✅ Yani, 72 ve 108 sayılarının Ebob'u 36, Ekok'u ise 216'dır!
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Ebob ve Ekok arasındaki ilişkiyi kullanarak çözebileceğimiz güzel bir soru! 👇
İki doğal sayının en büyük ortak böleni (Ebob) 15, en küçük ortak katı (Ekok) ise 180'dir. Bu sayılardan biri 45 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır? 💡 Bu önemli özelliği unutmayalım!
Çözüm ve Açıklama
İki sayının Ebob'u ve Ekok'u arasındaki temel bir ilişkiyi hatırlayalım:
Adım 1: İki sayının çarpımı, bu sayıların Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşittir.
\[
A \times B = \text{Ebob}(A, B) \times \text{Ekok}(A, B)
\]
Adım 2: Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım.
Sayılardan birine \(A\), diğerine \(B\) diyelim. \(A = 45\).
\[
45 \times B = 15 \times 180
\]
Adım 3: Denklemi çözerek diğer sayıyı (\(B\)) bulalım.
\[
45 \times B = 2700
\]
Her iki tarafı 45'e bölelim:
\[
B = \frac{2700}{45}
\]
\[
B = 60
\]
✅ Diğer sayı 60'tır. Gördüğünüz gibi, formülü bilmek işimizi çok kolaylaştırdı!
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Oran verilen durumlarda Ebob'u nasıl kullanırız? İşte bir örnek! 🧐
Birbirinden farklı iki doğal sayının oranı \( \frac{3}{5} \) ve bu sayıların en büyük ortak böleni (Ebob) 7'dir. Bu iki sayının toplamını bulunuz. Oran ve Ebob ilişkisi burada anahtar!
Çözüm ve Açıklama
Oran verilen sorularda sayıları bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek işimizi kolaylaştırır:
Adım 1: Sayıları oranlarına göre bilinmeyenli olarak ifade edelim.
Sayılar \(3k\) ve \(5k\) şeklinde olsun. Burada \(k\) pozitif bir tam sayıdır.
Adım 2: Bu sayıların Ebob'unu bulalım.
\(3k\) ve \(5k\) sayılarının Ebob'u, ortak çarpanları olan \(k\)'dir. Çünkü \(3\) ve \(5\) aralarında asaldır.
\[
\text{Ebob}(3k, 5k) = k
\]
Adım 3: Verilen Ebob değerini kullanarak \(k\)'yi bulalım.
Soruda Ebob'un 7 olduğu belirtilmiş. O halde:
\[
k = 7
\]
Adım 4: Sayıları bulup toplamlarını hesaplayalım.
Birinci sayı: \(3k = 3 \times 7 = 21\)
İkinci sayı: \(5k = 5 \times 7 = 35\)
Toplamları: \(21 + 35 = 56\)
✅ Bu iki sayının toplamı 56'dır. Oran ve Ebob'u birleştirince çözüm ne kadar basit oldu!
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Günlük hayatta karşılaşabileceğimiz bir problem! Büyük bir alanı eş parçalara ayırma sorularında Ebob çok işimize yarar. 🌳
Boyutları 120 cm ve 180 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgen bir alanı eş karelere ayırmak demek, hem uzun hem de kısa kenarı tam bölen bir sayı bulmak demektir. "En fazla" dediği için de en büyük ortak böleni (Ebob) bulmalıyız:
Adım 1: Bahçenin kenar uzunluklarının Ebob'unu bulmalıyız. Bu bize eş kare parsellerin bir kenar uzunluğunu verecektir.
✅ Eş kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla 60 cm olabilir.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Ortak bir noktada tekrar buluşma veya eş zamanlı olayları inceleme sorularında Ekok bizim en büyük yardımcımızdır! 🚌
Bir duraktan kalkan otobüslerden ilki 45 dakikada bir, ikincisi ise 60 dakikada bir sefer yapmaktadır. İki otobüs ilk kez saat 07:00'de birlikte sefere başladıklarına göre, tekrar saat kaçta birlikte sefere başlarlar?
Çözüm ve Açıklama
İki otobüsün tekrar birlikte sefere başlaması için, ikisinin de sefer sürelerinin ortak bir katı geçmelidir. "Tekrar birlikte" ifadesi bize Ekok'u işaret eder:
Adım 1: Otobüslerin sefer sürelerinin en küçük ortak katını (Ekok) bulmalıyız.
