💡 11. Sınıf Matematik: Geometri Çözümlü Örnekler

Karenin köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz. Bir kenarı \( a \) olan karenin köşegeni \( d \) olsun.

• Karenin bir kenarı \( a = 6 \) cm'dir.
• Karenin köşegeni, kenarları \( a \) olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
• Pisagor teoremine göre: \( d^2 = a^2 + a^2 \)
• \( d^2 = 6^2 + 6^2 \)
• \( d^2 = 36 + 36 \)
• \( d^2 = 72 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( d = \sqrt{72} \)
• \( d = \sqrt{36 \times 2} \)
• \( d = 6\sqrt{2} \) cm

Sonuç olarak, karenin köşegen uzunluğu \( 6\sqrt{2} \) cm'dir. ✅

Paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:
\( d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
Burada doğruların denklemleri \( ax + by + c_1 = 0 \) ve \( ax + by + c_2 = 0 \) şeklindedir.

• Verilen denklemler: \( 2x + 3y - 5 = 0 \) ve \( 2x + 3y + 7 = 0 \)
• Burada \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c_1 = -5 \) ve \( c_2 = 7 \)'dir.
• Formülde yerine koyalım: \( d = \frac{|-5 - 7|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} \)
• \( d = \frac{|-12|}{\sqrt{4 + 9}} \)
• \( d = \frac{12}{\sqrt{13}} \)
• Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı \( \sqrt{13} \) ile çarparız: \( d = \frac{12\sqrt{13}}{13} \)

İki doğru arasındaki uzaklık \( \frac{12\sqrt{13}}{13} \) birimdir. 👉

Çemberin merkezinin koordinatları \( (h, k) = (2, -1) \) ve teğet doğrunun denklemi \( 3x - 4y + 10 = 0 \)'dır.
Çemberin yarıçapı (r), çemberin merkezinin teğet doğruya olan uzaklığına eşittir.
Bir \( (x_0, y_0) \) noktasının \( Ax + By + C = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı formülü: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

• Burada \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -1 \), \( A = 3 \), \( B = -4 \) ve \( C = 10 \)'dur.
• Yarıçapı hesaplayalım: \( r = \frac{|3(2) - 4(-1) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
• \( r = \frac{|6 + 4 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} \)
• \( r = \frac{|20|}{\sqrt{25}} \)
• \( r = \frac{20}{5} \)
• \( r = 4 \)

Çemberin yarıçapı 4 birimdir. 💡

Parkın köşeleri bir dikdörtgen oluşturmaktadır. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulalım:

• AB kenarı: \( x \) eksenindeki fark \( |5 - 1| = 4 \) birim.
• BC kenarı: \( y \) eksenindeki fark \( |5 - 2| = 3 \) birim.
• Dikdörtgenin çevresi \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \) formülü ile bulunur.
• Çevre (birim olarak) = \( 2 \times (4 + 3) = 2 \times 7 = 14 \) birim.
• Her birimin 10 metreye karşılık geldiği belirtilmiştir.
• Parkın gerçek çevresi = \( 14 \text{ birim} \times 10 \text{ metre/birim} = 140 \) metre.

Parkın çevresi 140 metredir. 🚶‍♀️

İki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için uzaklık formülünü kullanırız. \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık \( d \) şu formülle verilir:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

• Verilen noktalar: \( (x_1, y_1) = (3, 4) \) ve \( (x_2, y_2) = (7, 7) \).
• Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (7 - 4)^2} \)
• \( d = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \)
• \( d = \sqrt{16 + 9} \)
• \( d = \sqrt{25} \)
• \( d = 5 \)

İki nokta arasındaki mesafe 5 birimdir. Bu, inşaat mühendisi için temel atma planlamasında önemli bir veridir. 👷‍♂️

Dik üçgenin dik kenarları \( a \) ve \( b \), hipotenüsü \( c \) olsun. Pisagor teoremi gereği \( a^2 + b^2 = c^2 \)'dir.

• Dik kenarlar: \( a = 5 \) cm ve \( b = 12 \) cm.
• Pisagor teoremini uygulayalım: \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
• \( 25 + 144 = c^2 \)
• \( 169 = c^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{169} \)
• \( c = 13 \) cm

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir. ✅

İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemlerini ortak çözmemiz gerekir.

• Denklem 1: \( y = 2x + 1 \)
• Denklem 2: \( y = -\frac{1}{2}x + 5 \)
• Her iki denklemde de \( y \) aynı değere eşit olduğundan, sağ taraflarını birbirine eşitleyebiliriz: \( 2x + 1 = -\frac{1}{2}x + 5 \)
• Denklemi \( x \) için çözelim:
• \( 2x + \frac{1}{2}x = 5 - 1 \)
• \( \frac{4x + x}{2} = 4 \)
• \( \frac{5x}{2} = 4 \)
• \( 5x = 8 \)
• \( x = \frac{8}{5} \)
• Şimdi \( x \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım (Denklem 1'i kullanalım):
• \( y = 2 \left(\frac{8}{5}\right) + 1 \)
• \( y = \frac{16}{5} + 1 \)
• \( y = \frac{16 + 5}{5} \)
• \( y = \frac{21}{5} \)

Doğruların kesim noktası \( \left(\frac{8}{5}, \frac{21}{5}\right) \) noktasıdır. 👉

Çemberin merkezi \( (0, 0) \) ve teğet doğrunun denklemi \( 3x + 4y - 20 = 0 \)'dır.
Çemberin yarıçapı (r), çemberin merkezinin teğet doğruya olan uzaklığına eşittir.
Bir \( (x_0, y_0) \) noktasının \( Ax + By + C = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı formülü: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

• Burada \( (x_0, y_0) = (0, 0) \), \( A = 3 \), \( B = 4 \) ve \( C = -20 \)'dir.
• Yarıçapı hesaplayalım: \( r = \frac{|3(0) + 4(0) - 20|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \)
• \( r = \frac{|-20|}{\sqrt{9 + 16}} \)
• \( r = \frac{20}{\sqrt{25}} \)
• \( r = \frac{20}{5} \)
• \( r = 4 \)
• Merkezi orijinde olan bir çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = r^2 \) şeklindedir.
• Yarıçap \( r = 4 \) olduğundan, çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = 4^2 \)
• \( x^2 + y^2 = 16 \)

Çemberin denklemi \( x^2 + y^2 = 16 \)'dır. 💡