🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik sistemi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Eşitsizlik sistemi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\( x - 3 < 0 \)
\( x^2 - 4 \le 0 \)
\( x - 3 < 0 \)
\( x^2 - 4 \le 0 \)
Çözüm:
Eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı inceleyelim:
- 1. Eşitsizlik: \( x - 3 < 0 \) ise \( x < 3 \) elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, 3) \) aralığıdır.
- 2. Eşitsizlik: \( x^2 - 4 \le 0 \) eşitsizliğinde çarpanlara ayırma yaparsak \( (x - 2)(x + 2) \le 0 \) olur. Kökler \( x = 2 \) ve \( x = -2 \) noktalarıdır. İşaret tablosu incelendiğinde, \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için tablo sağdan (+) ile başlar: \( +, -, + \). Bu durumda çözüm aralığı \( [-2, 2] \) olur.
- Sistem Çözümü: İki çözüm kümesinin kesişimini almalıyız. \( (-\infty, 3) \) ile \( [-2, 2] \) aralıklarının kesişimi \( [-2, 2] \) aralığıdır.
Örnek 2:
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz:
\( x^2 - 5x + 4 < 0 \)
\( \frac{x - 2}{x} \ge 0 \)
\( x^2 - 5x + 4 < 0 \)
\( \frac{x - 2}{x} \ge 0 \)
Çözüm:
Adım adım ilerleyelim:
- 1. Eşitsizliğin Analizi: \( x^2 - 5x + 4 < 0 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım: \( (x - 4)(x - 1) < 0 \). Kökler \( x = 1 \) ve \( x = 4 \) değerleridir. İşaret tablosunda \( 1 < x < 4 \) aralığı negatif bölgedir.
- 2. Eşitsizliğin Analizi: \( \frac{x - 2}{x} \ge 0 \) ifadesinde payın kökü \( x = 2 \), paydanın kökü \( x = 0 \) noktasıdır. İşaret tablosu incelendiğinde (payda sıfır olamaz), çözüm aralığı \( (-\infty, 0) \cup [2, \infty) \) olur.
- Kesişim Kümesi: İlk eşitsizlikten gelen \( (1, 4) \) aralığı ile ikinci eşitsizlikten gelen \( (-\infty, 0) \cup [2, \infty) \) aralığının ortak bölgesi \( [2, 4) \) aralığıdır.
- Tam Sayı Değerleri: Bu aralıktaki tam sayılar \( 2 \) ve \( 3 \) değerleridir.
- Toplam: \( 2 + 3 = 5 \) bulunur.
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 - x - 12 \le 0 \)
\( g(x) = x^2 - 9 > 0 \)
Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
\( g(x) = x^2 - 9 > 0 \)
Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Sistemi oluşturan fonksiyonların köklerini bulalım:
- f(x) için: \( x^2 - x - 12 = 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 3) = 0 \). Kökler: \( x = -3 \) ve \( x = 4 \). İşaret tablosunda kökler arası negatif, dışı pozitiftir. Çözüm: \( [-3, 4] \).
- g(x) için: \( x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) = 0 \). Kökler: \( x = -3 \) ve \( x = 3 \). İşaret tablosunda kökler dışı pozitif bölgedir. Çözüm: \( (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \).
- Ortak Çözüm: İki aralığı kesiştirdiğimizde, \( -3 \) noktası \( g(x) \) için dahil olmadığından açık bırakılır. Ortak bölge sadece \( (3, 4] \) aralığıdır.
Örnek 4:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\( (x - 1)^2 (x + 2) < 0 \)
\( \frac{x^2 + 1}{x - 5} < 0 \)
\( (x - 1)^2 (x + 2) < 0 \)
\( \frac{x^2 + 1}{x - 5} < 0 \)
Çözüm:
Her iki eşitsizliği dikkatle inceleyelim:
- 1. Eşitsizlik: \( (x - 1)^2 (x + 2) < 0 \). Burada \( (x - 1)^2 \) her zaman pozitif veya sıfırdır. Çarpımın negatif olması için \( x + 2 < 0 \) olmalıdır. Ayrıca \( x \neq 1 \) olmalıdır (çünkü 1 değeri ifadeyi 0 yapar ama bizden küçük olması isteniyor). Buradan \( x < -2 \) elde edilir.
- 2. Eşitsizlik: \( \frac{x^2 + 1}{x - 5} < 0 \). Pay kısmındaki \( x^2 + 1 \) ifadesi her \( x \) reel sayısı için daima pozitiftir. İfadenin negatif olması için paydanın negatif olması gerekir: \( x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5 \).
- Sistem Çözümü: \( x < -2 \) ve \( x < 5 \) koşullarının her ikisini de sağlayan bölge \( x < -2 \) yani \( (-\infty, -2) \) aralığıdır.
