🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dörtgen Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Dörtgen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABCD dışbükey dörtgeninde iç açıların ölçüleri sırasıyla \(x\), \(2x\), \(x + 40^\circ\) ve \(120^\circ\) olarak verilmiştir.
Buna göre, bu dörtgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Buna göre, bu dörtgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \(360^\circ\) değerine eşittir.
Çözüm adımlarını sırasıyla uygulayalım:
Çözüm adımlarını sırasıyla uygulayalım:
- 1. Adım: Verilen tüm iç açıları toplayıp \(360^\circ\) değerine eşitleyelim: \[ x + 2x + (x + 40) + 120 = 360 \]
- 2. Adım: Benzer terimleri kendi aralarında toplayarak denklemi düzenleyelim: \[ 4x + 160 = 360 \]
- 3. Adım: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayarak \(x\) değerini bulalım: \[ 4x = 360 - 160 \] \[ 4x = 200 \] \[ x = 50^\circ \]
- 4. Adım: Dörtgenin tüm iç açılarını tek tek hesaplayalım:
- Birinci açı: \(x = 50^\circ\)
- İkinci açı: \(2x = 2 \times 50 = 100^\circ\)
- Üçüncü açı: \(x + 40 = 50 + 40 = 90^\circ\)
- Dördüncü açı: \(120^\circ\)
Örnek 2:
Bir ABCD dörtgeninde köşegenler dik kesişmektedir.
Kenar uzunlukları sırasıyla:
Kenar uzunlukları sırasıyla:
- \(|AB| = 6\) birim
- \(|BC| = x\) birim
- \(|CD| = 8\) birim
- \(|DA| = 5\) birim
Çözüm:
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde çok önemli bir geometrik özellik geçerlidir: Karşılıklı kenarların uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.
Bu kuralı sorumuza uygulayalım:
Bu kuralı sorumuza uygulayalım:
- Formül: \[ |AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |DA|^2 \]
- Değerleri Yerine Yazma: \[ 6^2 + 8^2 = x^2 + 5^2 \]
- Hesaplama: \[ 36 + 64 = x^2 + 25 \] \[ 100 = x^2 + 25 \]
- Sonuç: \[ x^2 = 75 \] \[ x = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
Örnek 3:
Bir ABCD dörtgeninde köşegen uzunlukları \(|AC| = 12\) birim ve \(|BD| = 10\) birimdir.
Köşegenler arasındaki dar açının sinüs değeri \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\) olduğuna göre, bu dörtgenin alanı kaç birimkaredir? 📐
Köşegenler arasındaki dar açının sinüs değeri \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\) olduğuna göre, bu dörtgenin alanı kaç birimkaredir? 📐
Çözüm:
Herhangi bir dışbükey dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ve bu köşegenler arasındaki açının sinüs değeri yardımıyla hesaplanabilir.
- Alan Formülü: \[ Alan = \frac{1}{2} \times |AC| \times |BD| \times \sin(\alpha) \]
- Değerlerin Yerine Konulması: Verilen değerleri formülde yerine yerleştirelim: \[ Alan = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \times \frac{3}{5} \]
- Sadeleştirme ve Hesaplama: \[ Alan = 6 \times 10 \times \frac{3}{5} \] \[ Alan = 60 \times \frac{3}{5} \] \[ Alan = 12 \times 3 = 36 \]
Örnek 4:
Analitik düzlemde köşe koordinatları \(A(1, 2)\), \(B(5, 2)\), \(C(7, 6)\) ve \(D(3, 6)\) olan bir ABCD dörtgeninin alanını analitik geometri bilgilerini kullanarak hesaplayınız. 🗺️
Çözüm:
Verilen noktaları inceleyerek dörtgenin geometrik yapısını belirleyelim ve ardından alanını hesaplayalım:
- 1. Adım (Kenar Paralellikleri):
\(A\) ve \(B\) noktalarının y-koordinatları aynıdır (\(y = 2\)). Bu durumda \(AB\) kenarı x-eksenine paraleldir ve uzunluğu:
\[ |AB| = 5 - 1 = 4 \] birimdir.
\(C\) and \(D\) noktalarının da y-koordinatları aynıdır (\(y = 6\)). Bu durumda \(CD\) kenarı da x-eksenine paraleldir ve uzunluğu: \[ |CD| = 7 - 3 = 4 \] birimdir. - 2. Adım (Geometrik Şeklin Tanımı): Karşılıklı iki kenarı hem paralel hem de eşit uzunlukta (\(4\) birim) olan bu dörtgen bir paralelkenardır.
- 3. Adım (Yüksekliğin Bulunması): Paralelkenarın yüksekliği (\(h\)), üst taban ile alt taban arasındaki y-koordinatları farkıdır: \[ h = y_C - y_A = 6 - 2 = 4 \] birimdir.
- 4. Adım (Alan Hesabı): Paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir: \[ Alan = Taban \times Yükseklik \] \[ Alan = 4 \times 4 = 16 \]
Örnek 5:
Bir mimar, dörtgen şeklindeki bir çocuk parkının köşelerine güvenlik kameraları yerleştirecektir. Parkın köşelerindeki iç açılar sırasıyla \(A\), \(B\), \(C\) ve \(D\) olarak adlandırılmıştır.
\(A\) ve \(B\) açılarının iç açıortayları parkın içindeki bir \(P\) noktasında kesişmektedir.
\(C\) açısının ölçüsü \(110^\circ\) ve \(D\) açısının ölçüsü \(70^\circ\) olduğuna göre, kameraların görüş açılarının kesişimiyle oluşan \(APB\) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🌲
\(A\) ve \(B\) açılarının iç açıortayları parkın içindeki bir \(P\) noktasında kesişmektedir.
