🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların dönüşümü Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların dönüşümü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( x \) ekseni boyunca 3 birim sağa ötelenirse yeni fonksiyon \( g(x) \) ne olur? 💡
Çözüm:
- Temel fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \) şeklindedir.
- Bir fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca pozitif yönde \( a \) birim ötelemek için, fonksiyonda \( x \) yerine \( (x-a) \) yazılır.
- Bu örnekte, öteleme miktarı \( a = 3 \) birim sağa doğrudur.
- Bu nedenle, \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( (x-3) \) yazmalıyız.
- Yeni fonksiyonumuz \( g(x) = f(x-3) = (x-3)^2 \) olur. ✅
Örnek 2:
\( f(x) = |x| \) fonksiyonunun grafiği, \( y \) ekseni boyunca 2 birim aşağı ötelenirse yeni fonksiyon \( h(x) \) ne olur? 🤔
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonumuz \( f(x) = |x| \)'dir.
- Bir fonksiyonu \( y \) ekseni boyunca \( b \) birim aşağı ötelemek için, fonksiyondan \( b \) çıkarılır.
- Burada, öteleme miktarı 2 birim aşağıdır, yani \( b = 2 \).
- Bu nedenle, \( f(x) \) fonksiyonundan 2 çıkarırız.
- Yeni fonksiyonumuz \( h(x) = f(x) - 2 = |x| - 2 \) olur. 👉
Örnek 3:
\( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunun grafiği, \( y \) eksenine göre yansıtılırsa elde edilen yeni fonksiyon \( k(x) \) nedir? 🔄
Çözüm:
- Verilen fonksiyon \( f(x) = 2x + 1 \)'dir.
- Bir fonksiyonun grafiğini \( y \) eksenine göre yansıtmak demek, \( x \) yerine \( -x \) yazmak demektir.
- Yani, \( k(x) = f(-x) \) olacaktır.
- Fonksiyonumuzda \( x \) yerine \( -x \) koyalım: \( k(x) = 2(-x) + 1 \).
- Bu da \( k(x) = -2x + 1 \) sonucunu verir. ✅
Örnek 4:
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, \( x \) eksenine göre yansıtılırsa elde edilen yeni fonksiyon \( m(x) \) nedir? 🪞
Çözüm:
- Temel fonksiyonumuz \( f(x) = \sqrt{x} \)'tir.
- Bir fonksiyonun grafiğini \( x \) eksenine göre yansıtmak için, fonksiyonun tamamının işareti değiştirilir, yani \( -f(x) \) alınır.
- Bu durumda, \( m(x) = -f(x) \) olacaktır.
- Fonksiyonumuzun önüne eksi işareti koyalım: \( m(x) = -\sqrt{x} \).
- Dolayısıyla, yeni fonksiyon \( m(x) = -\sqrt{x} \)'tir. 👍
Örnek 5:
\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunun grafiği, önce \( x \) ekseni boyunca 1 birim sağa, sonra \( y \) ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenirse, oluşan yeni fonksiyon \( p(x) \) ne olur? 🚀
Çözüm:
- İlk olarak, \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunu \( x \) ekseni boyunca 1 birim sağa öteleyelim. Bu, \( x \) yerine \( (x-1) \) yazmak demektir:
- \( f_1(x) = f(x-1) = (x-1)^2 - 4(x-1) + 5 \)
- \( f_1(x) = (x^2 - 2x + 1) - (4x - 4) + 5 \)
- \( f_1(x) = x^2 - 2x + 1 - 4x + 4 + 5 \)
- \( f_1(x) = x^2 - 6x + 10 \)
- Şimdi, \( f_1(x) \) fonksiyonunu \( y \) ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleyelim. Bu, fonksiyona 2 eklemek demektir:
- \( p(x) = f_1(x) + 2 = (x^2 - 6x + 10) + 2 \)
- \( p(x) = x^2 - 6x + 12 \) ✅
Örnek 6:
Bir grafik tasarımcısı, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun grafiğini kullanarak bir logo tasarlıyor. Logoyu daha geniş göstermek için grafiği \( y \) ekseni boyunca 2 katına çıkarıyor, ardından \( x \) ekseni boyunca 3 birim sağa ötüyor. Tasarımcının kullandığı son fonksiyon \( q(x) \) nedir? 🎨
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonu \( f(x) = \frac{1}{x} \)'dir.
- Grafiği \( y \) ekseni boyunca 2 katına çıkarmak, fonksiyona 2 ile çarpmak anlamına gelir:
- \( f_1(x) = 2 \cdot f(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \)
- Ardından, bu yeni fonksiyonu \( x \) ekseni boyunca 3 birim sağa ötelemek için \( x \) yerine \( (x-3) \) yazarız:
- \( q(x) = f_1(x-3) = \frac{2}{(x-3)} \) ✅
- Sonuç olarak, tasarımcının kullandığı fonksiyon \( q(x) = \frac{2}{x-3} \)'tür.
Örnek 7:
Bir mobil oyun geliştiricisi, bir karakterin hareketini simüle etmek istiyor. Karakterin başlangıç konumu \( y = x^2 \) parabolü üzerindedir. Geliştirici, karakteri önce \( y \) ekseni boyunca 4 birim aşağı indiriyor, sonra \( x \) ekseni boyunca 2 birim sola kaydırıyor. Karakterin yeni hareket yörüngesini temsil eden fonksiyon \( r(x) \) nedir? 🎮
Çözüm:
- Karakterin başlangıç yörüngesi \( y = x^2 \) fonksiyonu ile temsil edilir.
- Önce \( y \) ekseni boyunca 4 birim aşağı öteleme:
- \( y_1 = x^2 - 4 \)
- Sonra \( x \) ekseni boyunca 2 birim sola kaydırma. Bu, \( x \) yerine \( (x - (-2)) = (x+2) \) yazmak anlamına gelir:
- \( r(x) = y_1(x+2) = (x+2)^2 - 4 \)
- Bu ifadeyi açarsak:
- \( r(x) = (x^2 + 4x + 4) - 4 \)
- \( r(x) = x^2 + 4x \) ✅
- Karakterin yeni hareket yörüngesi \( r(x) = x^2 + 4x \) olur.
Örnek 8:
\( f(x) = \cos(x) \) fonksiyonunun grafiği, önce \( x \) eksenine göre yansıtılıyor, ardından elde edilen fonksiyon \( y \) ekseni boyunca \( \pi/2 \) birim yukarı öteleniyor. Son fonksiyon \( s(x) \) nedir? 🎶
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonumuz \( f(x) = \cos(x) \)'dir.
- İlk adım: \( x \) eksenine göre yansıtma. Bu, \( -f(x) \) almaktır:
- \( f_1(x) = -f(x) = -\cos(x) \)
- İkinci adım: Elde edilen fonksiyonu \( y \) ekseni boyunca \( \pi/2 \) birim yukarı öteleme. Bu, fonksiyona \( \pi/2 \) eklemektir:
- \( s(x) = f_1(x) + \frac{\pi}{2} = -\cos(x) + \frac{\pi}{2} \) ✅
- Son fonksiyon \( s(x) = -\cos(x) + \frac{\pi}{2} \)'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarin-donusumu/sorular