💡 11. Sınıf Matematik: Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu tür eşitsizlikleri çözerken, denklemlerde yaptığımız işlemleri eşitsizlik sembolünü koruyarak uygularız.

1. Eşitsizliğin her iki tarafına 5 ekleyelim:
   \( 2x - 5 + 5 < 7 + 5 \)
   \( 2x < 12 \)
2. Eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim (Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
   \( \frac{2x}{2} < \frac{12}{2} \)
   \( x < 6 \)

Eşitsizliği sağlayan tam sayılar, 6'dan küçük olan tüm tam sayılardır. Yani: ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
💡 İpucu: Eşitsizlikte bilinmeyenin katsayısı negatif bir sayı olsaydı ve her iki tarafı bu negatif sayıya bölseydik, eşitsizlik yön değiştirirdi.

Bu problem, fiyat artışının müşteri kaybına etkisini eşitsizlik ile modellememizi gerektiriyor.

1. Mevcut Durum:
   Bilet Fiyatı = 120 TL
   Müşteri Sayısı = 1500
2. Kural:
   Bilet fiyatı 10 TL'den fazla artarsa, günlük ortalama 200 müşteri kaybedilir.
3. Firma Bilet Fiyatını En Az 10 TL Artırdığında:
   Yeni Bilet Fiyatı \( \ge 120 + 10 \) TL
   Yeni Bilet Fiyatı \( \ge 130 \) TL
4. Müşteri Kaybı:
   Bilet fiyatı 10 TL'den fazla arttığında müşteri kaybı başlar. Eğer tam olarak 10 TL artırılırsa (yani fiyat 130 TL olursa), bu "10 TL'den fazla" durumuna girmediği için doğrudan 200 müşteri kaybı yaşanmaz. Ancak soru "en az 10 TL artırdığında" diyor. Bu, fiyatın 130 TL veya daha fazla olabileceği anlamına gelir.
   Eğer fiyat 130 TL'den fazla olursa, 200 müşteri kaybı yaşanır.

Bu durumda, bilet fiyatı 130 TL'den fazla olduğunda 200 müşteri kaybedilir. Soruda "en az 10 TL artırdığında" ifadesi, fiyatın 130 TL'ye eşit veya daha fazla olabileceğini belirtir. Ancak müşteri kaybı kuralı "10 TL'den fazla olursa" dediği için, fiyatın 130 TL'den fazla olması durumunda 200 müşteri kaybı yaşanır. Eğer fiyat tam olarak 130 TL olursa, kurala göre 200 müşteri kaybı yaşanmaz. Ancak sorunun mantığı gereği, bu eşiği aştığımızda kaybın başladığını varsayabiliriz. En az 10 TL artış, fiyatı 130 TL'ye getirir. Eğer bu fiyat 10 TL'den fazla bir artış olarak kabul edilirse (yani 130 TL'den biraz daha fazla), 200 müşteri kaybedilir.

Sonuç olarak, bilet fiyatı 130 TL'den fazla olduğunda 200 müşteri kaybedilir. Soru "en az 10 TL artırdığında" dediği için, fiyat 130 TL'ye çıktığında henüz 200 müşteri kaybı başlamamış olabilir. Ancak 130 TL'nin üzerine çıkıldığında kesinlikle 200 müşteri kaybedilecektir. Sorunun kurgusu gereği, 10 TL'lik artışın eşiği tetiklediği varsayılırsa, 200 müşteri kaybedilir.

Bu problemde, zarar etmemek için gereken minimum satış fiyatını belirleyeceğiz.

1. Maliyet:
   Tane maliyeti \( a = 15 \) TL
2. Zarar Etmeme Koşulu:
   Satış fiyatı (b), maliyetin (a) en az %50 fazlası olmalıdır.
   \( b \ge a + a \times \frac{50}{100} \)
   \( b \ge a + a \times 0.5 \)
3. Değerleri Yerine Koyma:
   \( b \ge 15 + 15 \times 0.5 \)
   \( b \ge 15 + 7.5 \)
   \( b \ge 22.5 \)

Manavın zarar etmemesi için satış fiyatı b'nin en az 22.5 TL olması gerekmektedir. Soru, satış fiyatının alabileceği en küçük tam sayı değerini sorduğu için, 22.5'ten büyük veya eşit en küçük tam sayı 23'tür.