✅ Bu şartları sağlayan en küçük doğal sayı 70'tir.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Ebob ve Ekok'u daha soyut bir problemde nasıl kullanacağımızı görelim. 🧠 Sayıların çarpımı ile Ebob ve Ekok arasındaki ilişkiyi hatırlayalım!
\(A\) ve \(B\) iki pozitif tam sayı olmak üzere, Ebob(\(A\), \(B\)) = 12 ve Ekok(\(A\), \(B\)) = 720 olarak verilmiştir. \(A + B\) toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, iki sayının Ebob ve Ekok'u verildiğinde sayıların kendilerini ve dolayısıyla toplamlarını nasıl bulacağımızı inceleyeceğiz:
Adım 1: İki sayının çarpımının, Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşit olduğunu biliyoruz.
\[
A \times B = \text{Ebob}(A, B) \times \text{Ekok}(A, B)
\]
Verilen değerleri yerine yazalım:
\[
A \times B = 12 \times 720
\]
\[
A \times B = 8640
\]
Adım 2: Sayıları Ebob cinsinden ifade edelim.
Ebob(\(A\), \(B\)) = 12 ise, \(A\) ve \(B\) sayılarını 12'nin katları olarak yazabiliriz:
\(A = 12x\)
\(B = 12y\)
Burada \(x\) ve \(y\) aralarında asal (Ebob(\(x\), \(y\)) = 1) olmak zorundadır. Aksi takdirde Ebob 12'den büyük olurdu.
Adım 3: \(A \times B\) eşitliğini kullanarak \(x\) ve \(y\) arasındaki ilişkiyi bulalım.
Adım 4: \(xy = 60\) eşitliğini sağlayan ve aralarında asal olan \(x\) ve \(y\) çiftlerini bulalım.
(1, 60) - Aralarında asal. Toplamları \(1+60=61\).
(3, 20) - Aralarında asal. Toplamları \(3+20=23\).
(4, 15) - Aralarında asal. Toplamları \(4+15=19\).
(5, 12) - Aralarında asal. Toplamları \(5+12=17\).
(6, 10) - Aralarında asal DEĞİL (Ebobları 2). Bu çifti alamayız!
Adım 5: \(A+B\) toplamının en küçük değerini bulmak için, \(x+y\) toplamının en küçük olduğu çifti seçelim.
Yukarıdaki listeden \(x+y\) toplamının en küçük değeri 17'dir (5 ve 12 için).
O halde \(A+B = 12x + 12y = 12(x+y)\) ifadesinde, \(x+y\) yerine 17 yazalım:
\[
A+B = 12 \times 17
\]
\[
A+B = 204
\]
✅ \(A + B\) toplamının alabileceği en küçük değer 204'tür.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Market alışverişlerinde sıkça karşımıza çıkan bir durum! Paketleme ve gruplama problemlerinde Ebob'un ne kadar pratik olduğunu görelim. 🛍️
Bir market, 105 adet çikolata ve 140 adet bisküviyi, her bir pakette eşit sayıda ve sadece tek çeşit ürün olacak şekilde küçük paketlere ayırmak istiyor. Market en az kaç paket kullanır?
Çözüm ve Açıklama
Marketin en az sayıda paket kullanması için, her pakete konulabilecek ürün sayısının en fazla olması gerekir. Bu da bize Ebob'u (En Büyük Ortak Bölen) bulmamız gerektiğini gösterir:
Adım 1: Çikolata ve bisküvi sayılarının Ebob'unu bulalım. Bu, her bir paketteki ürün sayısını verecektir.
✅ Market en az 7 paket kullanır. Bu sayede hem ürünler eşit sayıda paketlenmiş olur hem de paket israfının önüne geçilir!
9
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Ebob ve Ekok kavramlarını birleştirerek çözebileceğimiz, biraz daha düşünmeyi gerektiren bir problemle dersimizi tamamlayalım. 🧩
\(A\) ve \(B\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \( \frac{A}{B} = \frac{5}{8} \) ve Ekok(\(A\), \(B\)) = 240 olarak verilmiştir. Buna göre, \(A + B\) toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, oran ve Ekok bilgisini birleştirerek sayıları bulmamızı istiyor:
Adım 1: Sayıları oranlarına göre bilinmeyenli olarak ifade edelim.
