💡 11. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Çözümlü Örnekler
72 ve 108 sayılarının en büyük ortak bölenini (Ebob) ve en küçük ortak katını (Ekok) bulunuz. 🤔 Bu temel konuyu hatırlayarak başlayalım!
- Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. \[ 72 = 2^3 \times 3^2 \] \[ 108 = 2^2 \times 3^3 \]
- Adım 2: Ebob'u bulmak için, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanlardan kuvveti en küçük olanları seçip çarpalım.
- Ortak asal çarpanlar \(2\) ve \(3\)'tür.
- \(2\) için en küçük kuvvet \(2^2\)'dir.
- \(3\) için en küçük kuvvet \(3^2\)'dir.
- Adım 3: Ekok'u bulmak için, her iki sayıda bulunan tüm asal çarpanlardan kuvveti en büyük olanları seçip çarpalım.
- \(2\) için en büyük kuvvet \(2^3\)'tür.
- \(3\) için en büyük kuvvet \(3^3\)'tür.
İki doğal sayının en büyük ortak böleni (Ebob) 15, en küçük ortak katı (Ekok) ise 180'dir. Bu sayılardan biri 45 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır? 💡 Bu önemli özelliği unutmayalım!
- Adım 1: İki sayının çarpımı, bu sayıların Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşittir. \[ A \times B = \text{Ebob}(A, B) \times \text{Ekok}(A, B) \]
- Adım 2: Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım.
- Adım 3: Denklemi çözerek diğer sayıyı (\(B\)) bulalım. \[ 45 \times B = 2700 \]
Sayılardan birine \(A\), diğerine \(B\) diyelim. \(A = 45\).
\[ 45 \times B = 15 \times 180 \]Her iki tarafı 45'e bölelim:
\[ B = \frac{2700}{45} \] \[ B = 60 \]Birbirinden farklı iki doğal sayının oranı \( \frac{3}{5} \) ve bu sayıların en büyük ortak böleni (Ebob) 7'dir. Bu iki sayının toplamını bulunuz. Oran ve Ebob ilişkisi burada anahtar!
- Adım 1: Sayıları oranlarına göre bilinmeyenli olarak ifade edelim.
- Adım 2: Bu sayıların Ebob'unu bulalım.
- Adım 3: Verilen Ebob değerini kullanarak \(k\)'yi bulalım.
- Adım 4: Sayıları bulup toplamlarını hesaplayalım.
Sayılar \(3k\) ve \(5k\) şeklinde olsun. Burada \(k\) pozitif bir tam sayıdır.
\(3k\) ve \(5k\) sayılarının Ebob'u, ortak çarpanları olan \(k\)'dir. Çünkü \(3\) ve \(5\) aralarında asaldır.
\[ \text{Ebob}(3k, 5k) = k \]Soruda Ebob'un 7 olduğu belirtilmiş. O halde:
\[ k = 7 \]Birinci sayı: \(3k = 3 \times 7 = 21\)
İkinci sayı: \(5k = 5 \times 7 = 35\)
Toplamları: \(21 + 35 = 56\)
Boyutları 120 cm ve 180 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
- Adım 1: Bahçenin kenar uzunluklarının Ebob'unu bulmalıyız. Bu bize eş kare parsellerin bir kenar uzunluğunu verecektir.
- Adım 2: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \] \[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \]
- Adım 3: Ortak olan asal çarpanlardan kuvveti en küçük olanları seçerek Ebob'u hesaplayalım.
- Ortak asal çarpanlar \(2\), \(3\) ve \(5\)'tir.
- \(2\) için en küçük kuvvet \(2^2\)'dir.
- \(3\) için en küçük kuvvet \(3^1\)'dir.
- \(5\) için en küçük kuvvet \(5^1\)'dir.
Sayılar 120 ve 180'dir.
Bir duraktan kalkan otobüslerden ilki 45 dakikada bir, ikincisi ise 60 dakikada bir sefer yapmaktadır. İki otobüs ilk kez saat 07:00'de birlikte sefere başladıklarına göre, tekrar saat kaçta birlikte sefere başlarlar?
