💡 11. Sınıf Matematik: Doğrunun analitiği Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak çözüme ulaşabiliriz:

• İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 7 \)
• \( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)
• \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
• \( d = \sqrt{9 + 16} \)
• \( d = \sqrt{25} = 5 \) birim bulunur.

✅ Cevap: 5

Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:

• Orta nokta formülü: \( C(x, y) = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)
• Apsis için: \( x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• Ordinat için: \( y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• Bu durumda orta noktanın koordinatları (3, 1) olarak bulunur.

✅ Cevap: (3, 1)

İki noktası bilinen doğrunun eğimini (m) bulmak için ordinatlar farkını apsisler farkına böleriz:

• Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
• Değerleri yerleştirelim: \( m = \frac{8 - 2}{4 - 1} \)
• \( m = \frac{6}{3} \)
• \( m = 2 \) bulunur.

💡 Not: Pozitif eğim, doğrunun sağa yatık olduğunu gösterir.

✅ Cevap: 2

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini şu adımlarla buluruz:

• Denklem formülü: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
• Verilenleri yerine yazalım: \( y - (-3) = -1(x - 2) \)
• \( y + 3 = -x + 2 \)
• Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( x + y + 3 - 2 = 0 \)
• Sonuç: \( x + y + 1 = 0 \) elde edilir.

✅ Cevap: x + y + 1 = 0

Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Bu kuralı kullanarak çözüme gidelim:

• Verilen doğrunun eğimi: \( m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3} \)
• Dik olan doğrunun eğimi \( m_2 \) olsun: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
• \( \frac{2}{3} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\frac{3}{2} \)
• Orijinden geçen ve eğimi \( -\frac{3}{2} \) olan doğru denklemi: \( y = mx \)
• \( y = -\frac{3}{2}x \)
• Düzenlersek: \( 2y = -3x \Rightarrow 3x + 2y = 0 \) bulunur.

✅ Cevap: 3x + 2y = 0

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklık formülünü uygulayalım:

• Uzaklık formülü: \( d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
• Değerler: \( a = 3, b = 4, c = 9, x_1 = 1, y_1 = 2 \)
• \( d = \frac{|3(1) + 4(2) + 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \)
• \( d = \frac{|3 + 8 + 9|}{\sqrt{9 + 16}} \)
• \( d = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} \)
• \( d = 4 \) birim bulunur.

✅ Cevap: 4

Doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını artış miktarlarıyla bulabiliriz:

• Toplam oran: \( 1 + 3 = 4 \) birim.
• Apsis (x) değişimi: 2'den 10'a \( 10 - 2 = 8 \) birim artmış.
• 4 birimde 8 artarsa, 1 birimde (AC arası) \( 8 / 4 = 2 \) artar.
• C noktasının apsisi: \( x = 2 + 2 = 4 \)
• Ordinat (y) değişimi: 1'den 7'ye \( 7 - 1 = 6 \) birim artmış.
• 4 birimde 6 artarsa, 1 birimde \( 6 / 4 = 1.5 \) artar.
• C noktasının ordinatı: \( y = 1 + 1.5 = 2.5 \)
• Fıskiyenin koordinatları: (4, 2.5) olur.

✅ Cevap: (4, 2.5)

Günlük hayattaki bu durumu doğrusal fonksiyon ve analitik geometri ile ifade edelim:

• Sabit değer (y eksenini kestiği nokta): \( b = 10 \)
• Değişim oranı (eğim): \( m = 5 \)
• Doğru denklemi: \( y = mx + b \Rightarrow y = 5x + 10 \)
• 12 km yol için \( x = 12 \) değerini denklemde yerine yazalım:
• \( y = 5(12) + 10 \)
• \( y = 60 + 10 = 70 \) TL
• Müşteri toplamda 70 TL ödeme yapar.

✅ Cevap: y = 5x + 10 ve 70 TL