🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Uygulamalar, Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Uygulamalar, Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi veriliyor. Fonksiyonun kuralını bulunuz.
Tanım Kümesi: \( A = \{1, 2, 3\} \)
Görüntü Kümesi: \( B = \{3, 5, 7\} \)
Fonksiyon: \( f: A \to B \) ve \( f(x) = ax + b \) şeklinde bir lineer fonksiyondur.
Tanım Kümesi: \( A = \{1, 2, 3\} \)
Görüntü Kümesi: \( B = \{3, 5, 7\} \)
Fonksiyon: \( f: A \to B \) ve \( f(x) = ax + b \) şeklinde bir lineer fonksiyondur.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntü kümesindeki karşılığını kullanarak bir denklem sistemi oluşturacağız. 💡
- Fonksiyonun kuralı \( f(x) = ax + b \) şeklindedir.
- Tanım kümesinden \( x=1 \) için görüntü \( f(1)=3 \) olmalıdır. Bu durumu denklemde yerine koyalım: \( a(1) + b = 3 \Rightarrow a + b = 3 \).
- Tanım kümesinden \( x=2 \) için görüntü \( f(2)=5 \) olmalıdır. Bu durumu denklemde yerine koyalım: \( a(2) + b = 5 \Rightarrow 2a + b = 5 \).
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir denklem sistemi var:
\( a + b = 3 \)
\( 2a + b = 5 \) - Bu sistemi çözmek için yok etme veya yerine koyma metodunu kullanabiliriz. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:
\( (2a + b) - (a + b) = 5 - 3 \)
\( a = 2 \) - Bulduğumuz \( a=2 \) değerini ilk denklemde yerine koyalım:
\( 2 + b = 3 \Rightarrow b = 1 \) - Böylece fonksiyonun kuralı \( f(x) = 2x + 1 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
İki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözüm kümesi soruluyor.
Denklem 1: \( 2x + y = 7 \)
Denklem 2: \( x - y = 2 \)
Denklem 1: \( 2x + y = 7 \)
Denklem 2: \( x - y = 2 \)
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini kullanmak en pratik yoldur. 👉
- Denklem 1: \( 2x + y = 7 \)
- Denklem 2: \( x - y = 2 \)
- İki denklemi taraf tarafa toplayalım. Dikkat ederseniz \( y \) terimleri birbirini götürecektir:
\( (2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \)
\( 3x = 9 \) - Buradan \( x \) değerini bulalım:
\( x = \frac{9}{3} \Rightarrow x = 3 \) - Bulduğumuz \( x=3 \) değerini denklemlerden herhangi birinde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım. Denklem 2'yi kullanalım:
\( 3 - y = 2 \)
\( y = 3 - 2 \Rightarrow y = 1 \) - Bu denklem sisteminin çözüm kümesi \( \{(3, 1)\} \) olur.
- Kontrol edelim:
Denklem 1: \( 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 \) (Doğru)
Denklem 2: \( 3 - 1 = 2 \) (Doğru) ✅
Örnek 3:
Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Eşitsizlik 1: \( x + 2y < 6 \)
Eşitsizlik 2: \( y \ge x - 1 \)
Eşitsizlik 1: \( x + 2y < 6 \)
Eşitsizlik 2: \( y \ge x - 1 \)
Çözüm:
Eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri genellikle grafik üzerinde gösterilir. Ancak burada analitik olarak ifade edeceğiz. 📌
- İlk eşitsizlik \( x + 2y < 6 \) için sınır doğrusu \( x + 2y = 6 \) olur. Bu doğruyu çizerken noktalı çizgi kullanırız çünkü eşitsizlikte eşitlik yoktur.
- \( x=0 \) için \( 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \). Nokta: \( (0, 3) \).
- \( y=0 \) için \( x = 6 \). Nokta: \( (6, 0) \).
- Bu doğruya göre hangi tarafın taranacağını bulmak için orijini (0,0) deneyelim: \( 0 + 2(0) < 6 \Rightarrow 0 < 6 \). Bu ifade doğru olduğu için, doğruya göre orijini içeren taraf taranır.
- İkinci eşitsizlik \( y \ge x - 1 \) için sınır doğrusu \( y = x - 1 \) olur. Bu doğruyu çizerken düz çizgi kullanırız çünkü eşitsizlikte eşitlik vardır.
- \( x=0 \) için \( y = -1 \). Nokta: \( (0, -1) \).
