💡 11. Sınıf Matematik: Fonksiyon dönüşümleri Çözümlü Örnekler

Fonksiyon dönüşümlerinde, bir sabitin fonksiyona eklenmesi, grafiğin düşey doğrultuda kaydırılması anlamına gelir.

• Eğer \( g(x) = f(x) + c \) ise ve \( c > 0 \) ise, grafik \( c \) birim yukarı kaydırılır.
• Eğer \( g(x) = f(x) - c \) ise ve \( c > 0 \) ise, grafik \( c \) birim aşağı kaydırılır.

Bu örnekte, \( g(x) = f(x) + 3 \) olduğu için, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği 3 birim yukarı doğru kaydırılır. ✅

Fonksiyon dönüşümlerinde, argümandaki (x'in yerine yazılan ifade) bir sabitle toplama veya çıkarma, grafiğin yatay doğrultuda kaydırılması anlamına gelir.

• Eğer \( h(x) = f(x-c) \) ise ve \( c > 0 \) ise, grafik \( c \) birim sağa kaydırılır.
• Eğer \( h(x) = f(x+c) \) ise ve \( c > 0 \) ise, grafik \( c \) birim sola kaydırılır.

Bu örnekte, \( h(x) = (x-2)^2 \) ifadesi \( f(x-2) \) şeklinde yazılabilir. Bu nedenle, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği 2 birim sağa doğru kaydırılır. 📌

Bir fonksiyonun önündeki işaretin değişmesi, grafiğin x-eksenine göre yansıtılması anlamına gelir.

• Eğer \( g(x) = -f(x) \) ise, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği x-eksenine göre yansıtılır.

Bu durumda, \( y = -\sin(x) \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \sin(x) \) fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre yansımasıdır. 🔄

Bir fonksiyonun argümanındaki işaretin değişmesi, grafiğin y-eksenine göre yansıtılması anlamına gelir.

• Eğer \( g(x) = f(-x) \) ise, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre yansıtılır.

Bu durumda, \( y = \cos(-x) \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \cos(x) \) fonksiyonunun grafiğinin y-eksenine göre yansımasıdır. Ancak, kosinüs fonksiyonu çift fonksiyon olduğu için \( \cos(-x) = \cos(x) \) olur. Dolayısıyla, grafik kendisiyle çakışır, yani bir dönüşüm olmamış gibi görünür. 🌟

Yeni satış fiyatı, orijinal satış fiyatı artı üretim maliyetinin %20'si olarak hesaplanacaktır.

• Orijinal satış fiyatı: \( P(x) = 100 - 2x \)
• Üretim maliyetinin %20'si: \( 0.20x \)
• Yeni satış fiyatı fonksiyonu \( N(x) \): \( N(x) = P(x) + 0.20x \)

Şimdi bu fonksiyonu \( x \) cinsinden ifade edelim:

• \( N(x) = (100 - 2x) + 0.20x \)
• \( N(x) = 100 - 2x + 0.20x \)
• \( N(x) = 100 - 1.80x \)

Yeni satış fiyatı fonksiyonu \( N(x) = 100 - 1.8x \) TL'dir. Bu, orijinal fiyata bir tür "ek maliyet ekleme" dönüşümüdür. 💰

Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpılması, grafiğin düşey doğrultuda ölçeklenmesi anlamına gelir.

• Eğer \( g(x) = c \cdot f(x) \) ise ve \( |c| > 1 \) ise, grafik y-eksenine doğru ölçeklenir (dikey olarak uzar).
• Eğer \( g(x) = c \cdot f(x) \) ise ve \( 0 < |c| < 1 \) ise, grafik y-ekseninden uzaklaşacak şekilde ölçeklenir (dikey olarak kısalır).

Bu örnekte, \( g(x) = 2f(x) \) olduğu için, \( c=2 \) ve \( |c| > 1 \) olduğundan, \( f(x) = |x| \) fonksiyonunun grafiği y-eksenine doğru 2 kat ölçeklenir (daha dik hale gelir). ⬆️

Bu fonksiyon, iki farklı dönüşümün birleşimidir: yatay kaydırma ve düşey ölçekleme.

• Adım 1: Yatay Kaydırma
• \( f(x-1) \) ifadesi, \( f(x) \) grafiğinin 1 birim sağa kaydırıldığını gösterir.
• Adım 2: Düşey Ölçekleme
• \( \frac{1}{4}f(x-1) \) ifadesi, bir önceki adımda elde edilen grafiğin y-ekseninden uzaklaşacak şekilde (dikey olarak kısalması), yani \( \frac{1}{4} \) kat ölçeklendiğini gösterir.

Dolayısıyla, \( h(x) = \frac{1}{4}f(x-1) \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) \) grafiğinin önce 1 birim sağa kaydırılması ve ardından dikey olarak \( \frac{1}{4} \) oranında ölçeklenmesi dönüşümlerinin birleşimidir. ➡️⬇️

Bu problem, ardışık fiyat dönüşümlerini içerir.

• Adım 1: İlk İndirim (%10)
• Orijinal fiyat: 500 TL
• İndirim miktarı: \( 500 \times \frac{10}{100} = 50 \) TL
• İlk indirimli fiyat: \( 500 - 50 = 450 \) TL
• Adım 2: İkinci İndirim (%20)
• İkinci indirim, ilk indirimli fiyat üzerinden yapılır.
• İndirim miktarı: \( 450 \times \frac{20}{100} = 90 \) TL
• Son satış fiyatı: \( 450 - 90 = 360 \) TL

Alternatif olarak, fiyat dönüşümlerini çarpanlar olarak düşünebiliriz:

• İlk indirim sonrası fiyat: \( 500 \times (1 - 0.10) = 500 \times 0.90 = 450 \) TL
• İkinci indirim sonrası fiyat: \( 450 \times (1 - 0.20) = 450 \times 0.80 = 360 \) TL

Ayakkabının son satış fiyatı 360 TL'dir. Bu, bir tür fonksiyonel dönüşümün (fiyatın azaltılması) ardışık olarak uygulanmasıdır. 📉