🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Doğrunun Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Doğrunun Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde verilen \(A(2, 5)\) ve \(B(-1, 1)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
Bu tür sorular, analitik geometrinin temelini oluşturur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak kolayca çözebiliriz.
- 👉 İki nokta arası uzaklık formülü:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) - ✅ Verilen noktalar \(A(x_1, y_1) = (2, 5)\) ve \(B(x_2, y_2) = (-1, 1)\) olsun.
- Hesaplamaları yapalım:
- \(x\) koordinatları farkı: \(x_2 - x_1 = -1 - 2 = -3\)
- \(y\) koordinatları farkı: \(y_2 - y_1 = 1 - 5 = -4\)
- Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}\] \[d = \sqrt{9 + 16}\] \[d = \sqrt{25}\] \[d = 5\]
- Sonuç olarak, \(A\) ve \(B\) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. ✔️
Örnek 2:
Analitik düzlemde \(P(3, -2)\) ve \(R(7, 4)\) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatları nelerdir? 💡
Çözüm:
İki noktanın orta noktasının koordinatlarını bulmak için, \(x\) koordinatlarını ve \(y\) koordinatlarını ayrı ayrı toplayıp ikiye böleriz.
- 👉 Orta nokta formülü:
\(M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\) - ✅ Verilen noktalar \(P(x_1, y_1) = (3, -2)\) ve \(R(x_2, y_2) = (7, 4)\) olsun.
- Hesaplamaları yapalım:
- \(x\) koordinatlarının ortalaması: \(\frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
- \(y\) koordinatlarının ortalaması: \(\frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
- Bu durumda, orta nokta \(M(5, 1)\) olur. 📌
- Yani, doğru parçasının orta noktasının koordinatları \((5, 1)\)'dir. ✅
Örnek 3:
Eğimi \(m = \frac{2}{3}\) olan ve \(A(1, -2)\) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ✍️
Çözüm:
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini yazmak için standart formülü kullanırız.
- 👉 Doğru denklemi formülü:
\(y - y_1 = m(x - x_1)\) - ✅ Verilen eğim \(m = \frac{2}{3}\) ve nokta \(A(x_1, y_1) = (1, -2)\) dir.
- Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[y - (-2) = \frac{2}{3}(x - 1)\] \[y + 2 = \frac{2}{3}(x - 1)\]
- Denklemi daha düzenli bir hale getirmek için her iki tarafı 3 ile çarpalım: \[3(y + 2) = 2(x - 1)\] \[3y + 6 = 2x - 2\]
- Tüm terimleri bir tarafta toplayarak genel doğru denklemi formatına getirelim: \[2x - 3y - 2 - 6 = 0\] \[2x - 3y - 8 = 0\]
- Bu doğrunun denklemi \(2x - 3y - 8 = 0\)'dır. ✔️
Örnek 4:
Analitik düzlemde \(K(-2, 3)\) ve \(L(4, 6)\) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. 🎯
Çözüm:
İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için öncelikle doğrunun eğimini hesaplamamız gerekir.
- 👉 Eğim formülü:
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) - ✅ Verilen noktalar \(K(x_1, y_1) = (-2, 3)\) ve \(L(x_2, y_2) = (4, 6)\) dir.
- Önce eğimi hesaplayalım: \[m = \frac{6 - 3}{4 - (-2)}\] \[m = \frac{3}{4 + 2}\] \[m = \frac{3}{6}\] \[m = \frac{1}{2}\]
- Şimdi, eğimi \(m = \frac{1}{2}\) ve noktalardan herhangi biri (örneğin \(K(-2, 3)\)) bilinen doğru denklemi formülünü kullanalım: \[y - y_1 = m(x - x_1)\] \[y - 3 = \frac{1}{2}(x - (-2))\] \[y - 3 = \frac{1}{2}(x + 2)\]
- Denklemi düzenlemek için her iki tarafı 2 ile çarpalım: \[2(y - 3) = 1(x + 2)\] \[2y - 6 = x + 2\]
- Tüm terimleri bir tarafta toplayalım: \[x - 2y + 2 + 6 = 0\] \[x - 2y + 8 = 0\]
- Bu doğrunun denklemi \(x - 2y + 8 = 0\)'dır. ✅
Örnek 5:
\(d_1\) doğrusu \(y = 3x - 5\) denklemi ile verilmiştir. Bu doğruya paralel olan ve \(P(2, 7)\) noktasından geçen \(d_2\) doğrusunun denklemini bulunuz. 🛣️
Çözüm:
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu bilgiyi kullanarak \(d_2\) doğrusunun denklemini bulabiliriz.
- 👉 Birinci doğrunun denklemi \(y = 3x - 5\) olduğundan, eğimi \(m_1 = 3\) tür.
- Paralel doğruların eğimleri eşit olduğu için, \(d_2\) doğrusunun eğimi de \(m_2 = 3\) olacaktır.
