🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik tablo Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik tablo Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayı aralığını bulunuz:
\( x - 3 > 5 \)
Çözüm:
Bu tür basit lineer eşitsizlikleri çözmek için temel cebirsel işlemleri kullanırız.
- Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafına 3 ekleyerek x'i yalnız bırakalım.
- \( x - 3 + 3 > 5 + 3 \)
- Adım 2: İşlemi yapalım.
- \( x > 8 \)
- Sonuç: Eşitsizliği sağlayan x değerleri 8'den büyüktür. Bu durum \( (8, \infty) \) aralığı ile gösterilir. 💡
Örnek 2:
\( 2x + 1 \le 7 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Lineer eşitsizliklerde amacımız bilinmeyeni (bu durumda x) yalnız bırakmaktır.
- Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkaralım.
- \( 2x + 1 - 1 \le 7 - 1 \)
- \( 2x \le 6 \)
- Adım 2: Eşitsizliğin her iki tarafını x'in katsayısı olan 2'ye bölelim. Eşitsizlik yön değiştirmez çünkü pozitif bir sayıya bölüyoruz.
- \( \frac{2x}{2} \le \frac{6}{2} \)
- \( x \le 3 \)
- Sonuç: Eşitsizliği sağlayan x değerleri 3'e eşit veya 3'ten küçüktür. Çözüm kümesi \( (-\infty, 3] \) şeklindedir. ✅
Örnek 3:
\( (x-2)(x+1) > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini eşitsizlik tablosu kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu tür ikinci dereceden eşitsizliklerde kökleri bularak tablo yöntemiyle çözüm yaparız.
- Adım 1: Eşitsizliği sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.
- \( (x-2)(x+1) = 0 \)
- Buradan kökler \( x = 2 \) ve \( x = -1 \) bulunur.
- Adım 2: Kökleri sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştirerek tablo oluşturalım.
- Kökler: -1 ve 2.
- Adım 3: En sağdaki aralıktan başlayarak işaretleri belirleyelim. \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğundan en sağdaki aralık (+) ile başlar, köklerden geçerken işaret değiştirir.
- Tablo:
- x | -∞ -1 2 +∞
- -------------------------------------
- (x-2) | - - + +
- (x+1) | - + + +
- (x-2)(x+1) | + - + +
- Adım 4: Eşitsizliğimiz \( > 0 \) olduğu için tabloda (+) işaretli aralıkları almalıyız.
- Sonuç: Çözüm kümesi \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) olur. 📌
Örnek 4:
\( \frac{x-1}{x+2} \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Kesirli eşitsizliklerde pay ve paydanın kökleri bulunur ve tablo yöntemi kullanılır. Paydanın kökü çözüm kümesine dahil edilmez.
- Adım 1: Payı sıfıra eşitleyerek kökü bulalım: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
- Adım 2: Paydayı sıfıra eşitleyerek kökü bulalım: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \). Bu kök dahil değildir.
- Adım 3: Kökleri sayı doğrusuna yerleştirelim ve tablo oluşturalım.
- Kökler: -2 (dahil değil) ve 1 (dahil).
- Adım 4: En sağdan başlayarak işaretleri belirleyelim. \( \frac{x}{x} \) oranının işareti (+) olduğundan en sağdaki aralık (+) ile başlar.
- Tablo:
- x | -∞ -2 1 +∞
- -------------------------------------
- (x-1) | - - + +
- (x+2) | - + + +
- Kesir | + - + +
- Adım 5: Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için tabloda (-) işaretli aralığı almalıyız. Payın kökü olan 1 dahil edilirken, paydanın kökü olan -2 dahil edilmez.
- Sonuç: Çözüm kümesi \( (-2, 1] \) olur. 👉
Örnek 5:
\( x^2 - 5x + 6 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu, ikinci dereceden bir polinom eşitsizliğidir. Kökleri bulup tablo yöntemiyle çözebiliriz.
- Adım 1: Eşitsizliği sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
- Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz: \( (x-2)(x-3) = 0 \).
- Kökler \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) olarak bulunur.
- Adım 2: Kökleri sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştirerek tablo oluşturalım.
- Kökler: 2 ve 3.
- Adım 3: En sağdaki aralıktan başlayarak işaretleri belirleyelim. \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğundan en sağdaki aralık (+) ile başlar, köklerden geçerken işaret değiştirir.
- Tablo:
- x | -∞ 2 3 +∞
- -------------------------------------
- (x-2) | - + + +
- (x-3) | - - + +
- Polinom | + - + +
- Adım 4: Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için tabloda (-) işaretli aralığı ve kökleri almalıyız.