- \( y=0 \) için \( x = 1 \). Nokta: \( (1, 0) \).
- Orijini (0,0) deneyelim: \( 0 \ge 0 - 1 \Rightarrow 0 \ge -1 \). Bu ifade doğru olduğu için, doğruya göre orijini içeren taraf taranır.
- Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, her iki eşitsizliği de sağlayan noktaların kesişim kümesidir. Bu, iki doğrunun kesiştiği noktadan başlayarak, her iki eşitsizliğin de tarama bölgelerinin kesiştiği alandır. 💡
Örnek 4:
Bir spor salonunda üyelik ücretleri aşağıdaki gibidir:
Aylık 100 TL sabit ücret + her ders için 15 TL.
Başka bir spor salonunda ise sadece aylık 50 TL sabit ücret + her ders için 20 TL.
Hangi salonda kaç ders yapıldığında maliyetlerin eşit olacağını ve hangi salonda hangi durumlarda daha avantajlı olacağını bulunuz.
Aylık 100 TL sabit ücret + her ders için 15 TL.
Başka bir spor salonunda ise sadece aylık 50 TL sabit ücret + her ders için 20 TL.
Hangi salonda kaç ders yapıldığında maliyetlerin eşit olacağını ve hangi salonda hangi durumlarda daha avantajlı olacağını bulunuz.
Çözüm:
Bu tür karşılaştırmalı problemler, denklem kurma becerisini günlük hayata uyarlamayı gerektirir. 📈
- Birinci spor salonunun aylık maliyetini \( M_1 \) ve yapılan ders sayısını \( x \) ile gösterelim:
\( M_1 = 100 + 15x \) - İkinci spor salonunun aylık maliyetini \( M_2 \) ile gösterelim:
\( M_2 = 50 + 20x \) - Maliyetlerin eşit olduğu durumu bulmak için \( M_1 = M_2 \) denklemini kurarız:
\( 100 + 15x = 50 + 20x \) - Denklemi çözelim:
\( 100 - 50 = 20x - 15x \)
\( 50 = 5x \)
\( x = 10 \) - Yani, ayda 10 ders yapıldığında iki salonun maliyeti de eşit olacaktır.
- Şimdi hangi salonda hangi durumlarda daha avantajlı olacağını inceleyelim:
- Eğer ayda 10 dersten az ders yapılıyorsa (örneğin 5 ders):
\( M_1 = 100 + 15(5) = 100 + 75 = 175 \) TL
\( M_2 = 50 + 20(5) = 50 + 100 = 150 \) TL
Bu durumda ikinci salon daha avantajlıdır. - Eğer ayda 10 dersten fazla ders yapılıyorsa (örneğin 15 ders):
\( M_1 = 100 + 15(15) = 100 + 225 = 325 \) TL
\( M_2 = 50 + 20(15) = 50 + 300 = 350 \) TL
Bu durumda birinci salon daha avantajlıdır. ✅
Örnek 5:
Bir f(x) fonksiyonu için \( f(x) = 3x - 5 \) olarak verilmiştir. \( f(2a+1) \) ifadesini \( a \) cinsinden bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonlarda uygulama, verilen \( x \) yerine istenen ifadeyi yazarak yapılır. ✍️
- Fonksiyonumuz: \( f(x) = 3x - 5 \)
- Bizden istenen \( f(2a+1) \) ifadesidir. Bu, fonksiyondaki \( x \) yerine \( (2a+1) \) yazmamız gerektiği anlamına gelir.
- \( f(2a+1) = 3(2a+1) - 5 \)
- Şimdi bu ifadeyi \( a \) cinsinden sadeleştirelim:
\( f(2a+1) = 3 \times 2a + 3 \times 1 - 5 \)
\( f(2a+1) = 6a + 3 - 5 \)
\( f(2a+1) = 6a - 2 \) - Sonuç olarak, \( f(2a+1) \) ifadesi \( 6a - 2 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 6:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesi \( \{(4, -1)\} \) olarak verilmiştir. Denklem sistemindeki bilinmeyen katsayılardan birini bulunuz.
Denklem 1: \( ax + 2y = 6 \)
Denklem 2: \( 3x + by = 9 \)
Denklem 1: \( ax + 2y = 6 \)
Denklem 2: \( 3x + by = 9 \)
Çözüm:
Çözüm kümesi verildiğinde, bu noktayı denklemleri sağlayan bir nokta olarak kullanabiliriz. 💡
- Verilen çözüm kümesi \( \{(4, -1)\} \) olduğundan, bu \( x=4 \) ve \( y=-1 \) anlamına gelir.