✅ Cevap: Satış fiyatı b'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 23 TL'dir.

Eşitsizlik sistemlerini çözerken, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözer ve elde ettiğimiz çözüm kümelerinin kesişimini alırız.

Birinci Eşitsizlik: \( 3x + 1 \le 10 \)

1. Her iki taraftan 1 çıkaralım: \( 3x \le 9 \)
2. Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x \le 3 \)

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, 3] \) aralığıdır.

İkinci Eşitsizlik: \( 2x - 4 > 0 \)

1. Her iki tarafa 4 ekleyelim: \( 2x > 4 \)
2. Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x > 2 \)

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (2, \infty) \) aralığıdır.

Sistem Çözümü (Kesişim):
Şimdi bu iki çözüm kümesinin kesişimini bulmalıyız:
\( x \le 3 \) ve \( x > 2 \)
Bu koşulları aynı anda sağlayan x tam sayıları 3'ten küçük veya eşit ve 2'den büyük olmalıdır. Bu durumda tek bir tam sayı değeri vardır: \( x = 3 \).

👉 Önemli Not: Eğer \( x < 3 \) olsaydı, çözüm kümesi \( (2, 3) \) olurdu ve bu aralıkta tam sayı olmazdı. Ancak \( x \le 3 \) olduğu için 3 tam sayısını da dahil ederiz.

Bu problem, toplam okunan sayfa sayısını kullanarak ilk gün okunan sayfa sayısını bulmayı amaçlar.

1. İlk Gün Okunan Sayfa Sayısı: \( x \)
2. İkinci Gün Okunan Sayfa Sayısı: \( x + 5 \)
3. Toplam Okunan Sayfa Sayısı: İlk gün + İkinci gün = \( x + (x + 5) \)
4. Eşitsizlik Kurulumu:
   Toplam okunan sayfa sayısı en az 45 olmalıdır.
   \( x + (x + 5) \ge 45 \)
5. Eşitsizliği Çözme:
   \( 2x + 5 \ge 45 \)
   Her iki taraftan 5 çıkaralım: \( 2x \ge 40 \)
   Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x \ge 20 \)

Öğrencinin ilk gün okuduğu sayfa sayısı x, 20'ye eşit veya daha fazla olmalıdır.

💡 Sonuç: İlk gün okunan sayfa sayısı \( x \ge 20 \) olmalıdır. Bu, öğrencinin ilk gün en az 20 sayfa okuduğu anlamına gelir.

Burada, hareketlinin aldığı yolun zamanla nasıl değiştiğini ve belirli bir zaman aralığında alabileceği minimum yolu bulacağız.

1. Verilen Formül:
   Alınan yol \( y = 10t + 5 \), burada t saat cinsinden zamandır.
2. Zaman Koşulu:
   Hareketli 3 saatten fazla süre hareket ediyor.
   \( t > 3 \)
3. Yol Eşitsizliğini Bulma:
   Formülde t yerine \( t > 3 \) koşulunu uygulayacağız. Ancak bunu doğrudan yapmak yerine, eşitsizliği t'ye göre düzenleyip sonra yol formülüne uyarlayacağız.
   Eşitsizlik \( t > 3 \) olduğundan, bu ifadenin her iki tarafını 10 ile çarpalım (pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez):
   \( 10t > 10 \times 3 \)
   \( 10t > 30 \)
4. Yol Formülüne Uyarlama:
   Şimdi bu eşitsizliğin her iki tarafına 5 ekleyelim (yol formülünü elde etmek için):
   \( 10t + 5 > 30 + 5 \)
   \( 10t + 5 > 35 \)
5. Sonuç:
   Aldığımız \( y = 10t + 5 \) formülü ile \( 10t + 5 > 35 \) eşitsizliğini birleştirdiğimizde, hareketlinin aldığı yol y'nin 35 kilometreden fazla olduğunu görürüz.
   Yani, \( y > 35 \)

