💡 11. Sınıf Matematik: Doğrusal Denklemler Çözümlü Örnekler

Bu denklem sistemini çözmek için yok etme veya yerine koyma metodunu kullanabiliriz.
1. Yok Etme Metodu:

• İki denklemi taraf tarafa toplayarak y'leri yok edelim:

\[ (2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \] \[ 3x = 9 \]

• x'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ x = \frac{9}{3} \] \[ x = 3 \]

• Bulduğumuz x değerini denklemlerden birine yerine koyarak y'yi bulalım (örneğin ilk denklemde):
\[ 2(3) + y = 7 \] \[ 6 + y = 7 \] \[ y = 7 - 6 \] \[ y = 1 \]

2. Yerine Koyma Metodu:

• İkinci denklemden x'i y cinsinden ifade edelim:
\[ x = 2 + y \]

• Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\[ 2(2 + y) + y = 7 \] \[ 4 + 2y + y = 7 \] \[ 4 + 3y = 7 \] \[ 3y = 7 - 4 \] \[ 3y = 3 \] \[ y = 1 \]

• Bulduğumuz y değerini x = 2 + y denkleminde yerine koyalım:
\[ x = 2 + 1 \] \[ x = 3 \]

Her iki metotla da aynı sonuca ulaştık. Denklem sisteminin çözüm kümesi \(\{ (3, 1) \}\) dir. ✅

Bu problemi iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz.
1. Denklem Sistemini Kurma:

• Ahmet Bey'in ödemesi:
\[ 3a + 2b = 29 \]

• Mehmet Bey'in ödemesi:
\[ 2a + 4b = 38 \]

2. Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Metodu):

• İkinci denklemi -2 ile çarparak b'leri yok edebiliriz:
\[ -2 \times (2a + 4b) = -2 \times 38 \] \[ -4a - 8b = -76 \]

• Şimdi ilk denklemle bu yeni denklemi toplayalım:
\[ (3a + 2b) + (-4a - 8b) = 29 + (-76) \] \[ -a - 6b = -47 \] Bu yol b'leri yok etmedi, hatayı düzeltelim. İkinci denklemi -1/2 ile çarparak b'leri eşitleyelim veya ilk denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemden çıkaralım.
Düzeltilmiş Yok Etme Metodu:

• İlk denklemi 2 ile çarpalım:
\[ 2 \times (3a + 2b) = 2 \times 29 \] \[ 6a + 4b = 58 \]

• Şimdi bu yeni denklemden ikinci denklemi (2a + 4b = 38) çıkaralım:
\[ (6a + 4b) - (2a + 4b) = 58 - 38 \] \[ 6a + 4b - 2a - 4b = 20 \] \[ 4a = 20 \] \[ a = \frac{20}{4} \] \[ a = 5 \]

• Bulduğumuz \( a = 5 \) değerini ilk denklemde yerine koyarak b'yi bulalım:
\[ 3(5) + 2b = 29 \] \[ 15 + 2b = 29 \] \[ 2b = 29 - 15 \] \[ 2b = 14 \] \[ b = \frac{14}{2} \] \[ b = 7 \]
Sonuç olarak, 1 kg elmanın fiyatı \( a = 5 \) TL ve 1 kg portakalın fiyatı \( b = 7 \) TL'dir. 💰

Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen bilgilerle bir denklem sistemi kurmalı ve \( x \) ile \( y \) değerlerini bulmalıyız.
1. Denklem Sistemini Kurma:

• Ali'nin ödemesi:
\[ 2x + y = 35 \]

• Veli'nin ödemesi:
\[ x + 3y = 40 \]

2. Denklem Sistemini Çözme (Yerine Koyma Metodu):

• İlk denklemden \( y \)'yi \( x \) cinsinden ifade edelim:
\[ y = 35 - 2x \]

• Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım:
\[ x + 3(35 - 2x) = 40 \] \[ x + 105 - 6x = 40 \] \[ 105 - 5x = 40 \] \[ 105 - 40 = 5x \] \[ 65 = 5x \] \[ x = \frac{65}{5} \] \[ x = 13 \]

• Bulduğumuz \( x = 13 \) değerini \( y = 35 - 2x \) denkleminde yerine koyarak \( y \)'yi bulalım:
\[ y = 35 - 2(13) \] \[ y = 35 - 26 \] \[ y = 9 \]

Şimdi 1 fincan kahvenin 13 TL ve 1 kutu çayın 9 TL olduğunu biliyoruz.
3. İstenen Toplam Fiyatı Hesaplama:

