🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Esas ölçü Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Esas ölçü Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir açının ölçüsü \( 400^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açının esas ölçüsünü bulunuz. 💡
Çözüm:
- Esas ölçü, bir açının \( 0^\circ \) ile \( 360^\circ \) arasındaki karşılığıdır.
- Eğer verilen açı \( 360^\circ \) 'den büyükse, 360'a bölümünden kalanı buluruz.
- \( 400^\circ \) sayısını 360'a bölelim: \( 400 \div 360 = 1 \) kalan \( 40 \).
- Dolayısıyla, \( 400^\circ \) açısının esas ölçüsü \( 40^\circ \) 'dir. ✅
Örnek 2:
\( -110^\circ \) açısının esas ölçüsü nedir? 🤔
Çözüm:
- Negatif açılarda esas ölçüyü bulmak için, açıya 360'ın katlarını ekleyerek pozitif hale getiririz.
- \( -110^\circ \) 'ye 360 ekleyelim: \( -110^\circ + 360^\circ = 250^\circ \).
- Bulduğumuz \( 250^\circ \) değeri \( 0^\circ \) ile \( 360^\circ \) arasında olduğu için esas ölçüdür. ✅
Örnek 3:
\( \frac{7\pi}{3} \) radyanlık açının esas ölçüsünü derece cinsinden bulunuz. 📏
Çözüm:
- Radyan cinsinden verilen bir açının esas ölçüsünü bulmak için, paydanın 2 katına (\( 2 \times 3 = 6 \)) bölümünden kalana bakarız.
- \( \frac{7\pi}{3} \) ifadesinde, 7'yi paydanın 2 katı olan 6'ya bölelim: \( 7 \div 6 = 1 \) kalan \( 1 \).
- Kalan 1'dir, bu durumda esas ölçü \( \frac{1\pi}{3} \) yani \( \frac{\pi}{3} \) radyan olur.
- Bu değeri dereceye çevirelim: \( \frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 60^\circ \).
- Dolayısıyla, \( \frac{7\pi}{3} \) radyanlık açının esas ölçüsü \( 60^\circ \) 'dir. ✅
Örnek 4:
\( -\frac{13\pi}{4} \) radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz. 🔄
Çözüm:
- Negatif radyan açılarda, esas ölçüyü bulmak için açıya \( 2\pi \)'nin pozitif tam sayı katlarını ekleriz.
- \( -\frac{13\pi}{4} \) 'e \( 2\pi \) ekleyelim: \( -\frac{13\pi}{4} + 2\pi = -\frac{13\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4} \).
- Hala negatif. Bir \( 2\pi \) daha ekleyelim: \( -\frac{5\pi}{4} + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
- \( \frac{3\pi}{4} \) radyanlık açı \( 0 \) ile \( 2\pi \) arasında olduğundan, bu bizim esas ölçümüzdür. ✅
Örnek 5:
Bir saat mekanizmasının akrep ve yelkovanı, tam 12:00'den sonra ilk kez kaç derece dönerse, akrep ile yelkovan arasındaki açı \( 90^\circ \) olur? (İpucu: Akrep 1 saatte \( 30^\circ \), yelkovan 1 saatte \( 360^\circ \) döner.) 🕰️
Çözüm:
- Saat 12:00'de akrep ve yelkovan üst üstedir, aralarındaki açı \( 0^\circ \)'dır.
- Yelkovan \( x \) dakika ilerlesin. Bu durumda yelkovanın dönme açısı \( 6x \) derece olur.
- Aynı sürede akrep, \( \frac{x}{60} \) saat ilerler ve \( \frac{x}{60} \times 30^\circ = \frac{x}{2} \) derece döner.
- Aralarındaki açı farkının \( 90^\circ \) olması için iki durum söz konusudur:
- Durum 1: Yelkovan akrepten öndedir. \( 6x - \frac{x}{2} = 90 \implies \frac{11x}{2} = 90 \implies 11x = 180 \implies x = \frac{180}{11} \) dakika.
- Durum 2: Akrep yelkovandan öndedir (bu durum 12:00'den hemen sonra olmaz, ancak genel mantık).
- Biz ilk durumu ele alıyoruz. \( x = \frac{180}{11} \) dakika sonra, yelkovan \( 6x = 6 \times \frac{180}{11} = \frac{1080}{11} \) derece dönmüş olur.
- Bu dönme miktarı, esas ölçü olarak \( \frac{1080}{11} \) dereceyi ifade eder. ✅
Örnek 6:
Bir bisiklet tekerleği, \( 750^\circ \) döndüğünde, bu dönme miktarının esas ölçüsü kaç derecedir? Bisikletin tekerleği kaç tam tur atmış olur? 🚴
Çözüm:
- Tekerleğin \( 750^\circ \) dönmesi, esas ölçüsünü bulmak için 360'a bölümünden kalanın hesaplanmasını gerektirir.
- \( 750 \div 360 \):
- \( 750 = 2 \times 360 + 30 \).
- Dolayısıyla, \( 750^\circ \) açısının esas ölçüsü \( 30^\circ \)'dir. ✅
- Tekerleğin attığı tam tur sayısı, bölme işlemindeki bölüm kısmıdır. Bu durumda 2 tam tur atmıştır. 🔄
Örnek 7:
\( \alpha \) açısının esas ölçüsü \( 120^\circ \) olduğuna göre, \( 5\alpha \) açısının esas ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- \( \alpha \) açısının esas ölçüsü \( 120^\circ \) ise, \( \alpha \) açısı \( 120^\circ + k \cdot 360^\circ \) şeklinde ifade edilebilir, burada \( k \) bir tam sayıdır.
- Şimdi \( 5\alpha \) ifadesini hesaplayalım:
- \( 5\alpha = 5 \times (120^\circ + k \cdot 360^\circ) \)
- \( 5\alpha = 600^\circ + 5k \cdot 360^\circ \)
- Bu ifadenin esas ölçüsünü bulmak için \( 600^\circ \) 'nin esas ölçüsünü ve \( 5k \cdot 360^\circ \) terimini göz önünde bulundururuz.
- \( 600^\circ \) 'nin esas ölçüsü: \( 600 \div 360 = 1 \) kalan \( 240 \). Yani \( 600^\circ \equiv 240^\circ \pmod{360^\circ} \).
- \( 5k \cdot 360^\circ \) terimi zaten 360'ın tam katıdır, bu nedenle esas ölçüye etkisi olmaz.
- Dolayısıyla, \( 5\alpha \) açısının esas ölçüsü \( 240^\circ \) olur. ✅
Örnek 8:
Bir bilgisayar oyununda karakterin dönme açısı her saniye \( 15^\circ \) artmaktadır. Oyun başladığında karakterin yönü \( 0^\circ \) kabul edilirse, 10. saniye sonunda karakterin baktığı yönün esas ölçüsü kaç derece olur? 🎮
Çözüm:
- Her saniye dönme açısı \( 15^\circ \) arttığına göre, 10 saniye sonunda toplam dönme açısı:
- Toplam Dönme = \( 10 \text{ saniye} \times 15^\circ/\text{saniye} = 150^\circ \)
- Karakterin başlangıç yönü \( 0^\circ \) olduğundan, 10. saniye sonunda baktığı yön \( 0^\circ + 150^\circ = 150^\circ \) olur.
- Bu değer \( 0^\circ \) ile \( 360^\circ \) arasında olduğu için, \( 150^\circ \) zaten esas ölçüdür. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-esas-olcu/sorular