- Adım 1: Otobüslerin sefer sürelerinin en küçük ortak katını (Ekok) bulmalıyız.
- Adım 2: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. \[ 45 = 3^2 \times 5 \] \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \]
- Adım 3: Tüm asal çarpanlardan kuvveti en büyük olanları seçerek Ekok'u hesaplayalım.
- \(2\) için en büyük kuvvet \(2^2\)'dir.
- \(3\) için en büyük kuvvet \(3^2\)'dir.
- \(5\) için en büyük kuvvet \(5^1\)'dir.
- Adım 4: Bulduğumuz Ekok değerini (180 dakika) saate çevirelim ve ilk buluşma saatine ekleyelim.
Süreler 45 dakika ve 60 dakikadır.
180 dakika = \( \frac{180}{60} \) saat = 3 saat.
İlk buluşma saati 07:00 idi. 3 saat sonra:
\(07:00 + 3:00 = 10:00\)
Bir sayı 6'ya bölündüğünde 4, 8'e bölündüğünde 6 ve 9'a bölündüğünde 7 kalanını vermektedir. Bu şartları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?
- Adım 1: Verilen kalanları ve bölenleri inceleyelim.
- Sayı \(N\) olsun.
- \(N = 6k + 4\)
- \(N = 8m + 6\)
- \(N = 9n + 7\)
- Adım 2: Her bir durumda, bölen ile kalan arasındaki farkı bulalım.
- \(6 - 4 = 2\)
- \(8 - 6 = 2\)
- \(9 - 7 = 2\)
- Adım 3: Sayıya bu ortak farkı ekleyelim.
- \(N + 2 = 6k + 4 + 2 = 6k + 6 = 6(k+1)\) (6'nın katı)
- \(N + 2 = 8m + 6 + 2 = 8m + 8 = 8(m+1)\) (8'in katı)
- \(N + 2 = 9n + 7 + 2 = 9n + 9 = 9(n+1)\) (9'un katı)
- Adım 4: \(N+2\)'nin en küçük değerini bulmak için 6, 8 ve 9 sayılarının Ekok'unu hesaplayalım.
- Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: \[ 6 = 2 \times 3 \] \[ 8 = 2^3 \] \[ 9 = 3^2 \]
- Ekok'u bulalım (tüm asal çarpanlardan en büyük kuvvetlileri): \[ \text{Ekok}(6, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]
- Adım 5: \(N\) sayısını bulalım.
Farkların hepsinin 2 olduğunu görüyoruz! Bu çok önemli bir ipucu. 💡
Eğer \(N\) sayısına 2 eklersek, yeni sayı her bir bölenin tam katı olacaktır:
Yani, \(N+2\) sayısı hem 6'nın, hem 8'in, hem de 9'un ortak katıdır.
\(N + 2 = 72\)
\(N = 72 - 2\)
\[ N = 70 \]\(A\) ve \(B\) iki pozitif tam sayı olmak üzere, Ebob(\(A\), \(B\)) = 12 ve Ekok(\(A\), \(B\)) = 720 olarak verilmiştir. \(A + B\) toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
- Adım 1: İki sayının çarpımının, Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşit olduğunu biliyoruz. \[ A \times B = \text{Ebob}(A, B) \times \text{Ekok}(A, B) \]
- Adım 2: Sayıları Ebob cinsinden ifade edelim.
- Adım 3: \(A \times B\) eşitliğini kullanarak \(x\) ve \(y\) arasındaki ilişkiyi bulalım. \[ (12x) \times (12y) = 8640 \] \[ 144xy = 8640 \]
- Adım 4: \(xy = 60\) eşitliğini sağlayan ve aralarında asal olan \(x\) ve \(y\) çiftlerini bulalım.
- (1, 60) - Aralarında asal. Toplamları \(1+60=61\).
- (3, 20) - Aralarında asal. Toplamları \(3+20=23\).
- (4, 15) - Aralarında asal. Toplamları \(4+15=19\).
- (5, 12) - Aralarında asal. Toplamları \(5+12=17\).
- (6, 10) - Aralarında asal DEĞİL (Ebobları 2). Bu çifti alamayız!