\( \frac{A}{B} = \frac{5}{8} \) olduğu için, \(A = 5k\) ve \(B = 8k\) şeklinde yazabiliriz. Burada \(k\) pozitif bir tam sayıdır.
Adım 2: \(A\) ve \(B\) sayılarının Ekok'unu \(k\) cinsinden bulalım.
\(5k\) ve \(8k\) sayılarının Ekok'unu hesaplamak için, önce asal çarpanlarına ayıralım:
\[
5k = 5 \times k
\]
\[
8k = 2^3 \times k
\]
Ekok'u bulurken, tüm asal çarpanlardan en büyük kuvvetlileri alırız:
\[
\text{Ekok}(5k, 8k) = 2^3 \times 5 \times k = 8 \times 5 \times k = 40k
\]
Adım 3: Verilen Ekok değerini kullanarak \(k\)'yi bulalım.
Soruda Ekok(\(A\), \(B\)) = 240 olarak verilmişti. O halde:
\[
40k = 240
\]
Her iki tarafı 40'a bölelim:
\[
k = \frac{240}{40}
\]
\[
k = 6
\]
Adım 4: \(A\) ve \(B\) sayılarını bulup toplamlarını hesaplayalım.
\(A = 5k = 5 \times 6 = 30\)
\(B = 8k = 8 \times 6 = 48\)
Toplamları: \(A + B = 30 + 48 = 78\)
✅ \(A + B\) toplamı 78'dir. Bu tür problemler, Ebob ve Ekok'un farklı senaryolarda nasıl kullanılabileceğini gösterir.
11. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Ebob ve Ekok konularını pekiştirmek için harika örneklerle karşınızdayız. İlk örneğimizle başlayalım:
72 ve 108 sayılarının en büyük ortak bölenini (Ebob) ve en küçük ortak katını (Ekok) bulunuz. 🤔 Bu temel konuyu hatırlayarak başlayalım!
Çözüm:
Bu tür soruları çözmenin en yaygın yolu, sayıların asal çarpanlarına ayrılmasıdır. İşte adımlarımız:
✅ Yani, 72 ve 108 sayılarının Ebob'u 36, Ekok'u ise 216'dır!
Örnek 2:
Ebob ve Ekok arasındaki ilişkiyi kullanarak çözebileceğimiz güzel bir soru! 👇
İki doğal sayının en büyük ortak böleni (Ebob) 15, en küçük ortak katı (Ekok) ise 180'dir. Bu sayılardan biri 45 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır? 💡 Bu önemli özelliği unutmayalım!
Çözüm:
İki sayının Ebob'u ve Ekok'u arasındaki temel bir ilişkiyi hatırlayalım:
Adım 1: İki sayının çarpımı, bu sayıların Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşittir.
\[
A \times B = \text{Ebob}(A, B) \times \text{Ekok}(A, B)
\]
Adım 2: Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım.
Sayılardan birine \(A\), diğerine \(B\) diyelim. \(A = 45\).
\[
45 \times B = 15 \times 180
\]
Adım 3: Denklemi çözerek diğer sayıyı (\(B\)) bulalım.
\[
45 \times B = 2700
\]
Her iki tarafı 45'e bölelim:
\[
B = \frac{2700}{45}
\]
\[
B = 60
\]
✅ Diğer sayı 60'tır. Gördüğünüz gibi, formülü bilmek işimizi çok kolaylaştırdı!
Örnek 3:
Oran verilen durumlarda Ebob'u nasıl kullanırız? İşte bir örnek! 🧐
Birbirinden farklı iki doğal sayının oranı \( \frac{3}{5} \) ve bu sayıların en büyük ortak böleni (Ebob) 7'dir. Bu iki sayının toplamını bulunuz. Oran ve Ebob ilişkisi burada anahtar!
Çözüm:
Oran verilen sorularda sayıları bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek işimizi kolaylaştırır:
Adım 1: Sayıları oranlarına göre bilinmeyenli olarak ifade edelim.