\(C\) açısının ölçüsü \(110^\circ\) ve \(D\) açısının ölçüsü \(70^\circ\) olduğuna göre, kameraların görüş açılarının kesişimiyle oluşan \(APB\) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🌲
Çözüm:
Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açıyı bulmak için pratik bir geometrik kural mevcuttur.
- Geometrik Kural: Bir dörtgende komşu iki açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir. \[ m(APB) = \frac{m(C) + m(D)}{2} \]
- Hesaplama: Verilen açı değerlerini formülde yerine yazalım: \[ m(APB) = \frac{110^\circ + 70^\circ}{2} \] \[ m(APB) = \frac{180^\circ}{2} \] \[ m(APB) = 90^\circ \]
Örnek 6:
Bir marangoz, mukavemeti artırmak amacıyla dörtgen şeklindeki ahşap bir çerçevenin köşegenlerine gergin çelik teller monte edecektir. Çerçevenin köşegenleri tasarımsal olarak birbirine dik konumlandırılmıştır.
Bu çerçevenin ardışık üç kenarının uzunluğu sırasıyla \(30\) cm, \(40\) cm ve \(50\) cm olduğuna göre, dördüncü kenarın santimetre cinsinden alabileceği değerleri bulunuz. 🖼️
Bu çerçevenin ardışık üç kenarının uzunluğu sırasıyla \(30\) cm, \(40\) cm ve \(50\) cm olduğuna göre, dördüncü kenarın santimetre cinsinden alabileceği değerleri bulunuz. 🖼️
Çözüm:
Çerçevenin köşegenleri birbirine dik kesiştiği için köşegenleri dik kesişen dörtgen kuralını uygularız.
Ardışık kenarları sırasıyla \(a = 30\), \(b = 40\), \(c = 50\) ve bilinmeyen dördüncü kenarı \(d\) olarak adlandıralım. Karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşit olmalıdır. Burada iki farklı durum oluşabilir:
Ardışık kenarları sırasıyla \(a = 30\), \(b = 40\), \(c = 50\) ve bilinmeyen dördüncü kenarı \(d\) olarak adlandıralım. Karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşit olmalıdır. Burada iki farklı durum oluşabilir:
- 1. Durum (\(30\) ve \(50\) karşılıklı kenarlar ise): \[ 30^2 + 50^2 = 40^2 + d^2 \] \[ 900 + 2500 = 1600 + d^2 \] \[ 3400 = 1600 + d^2 \] \[ d^2 = 1800 \implies d = 30\sqrt{2} \text{ cm} \]
- 2. Durum (\(30\) ve \(40\) karşılıklı kenarlar ise): \[ 30^2 + 40^2 = 50^2 + d^2 \] \[ 900 + 1600 = 2500 + d^2 \] \[ 2500 = 2500 + d^2 \implies d^2 = 0 \] (Bu durum fiziksel bir çerçeve oluşturamayacağı için elenir).
- 3. Durum (\(40\) ve \(50\) karşılıklı kenarlar ise): \[ 40^2 + 50^2 = 30^2 + d^2 \] \[ 1600 + 2500 = 900 + d^2 \] \[ 4100 = 900 + d^2 \] \[ d^2 = 3200 \implies d = 40\sqrt{2} \text{ cm} \]
Örnek 7:
Bir ABCD dörtgeninin kenar orta noktaları sırasıyla \(K\), \(L\), \(M\) ve \(N\) olarak işaretleniyor.
Bu orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan KLMN yeni dörtgeninin çevresi \(36\) birim olduğuna göre, ABCD dörtgeninin köşegen uzunluklarının toplamı kaç birimdir? 🔗
Bu orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan KLMN yeni dörtgeninin çevresi \(36\) birim olduğuna göre, ABCD dörtgeninin köşegen uzunluklarının toplamı kaç birimdir? 🔗
Çözüm:
Geometrideki önemli teoremlerden biri olan Varignon Teoremi'ne göre:
- Kural 1: Bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle her zaman bir paralelkenar oluşur. Dolayısıyla KLMN bir paralelkenardır.
- Kural 2: Bu oluşan paralelkenarın çevresi, ana dörtgenin köşegen uzunluklarının toplamına eşittir. \[ Çevre(KLMN) = |AC| + |BD| \]
- Uygulama: Soruda bize \(Çevre(KLMN) = 36\) birim olarak verilmiştir. \[ |AC| + |BD| = 36 \]
Örnek 8:
Bir uçurtma şenliği için tasarlanan ABCD dörtgeni biçimindeki uçurtmada, köşegenler \(K\) noktasında dik kesişmektedir.
Uçurtmanın köşegen uzunlukları \(|AC| = 80\) cm ve \(|BD| = 60\) cm olarak ölçülmüştür. Bu uçurtmanın ön yüzeyini kaplamak için en az kaç santimetrekare kumaş gereklidir? 🪁
Uçurtmanın köşegen uzunlukları \(|AC| = 80\) cm ve \(|BD| = 60\) cm olarak ölçülmüştür. Bu uçurtmanın ön yüzeyini kaplamak için en az kaç santimetrekare kumaş gereklidir? 🪁
Çözüm:
Uçurtmanın kaplanması için gereken kumaş miktarı, ABCD dörtgeninin alanına eşittir. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin alan formülünü kullanalım:
- Alan Formülü: Köşegenleri dik kesişen (\(\alpha = 90^\circ\)) dörtgenlerin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir: \[ Alan = \frac{|AC| \times |BD|}{2} \]
- Hesaplama: Verilen köşegen uzunluklarını formülde yerine yazalım: \[ Alan = \frac{80 \times 60}{2} \] \[ Alan = \frac{4800}{2} \] \[ Alan = 2400 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dortgen/sorular