- Sonuç: Çözüm kümesi \( [2, 3] \) olur. 💯
Örnek 6:
Bir inşaat firması, maliyetleri düşürmek amacıyla bir ürünün üretim miktarını (x ton) belirleyecektir. Firmanın kar fonksiyonu \( K(x) = -x^2 + 10x - 9 \) şeklinde verilmiştir. Firmanın zarar etmemesi (karının sıfırdan büyük veya eşit olması) için üretim miktarı (x ton) hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm:
Zarar etmemek demek, karın sıfırdan büyük veya eşit olması demektir. Bu durumu eşitsizlik ile ifade edip çözeceğiz.
- Adım 1: Kar fonksiyonunun sıfırdan büyük veya eşit olmasını sağlayan x değerlerini bulalım.
- \( K(x) \ge 0 \)
- \( -x^2 + 10x - 9 \ge 0 \)
- Adım 2: Eşitsizliği daha kolay çözmek için her iki tarafı -1 ile çarpıp eşitsizlik yönünü değiştirelim.
- \( x^2 - 10x + 9 \le 0 \)
- Adım 3: Bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulmak için \( x^2 - 10x + 9 = 0 \) denklemini çözelim.
- Çarpanlarına ayırırsak: \( (x-1)(x-9) = 0 \).
- Kökler \( x = 1 \) ve \( x = 9 \) olarak bulunur.
- Adım 4: \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğundan, parabolün kolları yukarı doğrudur. Eşitsizlik \( \le 0 \) olduğu için, kökler arasındaki bölgeyi alırız.
- Sonuç: Firmanın zarar etmemesi için üretim miktarı (x ton) \( [1, 9] \) aralığında olmalıdır. 📈
Örnek 7:
Bir öğrenci, bir sınavdan en az 70 puan almak istemektedir. Sınavda 4 tane çoktan seçmeli soru ve 1 tane açık uçlu soru bulunmaktadır. Çoktan seçmeli soruların her biri 10 puan değerindedir. Açık uçlu sorunun kaç puan olması gerektiğini ve bu sorunun puanının en az kaç olması gerektiğini bir eşitsizlik kurarak bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz. Öğrencinin toplam puanının en az 70 olması hedeflenmektedir.
- Adım 1: Çoktan seçmeli sorulardan alınabilecek maksimum puanı hesaplayalım.
- 4 soru \( \times \) 10 puan/soru = 40 puan.
- Adım 2: Açık uçlu sorunun puanını 'a' ile gösterelim.
- Adım 3: Toplam puanın en az 70 olması gerektiği için eşitsizliği kuralım.
- Çoktan Seçmeli Puanları + Açık Uçlu Puanı \( \ge \) Hedef Puan
- \( 40 + a \ge 70 \)
- Adım 4: Eşitsizliği 'a' için çözelim.
- \( a \ge 70 - 40 \)
- \( a \ge 30 \)
- Sonuç: Açık uçlu sorunun puanı en az 30 olmalıdır. Bu sayede öğrenci, çoktan seçmeli sorulardan alabileceği maksimum puanla (40) birlikte toplamda en az 70 puana ulaşabilir. 📚
Örnek 8:
\( (x^2 - 4)(x - 3) < 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu eşitsizlik, iki çarpanın çarpımının negatif olmasını gerektirir. Çarpanların köklerini bulup tablo yöntemiyle çözebiliriz.
- Adım 1: Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.
- \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0 \). Kökler \( x = 2 \) ve \( x = -2 \).
- \( x - 3 = 0 \). Kök \( x = 3 \).
- Adım 2: Tüm kökleri sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştirerek tablo oluşturalım.
- Kökler: -2, 2, 3.
- Adım 3: En sağdaki aralıktan başlayarak işaretleri belirleyelim. \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğundan en sağdaki aralık (+) ile başlar, köklerden geçerken işaret değiştirir.
- Tablo:
- x | -∞ -2 2 3 +∞
- -----------------------------------------
- (x^2-4) | + - + + +
- (x-3) | - - - + +
- Çarpım | - + - + +
- Adım 4: Eşitsizliğimiz \( < 0 \) olduğu için tabloda (-) işaretli aralıkları almalıyız. Kökler dahil değildir.
- Sonuç: Çözüm kümesi \( (-\infty, -2) \cup (2, 3) \) olur. 🎯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-esitsizlik-tablo/sorular