💡 11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Çözümlü Örnekler

Bu eşitsizliği çözmek için önce ifadeyi çarpanlarına ayırıp köklerini bulmalıyız.

• Adım 1: Eşitsizliği sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.

\[ x^2 - 9 = 0 \]

\[ (x-3)(x+3) = 0 \]

Buradan kökler \( x_1 = 3 \) ve \( x_2 = -3 \) olarak bulunur.

• Adım 2: İşaret tablosu oluşturalım.

İfade \( x^2 - 9 \) olduğundan, başkatsayı \( 1 \) yani pozitiftir. Bu durumda köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatif işaret alır.

Aşağıdaki gibi bir işaret tablosu düşünebiliriz:

x | -∞ -3 3 +∞
x²-9 | + 0 - 0 +

• Adım 3: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyelim.

Bizden \( x^2 - 9 < 0 \) eşitsizliğini sağlayan değerler istendiği için, ifadenin negatif olduğu aralığa bakmalıyız.

Bu aralık \( (-3, 3) \) aralığıdır.

✅ Çözüm Kümesi: \( (-3, 3) \)

Bu eşitsizliği çözmek için yine ifadenin köklerini bulup işaret tablosu oluşturmalıyız.

• Adım 1: Denklemi sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Çarpanlara ayırırsak:

\[ (x-2)(x-3) = 0 \]

Kökler \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur.

• Adım 2: İşaret tablosu oluşturalım.

İfade \( x^2 - 5x + 6 \) olduğundan, başkatsayı \( 1 \) yani pozitiftir. Köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatif işaret alır.

x | -∞ 2 3 +∞
x²-5x+6 | + 0 - 0 +

• Adım 3: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyelim.

Bizden \( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \) eşitsizliğini sağlayan değerler istendiği için, ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıklara bakmalıyız.

Bu aralıklar \( (-\infty, 2] \cup [3, \infty) \) şeklindedir.

✅ Çözüm Kümesi: \( (-\infty, 2] \cup [3, \infty) \)

Rasyonel eşitsizliklerde hem payın hem de paydanın köklerini bulup işaret tablosunda birlikte incelememiz gerekir. Paydanın sıfır olamayacağını unutmayalım!

• Adım 1: Payın kökünü bulalım.

\[ x-1 = 0 \implies x = 1 \]

• Adım 2: Paydanın köklerini bulalım.

\[ x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \]

Kökler \( x = 2 \) ve \( x = -2 \) olarak bulunur. Bu kökler paydadan geldiği için çözüm kümesine asla dahil edilmez.

• Adım 3: Tüm kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosu oluşturalım.

Köklerimiz: \( -2, 1, 2 \)

Her bir terimin başkatsayısı pozitiftir (\( x-1 \)'in katsayısı 1, \( x^2-4 \)'ün katsayısı 1). Bu durumda en sağdan artı işaretiyle başlarız.

x | -∞ -2 1 2 +∞
x-1 | - - 0 + +
x²-4 | + 0 - - 0 +
(x-1)/(x²-4)| - tanımsız + 0 - tanımsız +

• Adım 4: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyelim.

Bizden \( \frac{x-1}{x^2 - 4} < 0 \) eşitsizliğini sağlayan değerler istendiği için, ifadenin negatif olduğu aralıklara bakmalıyız.

Bu aralıklar \( (-\infty, -2) \cup (1, 2) \) şeklindedir.

✅ Çözüm Kümesi: \( (-\infty, -2) \cup (1, 2) \)

Bu tür eşitsizliklerde her bir çarpanın köklerini bulup işaret tablosunda incelemeliyiz.

• Adım 1: Her bir çarpanın köklerini bulalım.
• Birinci çarpan: \( x+2 = 0 \implies x = -2 \)
• İkinci çarpan: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)

Bu ifade bir tam karedir: \( (x-3)^2 = 0 \implies x = 3 \) (çift katlı kök)

• Adım 2: Tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosu oluşturalım.

Köklerimiz: \( -2 \) (tek katlı), \( 3 \) (çift katlı)

İfadenin tamamının başkatsayısı pozitiftir ( \( x \cdot x^2 = x^3 \) teriminden gelir).

x | -∞ -2 3 +∞
x+2 | - 0 + +
(x-3)² | + + 0 +
(x+2)(x-3)² | - 0 + 0 +

⚠️ Önemli Not: Çift katlı köklerde işaret değişmez.

• Adım 3: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyelim.

Bizden \( (x+2)(x^2 - 6x + 9) \le 0 \) eşitsizliğini sağlayan değerler istendiği için, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıklara bakmalıyız.

