💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyon uygulamalari Çözümlü Örnekler

Bu soru, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini hesaplama üzerine kuruludur.

• Adım 1: Fonksiyonun tanımını inceleyin. Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 3 \) şeklindedir.
• Adım 2: Hesaplamak istediğimiz değeri belirleyin. Bizden \( f(5) \) isteniyor.
• Adım 3: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere 5 yazarak hesaplamayı yapın.
• \( f(5) = 2 \times 5 + 3 \)
• \( f(5) = 10 + 3 \)
• \( f(5) = 13 \)

✅ Sonuç olarak, \( f(5) = 13 \) olarak bulunur.

Bu soruda, fonksiyonun sonucunun belirli bir değere eşit olduğu durumdaki bilinmeyeni bulacağız.

• Adım 1: Fonksiyonun tanımını kullanın: \( g(x) = x^2 - 4 \).
• Adım 2: Soruda verilen eşitliği yerine yazın: \( g(a) = a^2 - 4 = 5 \).
• Adım 3: \( a \) için denklemi çözün.
• \( a^2 - 4 = 5 \)
• \( a^2 = 5 + 4 \)
• \( a^2 = 9 \)
• Adım 4: Her iki tarafın karekökünü alarak \( a \) 'nın olası değerlerini bulun.
• \( a = \sqrt{9} \) veya \( a = -\sqrt{9} \)
• \( a = 3 \) veya \( a = -3 \)

👉 Yani, \( a \) 'nın alabileceği değerler 3 ve -3'tür.

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısının diğer fonksiyonun girdisi olarak kullanılmasıdır.

• Adım 1: Bileşke fonksiyonun tanımını hatırlayın: \( (h \circ k)(x) = h(k(x)) \).
• Adım 2: \( k(x) \) fonksiyonunu \( h(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine yazın.
• \( h(k(x)) = h(x + 2) \)
• Adım 3: Şimdi \( h \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( (x+2) \) ifadesini koyun: \( h(x+2) = 3(x+2) - 1 \).
• Adım 4: İfadeyi sadeleştirin.
• \( 3(x+2) - 1 = 3x + 6 - 1 \)
• \( 3x + 5 \)

✅ Bu durumda, \( (h \circ k)(x) = 3x + 5 \) olarak bulunur.

Bu soru, parabolün tepe noktasının bulunmasıyla ilgili bir fonksiyon uygulamasıdır. Gelir fonksiyonu bir parabol belirtir ve en büyük değerini tepe noktasında alır.

• Adım 1: Gelir fonksiyonunu inceleyin: \( G(x) = -x^2 + 20x \). Bu, kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.
• Adım 2: Parabolün tepe noktasının \( x \) koordinatını bulmak için formülü kullanın: \( x_{tepe} = -\frac{b}{2a} \).
• Adım 3: Fonksiyonda \( a \) ve \( b \) katsayılarını belirleyin. Fonksiyon \( ax^2 + bx + c \) formundadır.
• Burada \( a = -1 \) ve \( b = 20 \).
• Adım 4: Tepe noktasının \( x \) koordinatını hesaplayın.
• \( x_{tepe} = -\frac{20}{2 \times (-1)} \)
• \( x_{tepe} = -\frac{20}{-2} \)
• \( x_{tepe} = 10 \)

👉 Gelirin en fazla olması için uygulamanın fiyatı 10 Dolar olmalıdır.

Doğrusal fonksiyonlarda, verilen noktaları kullanarak eğimi ve sabit terimi bulup fonksiyonu oluşturabiliriz.

• Adım 1: İki noktadan eğimi (m) hesaplayın: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
• \( m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
• Adım 2: Eğim değerini kullanarak denklemde \( m \) yerine yazın: \( f(x) = 3x + n \).
• Adım 3: Noktalardan birini (örneğin (1, 5)) denklemde yerine koyarak \( n \) 'yi bulun.
• \( 5 = 3 \times 1 + n \)
• \( 5 = 3 + n \)
• \( n = 5 - 3 = 2 \)
• Adım 4: Fonksiyonun tam denklemini yazın: \( f(x) = 3x + 2 \).
• Adım 5: \( f(4) \) değerini hesaplayın.
• \( f(4) = 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \)

✅ Sonuç olarak, \( f(4) = 14 \) olur.

Bu, günlük hayattan bir fonksiyon uygulamasıdır ve fidanın boyunun doğrusal olarak arttığını gösterir.

• Adım 1: Fonksiyonun neyi ifade ettiğini anlayın: \( B(t) \) fidanın boyunu, \( t \) ise geçen gün sayısını temsil ediyor.
• Adım 3: Soruda verilen zamanı (20 gün) fonksiyonda \( t \) yerine koyun.
• \( B(20) = 0.5 \times 20 + 10 \)
• Adım 4: Hesaplamayı yapın.
• \( B(20) = 10 + 10 \)
• \( B(20) = 20 \)

✅ Fidan dikildikten 20 gün sonra boyu 20 cm olacaktır.

Bu soruda mutlak değerli bir fonksiyonun denklemini çözeceğiz. Mutlak değerin iki farklı durumu söz konusudur.

• Adım 1: Fonksiyonun tanımını kullanın: \( f(x) = |x-2| + 3 \).
• Adım 2: Verilen eşitliği yerine yazın: \( |x-2| + 3 = 7 \).
• Adım 3: Mutlak değerin dışındaki sabiti karşıya atarak mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakın.
• \( |x-2| = 7 - 3 \)
• \( |x-2| = 4 \)
• Adım 4: Mutlak değer denklemini iki ayrı durum için çözün.
• Durum 1: \( x-2 = 4 \)
• \( x = 4 + 2 \)
• \( x = 6 \)
• Durum 2: \( x-2 = -4 \)
• \( x = -4 + 2 \)
• \( x = -2 \)
• Adım 5: Bulduğunuz \( x \) değerlerini toplayın.
• Toplam = \( 6 + (-2) = 4 \)

👉 Denklemi sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı 4'tür.

Bu problemde, giriş ve çıkış fonksiyonlarını kullanarak depodaki net mal miktarını veren fonksiyonu bulacağız ve ardından başlangıç miktarına ulaşma zamanını hesaplayacağız.

• Adım 1: Depodaki anlık mal miktarını veren fonksiyonu bulun. Bu, giriş miktarından çıkış miktarının çıkarılmasıyla elde edilir: \( M(t) = G(t) - C(t) \).
• \( M(t) = (5t + 100) - (2t + 30) \)
• \( M(t) = 5t + 100 - 2t - 30 \)
• \( M(t) = 3t + 70 \)
• Adım 2: Başlangıçtaki mal miktarını belirleyin. Başlangıç zamanı \( t=0 \) olduğundan, \( M(0) \) değerini hesaplayın.
• \( M(0) = 3 \times 0 + 70 = 70 \) kg
• Adım 3: Depodaki mal miktarının başlangıçtaki miktarına eşit olduğu zamanı bulun. Yani, \( M(t) = 70 \) denklemini çözün.
• \( 3t + 70 = 70 \)
• \( 3t = 70 - 70 \)
• \( 3t = 0 \)
• \( t = 0 \)

✅ Depodaki anlık mal miktarını veren fonksiyon \( M(t) = 3t + 70 \) kg'dır. Depo, başlangıçtaki mal miktarına \( t=0 \) yani başlangıç anında zaten sahiptir. (Eğer soru "deponun boşalacağı zamanı" sorsaydı, \(M(t)=0\) çözülürdü.)