Sayılar \(3k\) ve \(5k\) şeklinde olsun. Burada \(k\) pozitif bir tam sayıdır.
Adım 2: Bu sayıların Ebob'unu bulalım.
\(3k\) ve \(5k\) sayılarının Ebob'u, ortak çarpanları olan \(k\)'dir. Çünkü \(3\) ve \(5\) aralarında asaldır.
\[
\text{Ebob}(3k, 5k) = k
\]
Adım 3: Verilen Ebob değerini kullanarak \(k\)'yi bulalım.
Soruda Ebob'un 7 olduğu belirtilmiş. O halde:
\[
k = 7
\]
Adım 4: Sayıları bulup toplamlarını hesaplayalım.
Birinci sayı: \(3k = 3 \times 7 = 21\)
İkinci sayı: \(5k = 5 \times 7 = 35\)
Toplamları: \(21 + 35 = 56\)
✅ Bu iki sayının toplamı 56'dır. Oran ve Ebob'u birleştirince çözüm ne kadar basit oldu!
Örnek 4:
Günlük hayatta karşılaşabileceğimiz bir problem! Büyük bir alanı eş parçalara ayırma sorularında Ebob çok işimize yarar. 🌳
Boyutları 120 cm ve 180 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
Çözüm:
Dikdörtgen bir alanı eş karelere ayırmak demek, hem uzun hem de kısa kenarı tam bölen bir sayı bulmak demektir. "En fazla" dediği için de en büyük ortak böleni (Ebob) bulmalıyız:
Adım 1: Bahçenin kenar uzunluklarının Ebob'unu bulmalıyız. Bu bize eş kare parsellerin bir kenar uzunluğunu verecektir.
✅ Eş kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla 60 cm olabilir.
Örnek 5:
Ortak bir noktada tekrar buluşma veya eş zamanlı olayları inceleme sorularında Ekok bizim en büyük yardımcımızdır! 🚌
Bir duraktan kalkan otobüslerden ilki 45 dakikada bir, ikincisi ise 60 dakikada bir sefer yapmaktadır. İki otobüs ilk kez saat 07:00'de birlikte sefere başladıklarına göre, tekrar saat kaçta birlikte sefere başlarlar?
Çözüm:
İki otobüsün tekrar birlikte sefere başlaması için, ikisinin de sefer sürelerinin ortak bir katı geçmelidir. "Tekrar birlikte" ifadesi bize Ekok'u işaret eder:
Adım 1: Otobüslerin sefer sürelerinin en küçük ortak katını (Ekok) bulmalıyız.
✅ Bu şartları sağlayan en küçük doğal sayı 70'tir.
Örnek 7:
Ebob ve Ekok'u daha soyut bir problemde nasıl kullanacağımızı görelim. 🧠 Sayıların çarpımı ile Ebob ve Ekok arasındaki ilişkiyi hatırlayalım!
\(A\) ve \(B\) iki pozitif tam sayı olmak üzere, Ebob(\(A\), \(B\)) = 12 ve Ekok(\(A\), \(B\)) = 720 olarak verilmiştir. \(A + B\) toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, iki sayının Ebob ve Ekok'u verildiğinde sayıların kendilerini ve dolayısıyla toplamlarını nasıl bulacağımızı inceleyeceğiz:
Adım 1: İki sayının çarpımının, Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşit olduğunu biliyoruz.
\[
A \times B = \text{Ebob}(A, B) \times \text{Ekok}(A, B)
\]
Verilen değerleri yerine yazalım:
\[
A \times B = 12 \times 720
\]
\[
A \times B = 8640
\]
Adım 2: Sayıları Ebob cinsinden ifade edelim.
Ebob(\(A\), \(B\)) = 12 ise, \(A\) ve \(B\) sayılarını 12'nin katları olarak yazabiliriz:
\(A = 12x\)
\(B = 12y\)
Burada \(x\) ve \(y\) aralarında asal (Ebob(\(x\), \(y\)) = 1) olmak zorundadır. Aksi takdirde Ebob 12'den büyük olurdu.
Adım 3: \(A \times B\) eşitliğini kullanarak \(x\) ve \(y\) arasındaki ilişkiyi bulalım.