- Şimdi, eğimi \(m_2 = 3\) olan ve \(P(x_1, y_1) = (2, 7)\) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım: \[y - y_1 = m_2(x - x_1)\] \[y - 7 = 3(x - 2)\]
- Denklemi düzenleyelim: \[y - 7 = 3x - 6\]
- Tüm terimleri bir tarafta toplayarak genel doğru denklemi formatına getirelim: \[3x - y - 6 + 7 = 0\] \[3x - y + 1 = 0\]
- \(d_2\) doğrusunun denklemi \(3x - y + 1 = 0\)'dır. ✅
Örnek 6:
Analitik düzlemde \(d_1\) doğrusunun denklemi \(2x + 4y - 1 = 0\) olarak verilmiştir. Bu doğruya dik olan ve \(N(-1, 5)\) noktasından geçen \(d_2\) doğrusunun denklemini bulunuz. 📐
Çözüm:
Dik doğruların eğimleri çarpımı \(-1\) dir. Bu bilgiyi kullanarak \(d_2\) doğrusunun denklemini bulabiliriz.
- 👉 Önce \(d_1\) doğrusunun eğimini bulalım. Denklemi \(2x + 4y - 1 = 0\) şeklindedir. Bu denklemi \(y = mx + n\) formatına getirelim: \[4y = -2x + 1\] \[y = \frac{-2}{4}x + \frac{1}{4}\] \[y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\]
- Bu durumda \(d_1\) doğrusunun eğimi \(m_1 = -\frac{1}{2}\) dir.
- Dik doğruların eğimleri çarpımı \(-1\) olduğu için, \(m_1 \times m_2 = -1\) eşitliğini kullanalım: \[-\frac{1}{2} \times m_2 = -1\] \[m_2 = 2\]
- Şimdi, eğimi \(m_2 = 2\) olan ve \(N(x_1, y_1) = (-1, 5)\) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım: \[y - y_1 = m_2(x - x_1)\] \[y - 5 = 2(x - (-1))\] \[y - 5 = 2(x + 1)\]
- Denklemi düzenleyelim: \[y - 5 = 2x + 2\]
- Tüm terimleri bir tarafta toplayarak genel doğru denklemi formatına getirelim: \[2x - y + 2 + 5 = 0\] \[2x - y + 7 = 0\]
- \(d_2\) doğrusunun denklemi \(2x - y + 7 = 0\)'dır. ✅
Örnek 7:
Bir mühendislik projesinde, analitik düzlemde bir noktayı temsil eden bir sensörün konumu \(S(3, 4)\) olarak belirlenmiştir. Bir boru hattı ise \(3x + 4y - 2 = 0\) denklemi ile gösterilen bir doğru boyunca uzanmaktadır. Bu sensörün boru hattına olan en kısa uzaklığı kaç birimdir? 🚧
Çözüm:
Bu problem, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulma problemidir. En kısa uzaklık, dik uzaklık anlamına gelir.
- 👉 Noktanın doğruya uzaklığı formülü:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) - ✅ Burada, nokta \(S(x_0, y_0) = (3, 4)\) ve doğru denklemi \(3x + 4y - 2 = 0\), yani \(A = 3\), \(B = 4\), \(C = -2\) dir.
- Formülde değerleri yerine koyalım: \[d = \frac{|3(3) + 4(4) + (-2)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\]
- Pay kısmını hesaplayalım: \[|9 + 16 - 2| = |25 - 2| = |23| = 23\]
- Payda kısmını hesaplayalım: \[\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]
- Sonuç olarak uzaklık: \[d = \frac{23}{5}\]
- Sensörün boru hattına olan en kısa uzaklığı \(\frac{23}{5}\) birimdir (veya 4.6 birim). ✔️
Örnek 8:
Bir yol yapım projesinde, bir rampanın eğiminin \(%25\) olması istenmektedir. Bu rampa, yatayda 12 metre ilerlediğinde dikeyde kaç metre yükselmelidir? Ayrıca bu rampanın eğim açısı yaklaşık olarak kaç derecedir? ( \(\tan(\alpha)\) değerleri için bir hesap makinesi kullanıldığını varsayalım.) 🏗️
Çözüm:
Rampaların ve yolların eğimi, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız analitik geometri uygulamalarından biridir. Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
- 👉 Eğim (m) genellikle yüzde olarak veya bir oran olarak ifade edilir. Yüzde eğim, dikey yükselişin yatay mesafeye oranının 100 ile çarpılmasıyla bulunur. \[\text{Eğim (yüzde)} = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{\text{Yatay Mesafe}} \times 100\]
- ✅ Bize verilen eğim \(%25\) ve yatay mesafe 12 metredir. Dikey yükselişi bulalım: \[25 = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{12} \times 100\] \[\frac{25}{100} = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{12}\] \[\frac{1}{4} = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{12}\]
- İçler dışlar çarpımı yaparak dikey yükselişi bulalım: \[4 \times \text{Dikey Yükseliş} = 1 \times 12\] \[\text{Dikey Yükseliş} = \frac{12}{4}\] \[\text{Dikey Yükseliş} = 3 \text{ metre}\]
- Bu rampa, yatayda 12 metre ilerlediğinde 3 metre yükselmelidir.
- Şimdi eğim açısını bulalım. Eğim aynı zamanda eğim açısının tanjantıdır: \[m = \tan(\alpha)\] \[m = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{\text{Yatay Mesafe}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25\]
- Yani \(\tan(\alpha) = 0.25\) dir. Hesap makinesi kullanarak bu açıyı bulabiliriz: \[\alpha = \arctan(0.25)\] \[\alpha \approx 14.04^\circ\]
- Rampanın eğim açısı yaklaşık olarak \(14.04^\circ\)'dir. 📈 Bu bilgi, inşaat mühendisleri tarafından rampaların güvenliği ve erişilebilirliği için kullanılır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dogrunun-analitik-incelenmesi/sorular