- Bu değerleri birinci denklemde yerine koyalım:
\( a(4) + 2(-1) = 6 \)
\( 4a - 2 = 6 \)
\( 4a = 6 + 2 \)
\( 4a = 8 \)
\( a = \frac{8}{4} \Rightarrow a = 2 \) - Şimdi \( a=2 \) olduğunu bulduk. Bu değeri birinci denklemde yerine yazarsak: \( 2x + 2y = 6 \) olur.
- Aynı \( x=4 \) ve \( y=-1 \) değerlerini ikinci denklemde yerine koyarak \( b \) katsayısını bulalım:
\( 3(4) + b(-1) = 9 \)
\( 12 - b = 9 \)
\( b = 12 - 9 \Rightarrow b = 3 \) - Böylece \( a=2 \) ve \( b=3 \) olarak bulunur. Soruda sadece bir bilinmeyen katsayı sorulduğu için, örneğin \( a=2 \) cevabını verebiliriz. ✅
Örnek 7:
Bir manav, elmaların kilogramını 10 TL'den, armutların kilogramını ise 12 TL'den satmaktadır. Manavın toplam 50 kg meyve sattığı ve kasasına 560 TL girdiği biliniyor. Manav kaçar kg elma ve armut satmıştır?
Çözüm:
Bu problem, iki farklı ürünün miktarlarını ve toplam değerlerini içeren bir denklem sistemi kurmayı gerektirir. 🍎🍐
- Elma miktarını \( e \) ve armut miktarını \( a \) ile gösterelim.
- Toplam meyve miktarı 50 kg olduğuna göre ilk denklemimiz:
\( e + a = 50 \) - Toplam gelir 560 TL olduğuna göre, elmalardan elde edilen gelir (10e) ile armutlardan elde edilen gelir (12a) toplamı 560 TL'dir. İkinci denklemimiz:
\( 10e + 12a = 560 \) - Şimdi bu iki bilinmeyenli iki denklem sistemini çözelim. İlk denklemden \( e \) 'yi çekelim:
\( e = 50 - a \) - Bu \( e \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım:
\( 10(50 - a) + 12a = 560 \) - Denklemi çözelim:
\( 500 - 10a + 12a = 560 \)
\( 500 + 2a = 560 \)
\( 2a = 560 - 500 \)
\( 2a = 60 \)
\( a = 30 \) - Armut miktarını 30 kg olarak bulduk. Şimdi elma miktarını bulmak için ilk denklemde yerine koyalım:
\( e + 30 = 50 \)
\( e = 50 - 30 \Rightarrow e = 20 \) - Manav 20 kg elma ve 30 kg armut satmıştır. ✅
- Kontrol edelim:
Toplam miktar: \( 20 + 30 = 50 \) kg (Doğru)
Toplam gelir: \( 10 \times 20 + 12 \times 30 = 200 + 360 = 560 \) TL (Doğru)
Örnek 8:
Bir fonksiyonun tersi ile ilgili bir problem.
\( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) nedir?
\( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözüm:
Ters fonksiyon bulma işlemi, fonksiyonun kuralını \( y = f(x) \) şeklinde yazıp, \( x \) 'i \( y \) cinsinden ifade etmeye dayanır. 🔄
- Verilen fonksiyon: \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \)
- Fonksiyonu \( y \) cinsinden yazalım:
\( y = \frac{2x+1}{x-3} \) - Şimdi \( x \)'i yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim:
\( y(x-3) = 2x+1 \)
\( yx - 3y = 2x + 1 \) - \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( yx - 2x = 3y + 1 \) - \( x \) parantezine alalım:
\( x(y-2) = 3y + 1 \) - \( x \) 'i yalnız bırakalım:
\( x = \frac{3y+1}{y-2} \) - Bu \( x \) ifadesi, \( f^{-1}(y) \) fonksiyonunu verir. Ters fonksiyonu \( x \) değişkenine göre yazmak için \( y \) yerine \( x \) yazarız:
\( f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2} \) - Ters fonksiyon \( f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2} \) olarak bulunur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-fonksiyonlarda-uygulamalar-denklem-ve-esitsizlik-sistemleri/sorular