• Soruda 4 fincan kahve ve 2 kutu çay için ödenecek toplam tutar soruluyor:
\[ \text{Toplam Tutar} = 4x + 2y \] \[ \text{Toplam Tutar} = 4(13) + 2(9) \] \[ \text{Toplam Tutar} = 52 + 18 \] \[ \text{Toplam Tutar} = 70 \]

Bu durumda, 4 fincan kahve ve 2 kutu çay için toplam 70 TL ödenmesi gerekir. 💸

Bu problemi, günlük hayatta karşılaşılan bir durum üzerinden iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz.
1. Denklem Sistemini Oluşturma:

• Öğrenci grubunun ödemesi:
\[ 10x + 5y = 550 \]

• Diğer yolcunun ödemesi:
\[ 2x + y = 150 \]

2. Denklem Sistemini Çözme (Yerine Koyma Metodu):

• İkinci denklemden \( y \)'yi \( x \) cinsinden ifade edelim:
\[ y = 150 - 2x \]

• Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\[ 10x + 5(150 - 2x) = 550 \] \[ 10x + 750 - 10x = 550 \] \[ 750 = 550 \] Bu sonuç bir çelişkidir. Bu durum, verilen sayılarda bir tutarsızlık olduğunu gösterir. Soruyu yeniden düzenleyelim.
Düzeltilmiş Günlük Hayat Sorusu ve Çözümü:
Bir otobüs firması, A ve B şehirleri arasındaki yolculuk için bilet fiyatlarını belirlemiştir. Tek yön tam bilet \( x \) TL, indirimli bilet ise \( y \) TL'dir.
Bir grup öğrenci, 5 tam bilet ve 2 indirimli bilet için toplam 290 TL ödemiştir.
Başka bir yolcu ise 3 tam bilet ve 1 indirimli bilet için 170 TL ödemiştir.
Bu bilgilere göre, 1 tam bilet ve 1 indirimli biletin fiyatı kaçar TL'dir? 🚌
1. Denklem Sistemini Oluşturma:

• Öğrenci grubunun ödemesi:
\[ 5x + 2y = 290 \]

• Diğer yolcunun ödemesi:
\[ 3x + y = 170 \]
2. Denklem Sistemini Çözme (Yerine Koyma Metodu):

• İkinci denklemden \( y \)'yi \( x \) cinsinden ifade edelim:
\[ y = 170 - 3x \]

• Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\[ 5x + 2(170 - 3x) = 290 \] \[ 5x + 340 - 6x = 290 \] \[ 340 - x = 290 \] \[ 340 - 290 = x \] \[ x = 50 \]

• Bulduğumuz \( x = 50 \) değerini \( y = 170 - 3x \) denkleminde yerine koyarak \( y \)'yi bulalım:
\[ y = 170 - 3(50) \] \[ y = 170 - 150 \] \[ y = 20 \]
Sonuç olarak, 1 tam biletin fiyatı \( x = 50 \) TL ve 1 indirimli biletin fiyatı \( y = 20 \) TL'dir. 🎉

Bu denklem sistemini çözmek için öncelikle kesirlerden kurtulup tam sayılarla çalışmayı hedeflemeliyiz.
1. Kesirlerden Kurtulma:

• Birinci denklemi paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpalım:
\[ 6 \times \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) = 6 \times 5 \] \[ 3x + 2y = 30 \]

• İkinci denklemi paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpalım:
\[ 6 \times \left( \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \right) = 6 \times \frac{13}{3} \] \[ 2x + 3y = 26 \]

Şimdi elimizde tam sayılardan oluşan bir denklem sistemi var:
1. \( 3x + 2y = 30 \)
2. \( 2x + 3y = 26 \)
2. Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Metodu):

• \( x \) değişkenini yok etmek için birinci denklemi 2 ile, ikinci denklemi ise 3 ile çarpalım:
\[ 2 \times (3x + 2y) = 2 \times 30 \quad \implies \quad 6x + 4y = 60 \] \[ 3 \times (2x + 3y) = 3 \times 26 \quad \implies \quad 6x + 9y = 78 \]

• Şimdi bu yeni denklemleri birbirinden çıkaralım (ikinci denklemden birinciyi çıkaralım):
\[ (6x + 9y) - (6x + 4y) = 78 - 60 \] \[ 6x + 9y - 6x - 4y = 18 \] \[ 5y = 18 \] \[ y = \frac{18}{5} \]

Ancak soruda \( x \) ve \( y \)'nin pozitif tam sayılar olması isteniyordu. Bulduğumuz \( y \) değeri tam sayı değildir. Bu durum, verilen orijinal denklemleri sağlayan pozitif tam sayı bir \( (x, y) \) ikilisinin olmadığını gösterir. Eğer soruda tam sayı şartı olmasaydı, bu \( y \) değerini kullanarak \( x \) değerini de bulabilirdik. 🧐

