Fonksiyonlarda Dönüşümler Ders Notu

Fonksiyonlarda dönüşümler, bir fonksiyonun grafiğinin koordinat düzleminde farklı şekillerde hareket ettirilmesi, yansıtılması, genişletilmesi veya daraltılması işlemidir. Bu dönüşümler, fonksiyonun denklemi üzerinde yapılan değişikliklerle gerçekleşir ve bize karmaşık fonksiyonların grafiklerini temel fonksiyonların grafiklerinden yola çıkarak çizebilme yeteneği kazandırır.

Dikey Öteleme (Yukarı/Aşağı Kaydırma) ↕️

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini dikey olarak kaydırmak için fonksiyonun kendisine bir sabit eklenir veya çıkarılır.

• Eğer \( k > 0 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = f(x) + k} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği k birim yukarı ötelenir.
• Eğer \( k > 0 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = f(x) - k} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği k birim aşağı ötelenir.

Örnek: \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği orijinden geçer.

• \( y = x^2 + 3 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğinin 3 birim yukarı ötelenmiş halidir.
• \( y = x^2 - 2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğinin 2 birim aşağı ötelenmiş halidir.

Yatay Öteleme (Sağa/Sola Kaydırma) ↔️

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini yatay olarak kaydırmak için fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( x-k \) veya \( x+k \) yazılır.

• Eğer \( k > 0 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = f(x - k)} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği k birim sağa ötelenir.
• Eğer \( k > 0 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = f(x + k)} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği k birim sola ötelenir.

Önemli Not: Yatay öteleme, dikey ötelemenin aksine işaretin tersi yönünde hareket ettirir. Yani \( x-k \) sağa, \( x+k \) sola kaydırır.

Örnek: \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği orijinden geçer.

• \( y = (x - 4)^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğinin 4 birim sağa ötelenmiş halidir.
• \( y = (x + 1)^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğinin 1 birim sola ötelenmiş halidir.

Yansımalar (Simetri Alma) 🖼️

Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerine veya orijine göre simetriği alınabilir.

x-eksenine Göre Yansıma

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun önüne eksi işareti getirilir.

• \( \mathbf{y = -f(x)} \) dönüşümü, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre yansımasıdır. Bu durumda, fonksiyonun y değerleri işaret değiştirir.

Örnek: \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği yukarı doğru açılan bir paraboldür.

• \( y = -x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğinin x-eksenine göre yansımasıdır ve aşağı doğru açılır.

y-eksenine Göre Yansıma

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin y-eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( -x \) yazılır.

• \( \mathbf{y = f(-x)} \) dönüşümü, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin y-eksenine göre yansımasıdır. Bu durumda, fonksiyonun x değerleri işaret değiştirir.

Örnek: \( y = 2x + 1 \) fonksiyonunun grafiği bir doğrudur.

• \( y = f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = 2x + 1 \) grafiğinin y-eksenine göre yansımasıdır.

Orijine Göre Yansıma

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin orijine göre yansımasını almak için hem x-eksenine hem de y-eksenine göre yansıma uygulanır.

• \( \mathbf{y = -f(-x)} \) dönüşümü, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin orijine göre yansımasıdır.

Örnek: \( y = x^3 \) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.

• \( y = -( (-x)^3 ) = -(-x^3) = x^3 \) olur. Bu örnekte fonksiyonun kendisi orijine göre simetrik olduğundan orijine göre yansıması yine kendisidir.

y=x Doğrusuna Göre Yansıma

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin \( y=x \) doğrusuna göre yansıması, o fonksiyonun tersinin grafiğidir.

• \( \mathbf{y = f^{-1}(x)} \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin \( y=x \) doğrusuna göre yansımasıdır.

Örnek: \( y = 2x \) fonksiyonunun tersi \( y = \frac{x}{2} \) dir.

• \( y = \frac{x}{2} \) fonksiyonunun grafiği, \( y = 2x \) grafiğinin \( y=x \) doğrusuna göre yansımasıdır.

Genişleme ve Daralma (Germe/Sıkıştırma) 📏

Bir fonksiyonun grafiği dikey veya yatay olarak genişleyebilir (gerilebilir) veya daralabilir (sıkışabilir).

Dikey Genişleme/Daralma

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini dikey olarak genişletmek veya daraltmak için fonksiyonun kendisi bir sabit ile çarpılır.

• Eğer \( c > 1 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = c \cdot f(x)} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği dikey olarak c kat gerilir (genişler).
• Eğer \( 0 < c < 1 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = c \cdot f(x)} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği dikey olarak c kat sıkışır (daralır).

Örnek: \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği.

• \( y = 3x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğine göre dikey olarak 3 kat gerilmiştir.
• \( y = \frac{1}{2} x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğine göre dikey olarak 2 kat sıkışmıştır.

Yatay Genişleme/Daralma

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini yatay olarak genişletmek veya daraltmak için fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( c \cdot x \) yazılır.

• Eğer \( c > 1 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = f(c \cdot x)} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği yatay olarak \(\frac{1}{c}\) kat sıkışır (daralır).
• Eğer \( 0 < c < 1 \) olmak üzere, \( \mathbf{y = f(c \cdot x)} \) dönüşümü yapılırsa, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği yatay olarak \(\frac{1}{c}\) kat gerilir (genişler).

Önemli Not: Yatay genişleme/daralma, dikeyin aksine ters orantılıdır. Çarpılan sayı büyüdükçe grafik daralır, küçüldükçe genişler.

Örnek: \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği.

• \( y = (2x)^2 = 4x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğine göre yatay olarak \(\frac{1}{2}\) kat sıkışmıştır.
• \( y = \left(\frac{1}{3}x\right)^2 = \frac{1}{9}x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = x^2 \) grafiğine göre yatay olarak 3 kat gerilmiştir.