- Adım 5: \(A+B\) toplamının en küçük değerini bulmak için, \(x+y\) toplamının en küçük olduğu çifti seçelim.
Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ A \times B = 12 \times 720 \] \[ A \times B = 8640 \]Ebob(\(A\), \(B\)) = 12 ise, \(A\) ve \(B\) sayılarını 12'nin katları olarak yazabiliriz:
\(A = 12x\)
\(B = 12y\)
Burada \(x\) ve \(y\) aralarında asal (Ebob(\(x\), \(y\)) = 1) olmak zorundadır. Aksi takdirde Ebob 12'den büyük olurdu.
Her iki tarafı 144'e bölelim:
\[ xy = \frac{8640}{144} \] \[ xy = 60 \]Yukarıdaki listeden \(x+y\) toplamının en küçük değeri 17'dir (5 ve 12 için).
O halde \(A+B = 12x + 12y = 12(x+y)\) ifadesinde, \(x+y\) yerine 17 yazalım:
\[ A+B = 12 \times 17 \] \[ A+B = 204 \]Bir market, 105 adet çikolata ve 140 adet bisküviyi, her bir pakette eşit sayıda ve sadece tek çeşit ürün olacak şekilde küçük paketlere ayırmak istiyor. Market en az kaç paket kullanır?
- Adım 1: Çikolata ve bisküvi sayılarının Ebob'unu bulalım. Bu, her bir paketteki ürün sayısını verecektir.
- Adım 2: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. \[ 105 = 3 \times 5 \times 7 \] \[ 140 = 2^2 \times 5 \times 7 \]
- Adım 3: Ortak olan asal çarpanlardan kuvveti en küçük olanları seçerek Ebob'u hesaplayalım.
- Ortak asal çarpanlar \(5\) ve \(7\)'dir.
- \(5\) için en küçük kuvvet \(5^1\)'dir.
- \(7\) için en küçük kuvvet \(7^1\)'dir.
- Adım 4: Her bir ürün çeşidi için kaç paket gerektiğini bulalım.
- Çikolata paket sayısı: \( \frac{105}{35} = 3 \) paket
- Bisküvi paket sayısı: \( \frac{140}{35} = 4 \) paket
- Adım 5: Toplam paket sayısını bulalım.
Sayılar 105 ve 140'tır.
Yani, her pakete 35 adet ürün konulmalıdır.
\(3 + 4 = 7\) paket
\(A\) ve \(B\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \( \frac{A}{B} = \frac{5}{8} \) ve Ekok(\(A\), \(B\)) = 240 olarak verilmiştir. Buna göre, \(A + B\) toplamı kaçtır?
- Adım 1: Sayıları oranlarına göre bilinmeyenli olarak ifade edelim.
- Adım 2: \(A\) ve \(B\) sayılarının Ekok'unu \(k\) cinsinden bulalım.
- Adım 3: Verilen Ekok değerini kullanarak \(k\)'yi bulalım.
- Adım 4: \(A\) ve \(B\) sayılarını bulup toplamlarını hesaplayalım.
\( \frac{A}{B} = \frac{5}{8} \) olduğu için, \(A = 5k\) ve \(B = 8k\) şeklinde yazabiliriz. Burada \(k\) pozitif bir tam sayıdır.
\(5k\) ve \(8k\) sayılarının Ekok'unu hesaplamak için, önce asal çarpanlarına ayıralım:
\[ 5k = 5 \times k \] \[ 8k = 2^3 \times k \]Ekok'u bulurken, tüm asal çarpanlardan en büyük kuvvetlileri alırız:
\[ \text{Ekok}(5k, 8k) = 2^3 \times 5 \times k = 8 \times 5 \times k = 40k \]Soruda Ekok(\(A\), \(B\)) = 240 olarak verilmişti. O halde:
\[ 40k = 240 \]Her iki tarafı 40'a bölelim:
\[ k = \frac{240}{40} \] \[ k = 6 \]\(A = 5k = 5 \times 6 = 30\)
\(B = 8k = 8 \times 6 = 48\)
Toplamları: \(A + B = 30 + 48 = 78\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ebob-ekok/sorular