. İkinci doğrunun eğimi \( m_2 \): \[ 4y = 6x - 10 \] \[ y = \frac{6}{4}x - \frac{10}{4} \] \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \] \( m_2 = \frac{3}{2} \) 3. Eğimler eşit olduğu için doğrular paraleldir. 4. Paralel doğrular aynı zamanda çakışık olmamalıdır. Çakışık olmaları için \( Ax + By + C = 0 \) formatındaki denklemlerde katsayılar orantılı olmalı ve sabit terimler de aynı oranda olmalıdır. İkinci denklemi 2 ile çarparsak: \( 2(3x - 2y + k) = 0 \Rightarrow 6x - 4y + 2k = 0 \) Bu denklem \( 6x - 4y - 10 = 0 \) ile aynı olmalıdır. Katsayılar zaten \( (6, -4) \) olarak aynı. Sabit terimlerin de aynı olması gerekir: \[ 2k = -10 \] \[ k = -5 \] Eğer \( k = -5 \) olursa, denklemler çakışık olur. Ancak soruda sadece paralel oldukları belirtilmiş, çakışık oldukları belirtilmemiş. Bu durumda, \( k \) değeri \( -5 \) olmamalıdır. Eğer soru "çakışık" olmalarını isteseydi \( k = -5 \) olurdu. Paralel olmaları için eğimler eşit olmalı, bu da \( \frac{3}{2} \) 'dir. Sabit terimler farklı olmalı. Yani \( 2k \neq -10 \) olmalıdır. Bu da \( k \neq -5 \) anlamına gelir. Soruda bir değer bulmamız isteniyor. Genellikle bu tür sorularda, denklemlerin katsayıları arasındaki orantıdan \( k \) değeri bulunur ve bu değerin sabit terimler için farklı bir sonuç vermesi beklenir. Eğer denklemler \( Ax + By + C_1 = 0 \) ve \( Ax + By + C_2 = 0 \) şeklinde ise, paralel olmaları için \( C_1 \neq C_2 \) olmalıdır. İkinci doğruyu 2 ile çarparsak \( 6x - 4y - 10 = 0 \) olur. Birinci doğruyu da 2 ile çarparsak \( 6x - 4y + 2k = 0 \) olur. Paralel olmaları için \( 2k \neq -10 \) olmalıdır. Yani \( k \neq -5 \). Ancak soruda bir değer isteniyor. Bu durumda genellikle katsayı oranından \( k \) bulunur. \( \frac{3}{6} = \frac{-2}{-4} = \frac{k}{-10} \) olmalıdır. \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{k}{-10} \) Buradan \( \frac{1}{2} = \frac{k}{-10} \Rightarrow 2k = -10 \Rightarrow k = -5 \) bulunur. Bu durumda doğrular çakışık olur. Sorunun "paralel" demesi, çakışık olmayan paralel doğruları kastettiği varsayımıyla, \( k \) için bir değer bulmak yerine, \( k \) 'nın hangi değerde paralel olacağını soruyor. Eğer \( k = -5 \) ise doğrular çakışıktır. Çakışık doğrular aynı zamanda paralel kabul edilir. Bu nedenle \( k = -5 \) değeri, doğruların paralel olmasını sağlar. ✅

1. Birinci otobanın denklemi \( y = 2x + 3 \) olduğundan, eğimi \( m_1 = 2 \) 'dir. 2. İki otoban birbirine paralel olduğundan, ikinci otobanın eğimi de \( m_2 = m_1 = 2 \) olacaktır. 3. İkinci otobanın \( y \) eksenini kestiği nokta \( (0, -5) \) olduğundan, bu nokta doğrunun üzerindedir ve aynı zamanda \( y \) -kesenidir. Yani \( n = -5 \) 'tir. 4. İkinci otobanın denklemi \( y = m_2x + n \) formunda yazılır: \[ y = 2x - 5 \] 5. Sonuç olarak, birinci otobanın denklemi \( y = 2x + 3 \) ve ikinci otobanın denklemi \( y = 2x - 5 \) 'tir. Bu iki doğru paraleldir. 🚗💨

1. Birinci yolun denklemi \( 3x + 2y - 6 = 0 \) 'dır. Bu doğrunun eğimini bulalım: \[ 2y = -3x + 6 \] \[ y = -\frac{3}{2}x + 3 \] Birinci yolun eğimi \( m_1 = -\frac{3}{2} \) 'dir. 2. Yollar paralel olduğundan, ikinci yolun eğimi de \( m_2 = m_1 = -\frac{3}{2} \) olacaktır. 3. İkinci yol \( (4, 1) \) noktasından geçmektedir. Nokta-eğim formülünü kullanarak denklemi yazalım: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 1 = -\frac{3}{2}(x - 4) \] 4. Denklemi düzenleyerek standart forma getirelim: \[ 2(y - 1) = -3(x - 4) \] \[ 2y - 2 = -3x + 12 \] \[ 3x + 2y - 2 - 12 = 0 \] \[ 3x + 2y - 14 = 0 \] Bu, ikinci yolun denklemidir. 📍