Bu aralık \( (-\infty, -2] \). Ayrıca \( x=3 \) değeri eşitsizliği sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilir.

✅ Çözüm Kümesi: \( (-\infty, -2] \cup \{3\} \)

Eşitsizlik sistemlerinde her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüp, daha sonra çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız.

• Birinci Eşitsizlik: \( x^2 - x - 2 < 0 \)
• Kökler: \( x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \). Kökler \( x=2 \) ve \( x=-1 \).
• İşaret Tablosu: Başkatsayı pozitif.

x | -∞ -1 2 +∞
x²-x-2 | + 0 - 0 +

• Çözüm Kümesi 1: \( (-1, 2) \) (negatif olduğu yerler)
• İkinci Eşitsizlik: \( x^2 - 4x \ge 0 \)
• Kökler: \( x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \). Kökler \( x=0 \) ve \( x=4 \).
• İşaret Tablosu: Başkatsayı pozitif.

x | -∞ 0 4 +∞
x²-4x | + 0 - 0 +

• Çözüm Kümesi 2: \( (-\infty, 0] \cup [4, \infty) \) (pozitif veya sıfır olduğu yerler)
• Adım 3: İki çözüm kümesinin kesişimini alalım.

Ç.K.1 = \( (-1, 2) \)
Ç.K.2 = \( (-\infty, 0] \cup [4, \infty) \)

Sayı doğrusu üzerinde bu aralıkları göstererek kesişimlerini bulabiliriz:

-1 ----- 2
---0 4---

Bu iki aralığın kesişimi \( (-1, 0] \) aralığıdır.

✅ Çözüm Kümesi: \( (-1, 0] \)

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken, mutlak değerin tanımını kullanarak ifadeyi iki ayrı eşitsizliğe dönüştürürüz.

• Adım 1: Mutlak değeri açalım.

\[ |x^2 - 5| \le 4 \implies -4 \le x^2 - 5 \le 4 \]

Bu eşitsizlik sistemini iki parçaya ayırabiliriz:

1) \( x^2 - 5 \ge -4 \)

2) \( x^2 - 5 \le 4 \)

• Adım 2: Birinci eşitsizliği çözelim: \( x^2 - 5 \ge -4 \)

\[ x^2 - 1 \ge 0 \]

\[ (x-1)(x+1) \ge 0 \]

Kökler \( x=1 \) ve \( x=-1 \). Başkatsayı pozitif.

Çözüm Kümesi 1: \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)

• Adım 3: İkinci eşitsizliği çözelim: \( x^2 - 5 \le 4 \)

\[ x^2 - 9 \le 0 \]

\[ (x-3)(x+3) \le 0 \]

Kökler \( x=3 \) ve \( x=-3 \). Başkatsayı pozitif.

Çözüm Kümesi 2: \( [-3, 3] \)

• Adım 4: İki çözüm kümesinin kesişimini alalım.

Ç.K.1 = \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)
Ç.K.2 = \( [-3, 3] \)

Bu iki aralığın kesişimi:

\[ ([-3, -1] \cup [1, 3]) \]

✅ Çözüm Kümesi: \( [-3, -1] \cup [1, 3] \)

Bu problemde bahçenin alanı ile ilgili verilen eşitsizlikleri kurup çözmeliyiz.

• Adım 1: Bahçenin alanını \( x \) cinsinden ifade edelim.

Kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğu \( x \) metre ise, alanı \( A = x^2 \) metrekaredir.

• Adım 2: Verilen koşulları eşitsizlik olarak yazalım.

Alan 25 metrekareden fazla olmalı: \( x^2 > 25 \)

Alan 100 metrekareden az olmalı: \( x^2 < 100 \)

Bu iki eşitsizliği bir sistem olarak düşünebiliriz: \( 25 < x^2 < 100 \)

• Adım 3: Eşitsizlik sistemini çözelim.

1) \( x^2 > 25 \)

\[ x^2 - 25 > 0 \implies (x-5)(x+5) > 0 \]

Kökler \( x=5 \) ve \( x=-5 \). Başkatsayı pozitif.

Çözüm Kümesi 1: \( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \)

2) \( x^2 < 100 \)

\[ x^2 - 100 < 0 \implies (x-10)(x+10) < 0 \]

Kökler \( x=10 \) ve \( x=-10 \). Başkatsayı pozitif.

Çözüm Kümesi 2: \( (-10, 10) \)

• Adım 4: Elde edilen çözüm kümelerinin kesişimini alalım.

