🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Dönüşümleri: Öteleme ve Simetri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Dönüşümleri: Öteleme ve Simetri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( x \) ekseninde 3 birim sağa ve \( y \) ekseninde 2 birim yukarı ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) \) ne olur?
Çözüm:
- Orijinal fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \) şeklindedir.
- Bir fonksiyonu \( x \) ekseninde \( a \) birim sağa ötelemek için \( f(x-a) \) kullanılır. Burada \( a=3 \), yani \( f(x-3) \) olur.
- Bir fonksiyonu \( y \) ekseninde \( b \) birim yukarı ötelemek için \( f(x) + b \) kullanılır. Burada \( b=2 \), yani \( f(x) + 2 \) olur.
- Bu iki dönüşümü birleştirdiğimizde, \( f(x-3) + 2 \) elde ederiz.
- \( f(x) = x^2 \) olduğundan, \( f(x-3) = (x-3)^2 \) olur.
- Son olarak, \( g(x) = (x-3)^2 + 2 \) fonksiyonunu elde ederiz.
Örnek 2:
\( y = 2x + 1 \) doğrusunun \( y \) eksenine göre simetriği alındığında elde edilen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:
- Bir fonksiyonun \( y \) eksenine göre simetriği alındığında, \( x \) yerine \( -x \) yazılır.
- Orijinal denklemimiz \( y = 2x + 1 \) şeklindedir.
- \( x \) yerine \( -x \) koyduğumuzda, yeni denklem \( y = 2(-x) + 1 \) olur.
- Bu denklem sadeleştirildiğinde \( y = -2x + 1 \) elde edilir.
Örnek 3:
\( f(x) = |x-1| \) fonksiyonunun grafiği, önce \( x \) ekseninde 1 birim sola, sonra \( y \) ekseninde 3 birim aşağı öteleniyor. Elde edilen yeni fonksiyon \( h(x) \) nedir?
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonumuz \( f(x) = |x-1| \).
- Fonksiyonu \( x \) ekseninde 1 birim sola ötelemek için \( x \) yerine \( x+1 \) yazarız: \( f(x+1) = |(x+1)-1| = |x| \).
- Şimdi bu yeni fonksiyonu \( y \) ekseninde 3 birim aşağı öteleyeceğiz. Bu, fonksiyona 3 çıkarmak anlamına gelir: \( |x| - 3 \).
- Dolayısıyla, elde edilen yeni fonksiyon \( h(x) = |x| - 3 \) olur.
Örnek 4:
\( y = x^3 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = -x^3 \) fonksiyonuna nasıl bir dönüşümle ulaşılır?
Çözüm:
- \( y = x^3 \) fonksiyonunun grafiği, \( x \) eksenine göre simetriği alındığında \( y = -(x^3) = -x^3 \) fonksiyonunun grafiği elde edilir.
- Alternatif olarak, \( y \) eksenine göre simetriği alındığında \( y = (-x)^3 = -x^3 \) fonksiyonunun grafiği elde edilir.
- Yani, \( y = x^3 \) fonksiyonunun grafiği, x eksenine göre simetriği veya y eksenine göre simetriği alınarak \( y = -x^3 \) fonksiyonuna dönüştürülebilir.
Örnek 5:
Bir grafik çizme programında \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Bu grafiğe sırasıyla aşağıdaki dönüşümler uygulanıyor:
- \( x \) ekseninde 4 birim sola öteleme
- \( y \) eksenine göre simetri
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonumuz \( f(x) = \sqrt{x} \).
- 1. Adım: \( x \) ekseninde 4 birim sola öteleme. Bu, \( x \) yerine \( x+4 \) yazmak demektir: \( f(x+4) = \sqrt{x+4} \).
- 2. Adım: Elde edilen fonksiyonun \( y \) eksenine göre simetriği. Bu, \( x \) yerine \( -x \) yazmak demektir: \( \sqrt{(-x)+4} = \sqrt{4-x} \).
- Sonuç olarak, elde edilen fonksiyon \( g(x) = \sqrt{4-x} \) olur.
Örnek 6:
\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunun grafiği, \( y \) eksenine göre simetriğe uğradıktan sonra \( x \) ekseninde 1 birim sağa öteleniyor. Elde edilen fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- Orijinal fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \). Bu fonksiyonu tepe noktası formuna getirelim: \( f(x) = (x-2)^2 + 1 \). Tepe noktası \( (2,1) \).
- 1. Adım: \( y \) eksenine göre simetri. Fonksiyonda \( x \) yerine \( -x \) yazarız: \( g(x) = f(-x) = (-x-2)^2 + 1 = (x+2)^2 + 1 \). Bu yeni fonksiyonun tepe noktası \( (-2,1) \).
- 2. Adım: \( x \) ekseninde 1 birim sağa öteleme. Yeni fonksiyonda \( x \) yerine \( x-1 \) yazarız: \( h(x) = g(x-1) = ((x-1)+2)^2 + 1 = (x+1)^2 + 1 \).
- Elde edilen son fonksiyon \( h(x) = (x+1)^2 + 1 \). Bu fonksiyonun tepe noktası \( (-1,1) \) olur.
Örnek 7:
Bir cep telefonu uygulamasındaki harita üzerinde, evinizin konumu \( (3,5) \) olarak işaretlenmiştir. Eğer harita \( x \) ekseni boyunca 2 birim sola ve \( y \) ekseni boyunca 1 birim aşağı kaydırılırsa, evinizin yeni konumu ne olur?
Çözüm:
- Evinizin orijinal konumu \( (3,5) \).
- Haritanın \( x \) ekseni boyunca 2 birim sola kaydırılması, her \( x \) koordinatından 2 çıkarılması anlamına gelir.
- Bu durumda \( x \) koordinatı \( 3 - 2 = 1 \) olur.
- Haritanın \( y \) ekseni boyunca 1 birim aşağı kaydırılması, her \( y \) koordinatından 1 çıkarılması anlamına gelir.
- Bu durumda \( y \) koordinatı \( 5 - 1 = 4 \) olur.
- Evinizin yeni konumu \( (1,4) \) olur.
Örnek 8:
Bir animasyon filminde, bir karakterin başlangıçtaki pozisyonu \( (0,0) \) noktasıdır. Karakter önce \( y \) eksenine göre simetriğe uğruyor, ardından \( x \) ekseninde 5 birim sağa öteleniyor. Karakterin son pozisyonunu bulunuz.
Çözüm:
- Karakterin başlangıç pozisyonu \( (0,0) \).
- 1. Adım: \( y \) eksenine göre simetri. Bir noktanın \( y \) eksenine göre simetriği alındığında, \( x \) koordinatinin işareti değişir. \( (0,0) \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği yine \( (0,0) \) olur.
- 2. Adım: \( x \) ekseninde 5 birim sağa öteleme. Bir noktanın \( x \) ekseninde 5 birim sağa ötelenmesi, \( x \) koordinatına 5 eklenmesi demektir.
- \( (0,0) \) noktasını 5 birim sağa ötelediğimizde, yeni koordinatlar \( (0+5, 0) = (5,0) \) olur.
- Karakterin son pozisyonu \( (5,0) \) noktasıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarin-donusumleri-oteleme-ve-simetri/sorular