Adım 4: \(xy = 60\) eşitliğini sağlayan ve aralarında asal olan \(x\) ve \(y\) çiftlerini bulalım.
(1, 60) - Aralarında asal. Toplamları \(1+60=61\).
(3, 20) - Aralarında asal. Toplamları \(3+20=23\).
(4, 15) - Aralarında asal. Toplamları \(4+15=19\).
(5, 12) - Aralarında asal. Toplamları \(5+12=17\).
(6, 10) - Aralarında asal DEĞİL (Ebobları 2). Bu çifti alamayız!
Adım 5: \(A+B\) toplamının en küçük değerini bulmak için, \(x+y\) toplamının en küçük olduğu çifti seçelim.
Yukarıdaki listeden \(x+y\) toplamının en küçük değeri 17'dir (5 ve 12 için).
O halde \(A+B = 12x + 12y = 12(x+y)\) ifadesinde, \(x+y\) yerine 17 yazalım:
\[
A+B = 12 \times 17
\]
\[
A+B = 204
\]
✅ \(A + B\) toplamının alabileceği en küçük değer 204'tür.
Örnek 8:
Market alışverişlerinde sıkça karşımıza çıkan bir durum! Paketleme ve gruplama problemlerinde Ebob'un ne kadar pratik olduğunu görelim. 🛍️
Bir market, 105 adet çikolata ve 140 adet bisküviyi, her bir pakette eşit sayıda ve sadece tek çeşit ürün olacak şekilde küçük paketlere ayırmak istiyor. Market en az kaç paket kullanır?
Çözüm:
Marketin en az sayıda paket kullanması için, her pakete konulabilecek ürün sayısının en fazla olması gerekir. Bu da bize Ebob'u (En Büyük Ortak Bölen) bulmamız gerektiğini gösterir:
Adım 1: Çikolata ve bisküvi sayılarının Ebob'unu bulalım. Bu, her bir paketteki ürün sayısını verecektir.
✅ Market en az 7 paket kullanır. Bu sayede hem ürünler eşit sayıda paketlenmiş olur hem de paket israfının önüne geçilir!
Örnek 9:
Ebob ve Ekok kavramlarını birleştirerek çözebileceğimiz, biraz daha düşünmeyi gerektiren bir problemle dersimizi tamamlayalım. 🧩
\(A\) ve \(B\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \( \frac{A}{B} = \frac{5}{8} \) ve Ekok(\(A\), \(B\)) = 240 olarak verilmiştir. Buna göre, \(A + B\) toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu problem, oran ve Ekok bilgisini birleştirerek sayıları bulmamızı istiyor:
Adım 1: Sayıları oranlarına göre bilinmeyenli olarak ifade edelim.
\( \frac{A}{B} = \frac{5}{8} \) olduğu için, \(A = 5k\) ve \(B = 8k\) şeklinde yazabiliriz. Burada \(k\) pozitif bir tam sayıdır.
Adım 2: \(A\) ve \(B\) sayılarının Ekok'unu \(k\) cinsinden bulalım.
\(5k\) ve \(8k\) sayılarının Ekok'unu hesaplamak için, önce asal çarpanlarına ayıralım:
\[
5k = 5 \times k
\]
\[
8k = 2^3 \times k
\]
Ekok'u bulurken, tüm asal çarpanlardan en büyük kuvvetlileri alırız:
\[
\text{Ekok}(5k, 8k) = 2^3 \times 5 \times k = 8 \times 5 \times k = 40k
\]
Adım 3: Verilen Ekok değerini kullanarak \(k\)'yi bulalım.
Soruda Ekok(\(A\), \(B\)) = 240 olarak verilmişti. O halde:
\[
40k = 240
\]
Her iki tarafı 40'a bölelim:
\[
k = \frac{240}{40}
\]
\[
k = 6
\]
Adım 4: \(A\) ve \(B\) sayılarını bulup toplamlarını hesaplayalım.
\(A = 5k = 5 \times 6 = 30\)
\(B = 8k = 8 \times 6 = 48\)
Toplamları: \(A + B = 30 + 48 = 78\)
✅ \(A + B\) toplamı 78'dir. Bu tür problemler, Ebob ve Ekok'un farklı senaryolarda nasıl kullanılabileceğini gösterir.