Hareketli 3 saatten fazla süre hareket ettiğinde, aldığı yol en az 35 kilometreden fazla olacaktır. Soru, "en az kaç kilometre" dediği için, bu 35 kilometrenin hemen üzerindeki değeri ifade eder. Eğer tam olarak 35 km'den fazla bir değer soruluyorsa, bu 35'in üzerindeki bir sayıdır. Ancak "en az" ifadesi, bu sınırın kendisini veya hemen üzerini ima eder. Bu durumda, aldığı yol en az 35 kilometreden fazla olmalıdır. En küçük tam sayı değeri sorulsaydı 36 olurdu, ancak burada sınır 35'in üzeridir.

Bu problemde, sabit ücret ve veri kullanımına bağlı değişken ücreti içeren bir toplam fatura eşitsizliği kuracağız.

1. Sabit Ücret: 50 TL
2. Değişken Ücret (Veri Kullanımı): Her GB için 2 TL. Eğer x GB kullanılmışsa, bu ücret \( 2x \) TL olur.
3. Toplam Fatura: Sabit Ücret + Değişken Ücret = \( 50 + 2x \)
4. Fatura Koşulu:
   Toplam fatura 100 TL'yi geçmiyor (yani 100 TL'ye eşit veya daha az).
   \( 50 + 2x \le 100 \)
5. Eşitsizliği Çözme:
   Her iki taraftan 50 çıkaralım: \( 2x \le 50 \)
   Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x \le 25 \)

Öğrencinin bir ayda kullandığı veri miktarı x, 25 GB'a eşit veya daha az olmalıdır.

💡 Günlük Hayat Bağlantısı: İnternet paketlerinin kullanım limitleri ve ücretlendirmeleri bu tür eşitsizliklerle kolayca anlaşılabilir.

Bu eşitsizliği adım adım çözerek x'in değer aralığını bulacağız.

1. Sabit Terimi İzole Etme:
   Eşitsizliğin her iki tarafına 2 ekleyelim:
   \( \frac{x}{3} - 2 + 2 \ge -4 + 2 \)
   \( \frac{x}{3} \ge -2 \)
2. Bilinmeyeni Yalnız Bırakma:
   Eşitsizliğin her iki tarafını 3 ile çarpalım (pozitif bir sayı olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez):
   \( 3 \times \frac{x}{3} \ge 3 \times (-2) \)
   \( x \ge -6 \)

Eşitsizliği sağlayan x değerleri -6'ya eşit veya daha büyüktür. Soru, bu koşulu sağlayan negatif tam sayı değerlerini sorduğu için, -6'dan büyük veya eşit olan negatif tam sayılara bakmalıyız.

Bu sayılar şunlardır: -6, -5, -4, -3, -2, -1.

✅ Sonuç: Eşitsizliği sağlayan negatif tam sayılar \( \{ -6, -5, -4, -3, -2, -1 \} \) kümesidir.

Bu problemde, iki işçinin toplam verimliliğini kullanarak bir işçinin minimum verimliliğini belirleyeceğiz.

1. İşçi A'nın Günlük Toplama Kapasitesi: \( k \) kasa
2. İşçi B'nin Günlük Toplama Kapasitesi: İşçi A'dan 5 kasa fazla, yani \( k + 5 \) kasa
3. İki İşçinin Toplam Günlük Kapasitesi: İşçi A + İşçi B = \( k + (k + 5) \)
4. Çiftçinin Talebi:
   Toplam domates kasası sayısı en az 35 olmalıdır.
   \( k + (k + 5) \ge 35 \)
5. Eşitsizliği Çözme:
   \( 2k + 5 \ge 35 \)
   Her iki taraftan 5 çıkaralım: \( 2k \ge 30 \)
   Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( k \ge 15 \)

Çiftçinin isteğini karşılamak için işçi A'nın bir günde toplayabileceği kasa sayısı k, 15'e eşit veya daha fazla olmalıdır.

👉 Sonuç: İşçi A'nın günlük toplama kapasitesi \( k \ge 15 \) olmalıdır. Bu, işçi A'nın günde en az 15 kasa domates toplaması gerektiği anlamına gelir.