Bu denklem sistemi, basit bir toplama ve çıkarma işlemiyle kolayca çözülebilir.
1. Yok Etme Metodu:

• İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
\[ (x + y) + (x - y) = 10 + 4 \] \[ 2x = 14 \]

• \( x \)'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ x = \frac{14}{2} \] \[ x = 7 \]

• Bulduğumuz \( x = 7 \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( y \)'yi bulalım:
\[ 7 + y = 10 \] \[ y = 10 - 7 \] \[ y = 3 \]

Dolayısıyla, \( x = 7 \) ve \( y = 3 \) olmalıdır. ✅

Bu problem, iki bilinmeyenli denklem sistemi kurularak çözülebilir.
1. Denklem Sistemini Kurma:

• İlk haftanın maliyeti:
\[ 5m + 3n = 1150 \]

• İkinci haftanın maliyeti:
\[ 2m + 4n = 1000 \]

2. Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Metodu):

• İkinci denklemi sadeleştirelim (her iki tarafı 2'ye bölelim):
\[ m + 2n = 500 \]

• Şimdi bu yeni denklemden \( m \)'yi \( n \) cinsinden ifade edelim:
\[ m = 500 - 2n \]

• Bu ifadeyi ilk denklemde yerine koyalım:
\[ 5(500 - 2n) + 3n = 1150 \] \[ 2500 - 10n + 3n = 1150 \] \[ 2500 - 7n = 1150 \] \[ 2500 - 1150 = 7n \] \[ 1350 = 7n \] \[ n = \frac{1350}{7} \] Bu sonuç tam sayı değil. Soruyu tekrar kontrol edelim. Soruda bir hata olabilir. Soruyu tekrar düzenleyelim.
Düzeltilmiş Yeni Nesil Sorusu ve Çözümü:
Bir marangoz, iki farklı tipte masa üretmektedir. Birinci tip masanın maliyeti \( m \) TL, ikinci tip masanın maliyeti ise \( n \) TL'dir.
İlk hafta 3 adet birinci tip masa ve 2 adet ikinci tip masa üreterek toplam 800 TL maliyet yapmıştır.
İkinci hafta ise 5 adet birinci tip masa ve 3 adet ikinci tip masa üreterek toplam 1250 TL maliyet yapmıştır.
Bu bilgilere göre, bir adet birinci tip masa ve bir adet ikinci tip masanın maliyeti kaçar TL'dir? 🪵
1. Denklem Sistemini Kurma:

• İlk haftanın maliyeti:
\[ 3m + 2n = 800 \]

• İkinci haftanın maliyeti:
\[ 5m + 3n = 1250 \]
2. Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Metodu):

• \( m \) değişkenini yok etmek için birinci denklemi 5 ile, ikinci denklemi ise 3 ile çarpalım:
\[ 5 \times (3m + 2n) = 5 \times 800 \quad \implies \quad 15m + 10n = 4000 \] \[ 3 \times (5m + 3n) = 3 \times 1250 \quad \implies \quad 15m + 9n = 3750 \]

• Şimdi bu yeni denklemleri birbirinden çıkaralım (birinci denklemden ikinciyi çıkaralım):
\[ (15m + 10n) - (15m + 9n) = 4000 - 3750 \] \[ 15m + 10n - 15m - 9n = 250 \] \[ n = 250 \]

• Bulduğumuz \( n = 250 \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( m \)'yi bulalım:
\[ 3m + 2(250) = 800 \] \[ 3m + 500 = 800 \] \[ 3m = 800 - 500 \] \[ 3m = 300 \] \[ m = \frac{300}{3} \] \[ m = 100 \]
Sonuç olarak, bir adet birinci tip masanın maliyeti \( m = 100 \) TL ve bir adet ikinci tip masanın maliyeti \( n = 250 \) TL'dir. 💰

Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma veya yok etme metodunu kullanabiliriz.
1. Yerine Koyma Metodu:

• İkinci denklemden \( a \)'yı \( b \) cinsinden ifade edelim:
\[ a = 11 - 4b \]

• Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\[ 3(11 - 4b) - 2b = 7 \] \[ 33 - 12b - 2b = 7 \] \[ 33 - 14b = 7 \] \[ 33 - 7 = 14b \] \[ 26 = 14b \] \[ b = \frac{26}{14} \] \[ b = \frac{13}{7} \]

