🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Geometrik şekiller Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Geometrik şekiller Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları veriliyor. Bu iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📍
Analitik düzlemde \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları veriliyor. Bu iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📍
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak çözüme ulaşalım:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Değerleri yerine yazalım: \( x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = 7 \)
- \( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)
- \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
- \( d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \)
- ✅ Sonuç: \( d = 5 \) birim olarak bulunur.
Örnek 2:
Orta Nokta Koordinatları
Bir doğru parçasının uç noktaları \( A(-1, 4) \) ve \( B(7, 10) \) olarak verilmiştir. Bu doğru parçasının orta noktası olan \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Bir doğru parçasının uç noktaları \( A(-1, 4) \) ve \( B(7, 10) \) olarak verilmiştir. Bu doğru parçasının orta noktası olan \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Orta nokta koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:
- Orta noktanın x bileşeni: \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
- Orta noktanın y bileşeni: \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
- Değerleri yerleştirelim: \( x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
- Değerleri yerleştirelim: \( y = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- ✅ Sonuç: Orta nokta \( C(3, 7) \) olarak bulunur.
Örnek 3:
Doğrunun Eğimi ve Denklemi
\( A(1, 2) \) ve \( B(3, 6) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız. ✍️
\( A(1, 2) \) ve \( B(3, 6) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
Bir doğrunun denklemini yazmak için önce eğimini bulmalıyız:
- Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur.
- \( m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
- Doğru denklemi formülü: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
- \( A(1, 2) \) noktasını kullanalım: \( y - 2 = 2(x - 1) \)
- Denklemi düzenleyelim: \( y - 2 = 2x - 2 \)
- ✅ Sonuç: \( y = 2x \) veya \( 2x - y = 0 \) doğrusu elde edilir.
Örnek 4:
Noktanın Doğruya Uzaklığı
\( P(1, 2) \) noktasının \( 3x + 4y + 4 = 0 \) doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç birimdir? 📏
\( P(1, 2) \) noktasının \( 3x + 4y + 4 = 0 \) doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bir noktanın doğruya olan uzaklık formülünü uygulayalım:
- Uzaklık formülü: \( d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
- Burada \( a = 3, b = 4, c = 4 \) ve nokta \( (1, 2) \)'dir.
- \( d = \frac{|3(1) + 4(2) + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \)
- \( d = \frac{|3 + 8 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} \)
- \( d = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} \)
- ✅ Sonuç: Uzaklık \( 3 \) birimdir.
Örnek 5:
Çemberde Kiriş Özellikleri
Yarıçapı \( 10 \) birim olan bir çemberde, merkeze \( 6 \) birim uzaklıkta bulunan bir kirişin uzunluğu kaç birimdir? ⭕
Yarıçapı \( 10 \) birim olan bir çemberde, merkeze \( 6 \) birim uzaklıkta bulunan bir kirişin uzunluğu kaç birimdir? ⭕
Çözüm:
Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eş parçaya böler:
- Merkezden kirişe olan dik uzaklık \( 6 \) birimdir.
- Çemberin yarıçapı \( 10 \) birimdir.
- Merkez, dikme ayağı ve kirişin bir ucu bir dik üçgen oluşturur.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( 6^2 + x^2 = 10^2 \) (Burada \( x \) kirişin yarısıdır).
- \( 36 + x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8 \)
- Kirişin tamamı \( 2x \) olduğu için: \( 2 \times 8 = 16 \)
- ✅ Sonuç: Kiriş uzunluğu \( 16 \) birimdir.
Örnek 6:
Çemberde Açılar
Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü \( 80^\circ \) ise, bu yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü \( 80^\circ \) ise, bu yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Çemberde açı özelliklerini hatırlayalım:
- Merkez Açı: Gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Bu durumda yay ölçüsü \( 80^\circ \)'dir.
- Çevre Açı: Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Çevre açı \( = \frac{80^\circ}{2} \)
- ✅ Sonuç: Çevre açının ölçüsü \( 40^\circ \) olarak bulunur.
Örnek 7:
Çemberde Teğet Özellikleri
Bir çemberin dışındaki bir \( P \) noktasından çembere çizilen teğet parçasının uzunluğu \( 12 \) birimdir. Çemberin yarıçapı \( 5 \) birim olduğuna göre, \( P \) noktasının çemberin merkezine olan uzaklığı kaç birimdir? 🎯
Bir çemberin dışındaki bir \( P \) noktasından çembere çizilen teğet parçasının uzunluğu \( 12 \) birimdir. Çemberin yarıçapı \( 5 \) birim olduğuna göre, \( P \) noktasının çemberin merkezine olan uzaklığı kaç birimdir? 🎯
Çözüm:
Teğet ve yarıçap arasındaki ilişkiyi kullanalım:
- Çemberin merkezinden teğet değme noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.
- Merkez \( M \), teğet noktası \( T \) ve dış nokta \( P \) olsun.
- MTP bir dik üçgendir ve dik açı \( T \) köşesindedir.
- Dik kenarlar: \( MT = 5 \) (yarıçap) ve \( TP = 12 \) (teğet uzunluğu).
- Hipotenüs \( MP \), merkez ile nokta arasındaki uzaklıktır.
- Pisagor teoremi: \( MP^2 = 5^2 + 12^2 \)
- \( MP^2 = 25 + 144 = 169 \)
- \( MP = \sqrt{169} = 13 \)
- ✅ Sonuç: Uzaklık \( 13 \) birimdir.
Örnek 8:
Dairesel Pist ve Analitik Modelleme
Bir parktaki dairesel yürüyüş yolunun merkezi analitik düzlemde \( M(2, -1) \) noktası olarak modellenmiştir. Bu dairesel yolun üzerindeki bir nokta \( A(5, 3) \) olduğuna göre, bu yürüyüş yolunun toplam uzunluğu (çevresi) kaç birimdir? ( \( \pi \) sayısını olduğu gibi bırakınız.) 🏃♂️
Bir parktaki dairesel yürüyüş yolunun merkezi analitik düzlemde \( M(2, -1) \) noktası olarak modellenmiştir. Bu dairesel yolun üzerindeki bir nokta \( A(5, 3) \) olduğuna göre, bu yürüyüş yolunun toplam uzunluğu (çevresi) kaç birimdir? ( \( \pi \) sayısını olduğu gibi bırakınız.) 🏃♂️
Çözüm:
Yürüyüş yolunun çevresini bulmak için önce yarıçapı hesaplamalıyız:
- Yarıçap \( r \), merkez ile üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklıktır.
- \( r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} \)
- \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \) birim.
- Dairenin çevre formülü: Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)
- Çevre = \( 2 \times \pi \times 5 \)
- ✅ Sonuç: Yürüyüş yolunun uzunluğu \( 10\pi \) birimdir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-geometrik-sekiller/sorular