🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonun Tersi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonun Tersi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden bir fonksiyon veriliyor: \( f(x) = 3x + 5 \). Bu fonksiyonun tersini bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulmak için adımları takip edelim:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
\( y = 3x + 5 \) - Adım 2: Denklemde \( x \) 'i \( y \) cinsinden yalnız bırakın.
\( y - 5 = 3x \)
\( x = \frac{y - 5}{3} \) - Adım 3: \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazarak ters fonksiyonu elde edin.
\( f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3} \)
Örnek 2:
Verilen \( g(x) = \frac{2x - 1}{x + 3} \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulmak için şu adımları izleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = g(x) \) olarak ifade edin.
\( y = \frac{2x - 1}{x + 3} \) - Adım 2: \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden çekin.
\( y(x + 3) = 2x - 1 \)
\( xy + 3y = 2x - 1 \)
\( 3y + 1 = 2x - xy \)
\( 3y + 1 = x(2 - y) \)
\( x = \frac{3y + 1}{2 - y} \) - Adım 3: \( x \) yerine \( g^{-1}(x) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazın.
\( g^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{2 - x} \)
Örnek 3:
\( h(x) = 5 - 2x \) fonksiyonunun tersini bulunuz. ✍️
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulma süreci:
- Adım 1: \( y = h(x) \) yazın.
\( y = 5 - 2x \) - Adım 2: \( x \)'i \( y \) cinsinden ifade edin.
\( y - 5 = -2x \)
\( x = \frac{y - 5}{-2} \)
\( x = \frac{5 - y}{2} \) - Adım 3: Değişkenleri değiştirin.
\( h^{-1}(x) = \frac{5 - x}{2} \)
Örnek 4:
\( f(x) = \sqrt{x - 2} \) fonksiyonunun tersini bulunuz. (Tanım kümesi ve değer kümesi dikkate alınmalıdır.) 🚀
Çözüm:
Bu tür fonksiyonlarda dikkatli olmalıyız:
- Adım 1: \( y = f(x) \) olarak yazın.
\( y = \sqrt{x - 2} \) - Adım 2: Her iki tarafın karesini alarak \( x \)'i yalnız bırakın.
\( y^2 = x - 2 \)
\( x = y^2 + 2 \) - Adım 3: Değişkenleri değiştirin.
\( f^{-1}(x) = x^2 + 2 \) - Adım 4: Tanım ve değer kümelerini kontrol edin. Orijinal fonksiyon \( x \ge 2 \) için tanımlıdır ve \( y \ge 0 \) değerlerini alır. Bu durumda ters fonksiyonun tanım kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır.
Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) = x^2 + 2, \quad x \ge 0 \)
Örnek 5:
Bir yazılım geliştiricisi, kullanıcıların giriş yaptığı bir sayıyı belirli bir formülle işleyen bir fonksiyon yazmıştır: \( f(x) = \frac{1}{x - 4} \). Eğer geliştirici, bu işlemin tersini uygulayarak orijinal sayıyı geri almak isterse, hangi ters fonksiyonu kullanmalıdır? 💻
Çözüm:
Geliştiricinin kullanması gereken ters fonksiyonu bulalım:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
\( y = \frac{1}{x - 4} \) - Adım 2: \( x \)'i \( y \) cinsinden çözün.
\( y(x - 4) = 1 \)
\( xy - 4y = 1 \)
\( xy = 1 + 4y \)
\( x = \frac{1 + 4y}{y} \) - Adım 3: Değişkenleri değiştirerek ters fonksiyonu elde edin.
\( f^{-1}(x) = \frac{1 + 4x}{x} \)
Örnek 6:
Bir mağaza, belirli bir ürünün fiyatını zam yapmak için \( f(x) = 1.2x \) fonksiyonunu kullanıyor, burada \( x \) orijinal fiyatı temsil ediyor. Eğer mağaza müdürü, yapılan zammı geri almak ve ürünün orijinal fiyatını bulmak isterse, hangi ters işlemi uygulamalıdır? 💰
Çözüm:
Mağaza müdürünün orijinal fiyatı bulmak için uygulayacağı ters işlem:
- Adım 1: Zamlı fiyatı \( y \) ile gösterirsek, fonksiyon \( y = 1.2x \) olur.
- Adım 2: Orijinal fiyat \( x \)'i bulmak için \( y \) cinsinden çözmeliyiz.
\( x = \frac{y}{1.2} \) - Adım 3: Bu, orijinal fiyatı bulmak için zamlı fiyata 1.2'ye bölmek anlamına gelir. Bu, \( f^{-1}(y) = \frac{y}{1.2} \) fonksiyonuna karşılık gelir.
Örnek 7:
\( f(x) = 2x \) fonksiyonunun tersini bulunuz. 🔄
Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulmak için:
- Adım 1: \( y = 2x \) yazın.
- Adım 2: \( x \)'i yalnız bırakın.
\( x = \frac{y}{2} \) - Adım 3: Değişkenleri değiştirin.
\( f^{-1}(x) = \frac{x}{2} \)
Örnek 8:
\( f(x) = x^3 - 1 \) fonksiyonunun tersini bulunuz. 🧠
Çözüm:
Ters fonksiyonu bulma adımları:
- Adım 1: \( y = x^3 - 1 \) olarak yazın.
- Adım 2: \( x \)'i \( y \) cinsinden çekin.
\( y + 1 = x^3 \)
\( x = \sqrt[3]{y + 1} \) - Adım 3: Değişkenleri değiştirin.
\( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 1} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonun-tersi/sorular