Ç.K.1 = \( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \)
Ç.K.2 = \( (-10, 10) \)

Kesişim: \( (-10, -5) \cup (5, 10) \)

• Adım 5: Fiziksel koşulları göz önünde bulunduralım.

Kenar uzunluğu \( x \) bir uzunluk olduğu için negatif olamaz. Bu yüzden \( x > 0 \) olmalıdır.

Bu durumda \( (-10, -5) \) aralığı elenir. Geriye sadece \( (5, 10) \) aralığı kalır.

✅ Çözüm: Bahçenin bir kenar uzunluğu \( x \) için \( (5, 10) \) aralığında olmalıdır. Yani, \( 5 < x < 10 \) metre olmalıdır.

Şirketin karının en az 8 bin TL olması demek, \( K(x) \ge 8 \) olması demektir. Bu eşitsizliği kurup çözmeliyiz.

• Adım 1: Eşitsizliği kuralım.

\[ -x^2 + 10x - 16 \ge 8 \]

• Adım 2: Eşitsizliği düzenleyip standart hale getirelim.

\[ -x^2 + 10x - 16 - 8 \ge 0 \]

\[ -x^2 + 10x - 24 \ge 0 \]

Her tarafı \( -1 \) ile çarparak başkatsayısını pozitif yapalım (eşitsizlik yön değiştirir):

\[ x^2 - 10x + 24 \le 0 \]

• Adım 3: Eşitsizliğin köklerini bulalım.

\[ x^2 - 10x + 24 = 0 \]

Çarpanlara ayıralım: \( (x-4)(x-6) = 0 \)

Kökler \( x_1 = 4 \) ve \( x_2 = 6 \) olarak bulunur.

• Adım 4: İşaret tablosu oluşturalım.

İfade \( x^2 - 10x + 24 \) olduğundan, başkatsayı \( 1 \) yani pozitiftir. Köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatif işaret alır.

x | -∞ 4 6 +∞
x²-10x+24 | + 0 - 0 +

• Adım 5: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyelim.

Bizden \( x^2 - 10x + 24 \le 0 \) eşitsizliğini sağlayan değerler istendiği için, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralığa bakmalıyız.

Bu aralık \( [4, 6] \) şeklindedir.

• Adım 6: Problemdeki kısıtlamaları göz önünde bulunduralım.

Ürün miktarı \( x \) (bin adet) pozitif olmalıdır. Bulduğumuz aralık pozitif değerlerden oluştuğu için ek bir kısıtlama gerekmez.

✅ Çözüm: Şirketin aylık karının en az 8 bin TL olabilmesi için, üretilen ürün miktarı \( x \) bin adet olarak \( [4, 6] \) aralığında olmalıdır. Yani, 4 bin ile 6 bin adet arasında ürün üretilmelidir.

Manavın elma ve armut için ödeyeceği toplam tutarı hesaplayıp, bu tutarın bütçesini aşmamasını sağlayan eşitsizliği kurmalıyız.

• Adım 1: Elma ve armut için ödenecek toplam tutarı \( x \) cinsinden ifade edelim.
• 3 kg elma için ödenecek tutar: \( 3 \cdot x = 3x \) TL
• 2 kg armut için ödenecek tutar: \( 2 \cdot (x+2) = 2x + 4 \) TL
• Toplam tutar: \( 3x + (2x+4) = 5x + 4 \) TL
• Adım 2: Bütçe kısıtlamasını eşitsizlik olarak yazalım.

Manavın bütçesi en fazla 30 TL olduğuna göre, toplam tutar 30 TL'ye eşit veya daha az olmalıdır.

\[ 5x + 4 \le 30 \]

• Adım 3: Eşitsizliği çözelim.

\[ 5x \le 30 - 4 \]

\[ 5x \le 26 \]

\[ x \le \frac{26}{5} \]

\[ x \le 5.2 \]

• Adım 4: Fiyatın fiziksel koşullarını göz önünde bulunduralım.

Elmanın kilogram fiyatı \( x \) olduğu için, fiyat negatif olamaz. Bu nedenle \( x > 0 \) olmalıdır.

Diğer yandan, armutun fiyatı \( x+2 \) olduğu için, \( x+2 > 0 \implies x > -2 \) olmalıdır. Her iki koşuldan da \( x>0 \) yeterlidir.

Bu durumda, eşitsizliğin çözüm kümesi \( (0, 5.2] \) aralığıdır.

✅ Çözüm: Elmanın kilogram fiyatı \( x \) için \( (0, 5.2] \) aralığında olabilir. Yani, elmanın kilogram fiyatı 0 TL'den fazla ve 5.2 TL'ye eşit veya daha az olmalıdır.