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( x + 2 \) birim, diğer kenar uzunluğu \( 8 - x \) birim olan bir dikdörtgenin alanının en az 7 birimkare olması ve kenar uzunluklarının her birinin pozitif olması istenmektedir. Buna göre \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
Çözüm:
Dikdörtgenin özelliklerine göre bir eşitsizlik sistemi kuralım:
- Kenar Uzunlukları Pozitif Olmalı:
1) \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \)
2) \( 8 - x > 0 \Rightarrow x < 8 \)
Bu durumda \( -2 < x < 8 \) olmalıdır. - Alan Koşulu:
\( (x + 2)(8 - x) \ge 7 \)
\( 8x - x^2 + 16 - 2x \ge 7 \)
\( -x^2 + 6x + 16 \ge 7 \)
\( -x^2 + 6x + 9 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 6x - 9 \le 0 \)
Bu denklemin köklerini diskriminant ile bulursak: \( \Delta = 36 - 4(1)(-9) = 72 \). Kökler \( 3 - 3\sqrt{2} \) ve \( 3 + 3\sqrt{2} \) yaklaşık olarak \( -1.2 \) ve \( 7.2 \) değerleridir. - Tam Sayı Değerleri: \( -1.2 \le x \le 7.2 \) aralığındaki ve aynı zamanda \( -2 < x < 8 \) şartını sağlayan tam sayılar: \( -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \).
- Sonuç: Toplam 9 tane tam sayı değeri vardır.
Örnek 6:
Bir teknoloji mağazasında bir tabletin maliyet fiyatı \( x \) TL, satış fiyatı ise \( x^2 - 10x + 100 \) TL'dir. Mağazanın bu satıştan kar elde edebilmesi için \( x \) hangi aralıkta olmalıdır? Ayrıca tabletin maliyetinin 20 TL'den fazla olduğu bilinmektedir. (Not: Kar = Satış - Maliyet)
Çözüm:
Problemi eşitsizlik sistemine dönüştürelim:
- Kar Koşulu: Satış fiyatı maliyetten büyük olmalıdır.
\( x^2 - 10x + 100 > x \)
\( x^2 - 11x + 100 > 0 \)
Bu ifadenin diskriminantına bakalım: \( \Delta = (-11)^2 - 4(1)(100) = 121 - 400 = -279 \).
\( \Delta < 0 \) ve baş katsayı pozitif olduğu için bu ifade her \( x \) değeri için daima pozitiftir. Yani her zaman kar edilir. - Maliyet Koşulu: Soruda maliyetin 20 TL'den fazla olduğu belirtilmiştir.
\( x > 20 \). - Sistem Çözümü: İlk koşul tüm reel sayılar için sağlandığına göre, tek kısıtlayıcı faktör ikinci koşuldur.
Örnek 7:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\( x^2 + 1 > 0 \)
\( x^2 - 4x \le 0 \)
\( x^2 + 1 > 0 \)
\( x^2 - 4x \le 0 \)
Çözüm:
Sistemi oluşturan her bir parçayı değerlendirelim:
- 1. Eşitsizlik: \( x^2 + 1 > 0 \). Bir sayının karesi en az sıfır olabilir, üzerine 1 eklendiğinde sonuç her zaman 1 veya daha büyük olur. Dolayısıyla bu eşitsizlik tüm reel sayılar (\( \mathbb{R} \)) için doğrudur.
- 2. Eşitsizlik: \( x^2 - 4x \le 0 \Rightarrow x(x - 4) \le 0 \). Kökler \( x = 0 \) ve \( x = 4 \)'tür. İşaret tablosunda kökler arası negatif bölgeyi verir. Çözüm: \( [0, 4] \).
- Ortak Çözüm: Tüm reel sayılar ile \( [0, 4] \) aralığının kesişimi yine \( [0, 4] \) aralığıdır.
Örnek 8:
Bir topun yerden yüksekliği zamana (\( t \)) bağlı olarak \( h(t) = -t^2 + 8t \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Topun yüksekliğinin 7 metreden fazla, 12 metreden az olduğu zaman aralığını bulunuz.
Çözüm:
Sorulan durumu bir eşitsizlik sistemi olarak yazalım:
- 1. Durum: \( -t^2 + 8t > 7 \Rightarrow t^2 - 8t + 7 < 0 \)
Çarpanlara ayırırsak: \( (t - 7)(t - 1) < 0 \). Kökler 1 ve 7'dir. Aralığımız: \( (1, 7) \). - 2. Durum: \( -t^2 + 8t < 12 \Rightarrow t^2 - 8t + 12 > 0 \)
Çarpanlara ayırırsak: \( (t - 6)(t - 2) > 0 \). Kökler 2 ve 6'dır. Aralığımız: \( (-\infty, 2) \cup (6, \infty) \). - Kesişim: \( (1, 7) \) aralığı ile \( (-\infty, 2) \cup (6, \infty) \) aralıklarını birleştirelim.
- \( 1 < t < 2 \) aralığı her iki şartı da sağlar.
- \( 6 < t < 7 \) aralığı her iki şartı da sağlar.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-esitsizlik-sistemi/sorular