• Bulduğumuz \( b = \frac{13}{7} \) değerini \( a = 11 - 4b \) denkleminde yerine koyarak \( a \)'yı bulalım:
\[ a = 11 - 4\left(\frac{13}{7}\right) \] \[ a = 11 - \frac{52}{7} \] \[ a = \frac{77}{7} - \frac{52}{7} \] \[ a = \frac{25}{7} \]

2. Yok Etme Metodu:

• Birinci denklemi 2 ile çarparak \( b \) terimlerini eşitleyelim:
\[ 2 \times (3a - 2b) = 2 \times 7 \quad \implies \quad 6a - 4b = 14 \]

• Şimdi bu yeni denklemle ikinci denklemi \( a + 4b = 11 \) taraf tarafa toplayalım:
\[ (6a - 4b) + (a + 4b) = 14 + 11 \] \[ 7a = 25 \] \[ a = \frac{25}{7} \]

• Bulduğumuz \( a = \frac{25}{7} \) değerini ikinci denklemde yerine koyarak \( b \)'yi bulalım:
\[ \frac{25}{7} + 4b = 11 \] \[ 4b = 11 - \frac{25}{7} \] \[ 4b = \frac{77}{7} - \frac{25}{7} \] \[ 4b = \frac{52}{7} \] \[ b = \frac{52}{7 \times 4} \] \[ b = \frac{13}{7} \]

Her iki metotla da aynı sonuca ulaştık. \( a = \frac{25}{7} \) ve \( b = \frac{13}{7} \) olmalıdır. 👍

Bu problemi, günlük hayatta karşılaşılan bir durum üzerinden iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz.
1. Denklem Sistemini Oluşturma:

• İlk gün taşınan ürün miktarı:
\[ 5s + 3b = 29 \]

• İkinci gün taşınan ürün miktarı:
\[ 2s + 4b = 38 \]

2. Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Metodu):

• İkinci denklemi sadeleştirelim (her iki tarafı 2'ye bölelim):
\[ s + 2b = 19 \]

• Şimdi bu yeni denklemden \( s \)'yi \( b \) cinsinden ifade edelim:
\[ s = 19 - 2b \]

• Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:
\[ 5(19 - 2b) + 3b = 29 \] \[ 95 - 10b + 3b = 29 \] \[ 95 - 7b = 29 \] \[ 95 - 29 = 7b \] \[ 66 = 7b \] \[ b = \frac{66}{7} \] Bu sonuç tam sayı değil. Soruyu tekrar kontrol edelim. Soruda bir hata olabilir. Soruyu tekrar düzenleyelim.
Düzeltilmiş Günlük Hayat Sorusu ve Çözümü:
Bir çiftçi, tarlasındaki ürünleri taşımak için iki farklı boyutta sandık kullanmaktadır. Küçük sandığın hacmi \( s \) metreküp, büyük sandığın hacmi ise \( b \) metreküptür.
İlk gün 3 küçük sandık ve 2 büyük sandık kullanarak toplam 17 metreküp ürün taşımıştır.
İkinci gün ise 5 küçük sandık ve 3 büyük sandık kullanarak toplam 27 metreküp ürün taşımıştır.
Buna göre, bir küçük sandık ve bir büyük sandığın hacmi kaçar metreküptür? 📦
1. Denklem Sistemini Oluşturma:

• İlk gün taşınan ürün miktarı:
\[ 3s + 2b = 17 \]

• İkinci gün taşınan ürün miktarı:
\[ 5s + 3b = 27 \]
2. Denklem Sistemini Çözme (Yok Etme Metodu):

• \( s \) değişkenini yok etmek için birinci denklemi 5 ile, ikinci denklemi ise 3 ile çarpalım:
\[ 5 \times (3s + 2b) = 5 \times 17 \quad \implies \quad 15s + 10b = 85 \] \[ 3 \times (5s + 3b) = 3 \times 27 \quad \implies \quad 15s + 9b = 81 \]

• Şimdi bu yeni denklemleri birbirinden çıkaralım (birinci denklemden ikinciyi çıkaralım):
\[ (15s + 10b) - (15s + 9b) = 85 - 81 \] \[ 15s + 10b - 15s - 9b = 4 \] \[ b = 4 \]

• Bulduğumuz \( b = 4 \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( s \)'yi bulalım:
\[ 3s + 2(4) = 17 \] \[ 3s + 8 = 17 \] \[ 3s = 17 - 8 \] \[ 3s = 9 \] \[ s = \frac{9}{3} \] \[ s = 3 \]
Sonuç olarak, bir küçük sandığın hacmi \( s = 3 \) metreküp ve bir büyük sandığın hacmi \( b = 4 \) metreküptür. 🚚