🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Doğru Denklemleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Doğru Denklemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Eğimleri \( m_1 = 3 \) ve \( m_2 = -1/3 \) olan iki doğrunun birbirine göre durumunu inceleyiniz.
Çözüm:
- İki doğrunun eğimleri çarpımına bakarak durumlarını belirleyebiliriz.
- Eğer eğimleri çarpımı -1 ise doğrular diktir.
- Eğer eğimleri çarpımı 0 ise doğrular paraleldir (ve farklıdır).
- Eğer eğimleri eşit ise doğrular paraleldir (ve çakışıktır).
- Bu örnekte, eğimleri çarpımı \( m_1 \times m_2 = 3 \times (-\frac{1}{3}) = -1 \) olarak bulunur.
- Bu sonuç, doğruların birbirine dik olduğunu gösterir. 💡
Örnek 2:
Başlangıç noktası \( A(2, 5) \) ve eğimi \( m = -2 \) olan doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
- Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimini ve üzerindeki bir noktayı bilmemiz gerekir.
- Doğru denklemi genel formu: \( y - y_1 = m(x - x_1) \), burada \( (x_1, y_1) \) nokta ve \( m \) eğimdir.
- Verilen nokta \( (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve eğim \( m = -2 \).
- Bu değerleri formülde yerine koyalım: \( y - 5 = -2(x - 2) \).
- Denklemi düzenleyelim: \( y - 5 = -2x + 4 \).
- Son olarak, \( y \) yalnız bırakıldığında doğru denklemi \( y = -2x + 9 \) olur. ✅
Örnek 3:
\( 3x - 2y + 6 = 0 \) doğrusuna paralel ve \( B(1, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
- Paralel doğruların eğimleri eşittir.
- Verilen \( 3x - 2y + 6 = 0 \) doğrusunun eğimini bulalım.
- Denklemi \( y = mx + c \) formuna getirelim: \( 2y = 3x + 6 \implies y = \frac{3}{2}x + 3 \).
- Bu doğrunun eğimi \( m = \frac{3}{2} \).
- Paralel olan yeni doğrumuzun eğimi de \( m = \frac{3}{2} \) olacaktır.
- Bu yeni doğru \( B(1, 4) \) noktasından geçiyor.
- Doğru denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü kullanalım: \( y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1) \).
- Denklemi düzenleyelim: \( 2(y - 4) = 3(x - 1) \implies 2y - 8 = 3x - 3 \).
- Doğru denklemi \( 3x - 2y + 5 = 0 \) olarak bulunur. 👉
Örnek 4:
\( x + 4y - 8 = 0 \) doğrusuna dik ve orijinden ( \( (0,0) \) ) geçen doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
- Dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
- Verilen \( x + 4y - 8 = 0 \) doğrusunun eğimini bulalım.
- Denklemi \( y = mx + c \) formuna getirelim: \( 4y = -x + 8 \implies y = -\frac{1}{4}x + 2 \).
- Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -\frac{1}{4} \).
- Dik olan yeni doğrumuzun eğimi \( m_2 \) ise \( m_1 \times m_2 = -1 \) olmalıdır.
- \( -\frac{1}{4} \times m_2 = -1 \implies m_2 = 4 \).
- Yeni doğru orijinden ( \( (0,0) \) ) geçiyor.
- Doğru denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü kullanalım: \( y - 0 = 4(x - 0) \).
- Doğru denklemi \( y = 4x \) olarak bulunur. 📌
Örnek 5:
\( y = 2x + 1 \) ve \( y = -x + 7 \) doğrularının kesişim noktasını bulunuz.
Çözüm:
- İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemlerini ortak çözmemiz gerekir.
- Bu durumda, iki denklemde de \( y \) değerleri eşit olduğundan, \( x \) değerlerini eşitleyebiliriz.
- \( 2x + 1 = -x + 7 \).
- \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \( 2x + x = 7 - 1 \).
- \( 3x = 6 \).
- \( x = 2 \) bulunur.
- Şimdi \( x=2 \) değerini denklemlerden birine (örneğin ilkine) yerine koyarak \( y \) değerini bulalım: \( y = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \).
- Kesişim noktası \( (2, 5) \) olur. 🎯
Örnek 6:
Bir grafik tablet üzerinde çizilen \( y = mx + c \) şeklindeki bir doğru, \( (3, 5) \) noktasından geçmekte ve y eksenini \( (0, 2) \) noktasında kesmektedir. Bu doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
- Doğrunun y eksenini kestiği nokta, \( c \) değerini verir. Bu durumda \( c = 2 \).
- Doğrunun denklemi \( y = mx + 2 \) halini alır.
- Doğru \( (3, 5) \) noktasından geçtiğine göre, bu nokta denklemi sağlamalıdır.
- \( x = 3 \) ve \( y = 5 \) değerlerini denklemde yerine koyalım: \( 5 = m(3) + 2 \).
- \( 5 = 3m + 2 \).
- \( 3m = 5 - 2 \implies 3m = 3 \).
- Buradan \( m = 1 \) bulunur.
- Dolayısıyla doğrunun denklemi \( y = 1x + 2 \) yani \( y = x + 2 \) olur. ✍️
Örnek 7:
Bir taksinin açılış ücreti 10 TL'dir ve kilometre başına 5 TL ek ücret almaktadır. Bu taksinin alacağı ücreti gösteren doğru denklemini yazınız.
Çözüm:
- Bu durumu bir doğru denklemi ile modelleyebiliriz.
- Açılış ücreti, \( x=0 \) iken alınan sabit ücrettir, bu nedenle \( c = 10 \) olur.
- Kilometre başına alınan ücret, doğrunun eğimini temsil eder, yani \( m = 5 \).
- Burada \( x \) gidilen kilometre mesafesini, \( y \) ise ödenecek toplam ücreti temsil etsin.
- Doğru denklemi \( y = mx + c \) formunda olacaktır.
- Değerleri yerine koyduğumuzda, ücret denklemi \( y = 5x + 10 \) olur. 💰
- Örneğin, 10 kilometre yol gidildiğinde ödenecek ücret \( y = 5(10) + 10 = 50 + 10 = 60 \) TL olur.
Örnek 8:
\( y = -x + 4 \) doğrusu ile \( y = 2x - 5 \) doğrusunun kesişim noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Öncelikle iki doğrunun kesişim noktasını bulalım.
- Denklemleri eşitleyelim: \( -x + 4 = 2x - 5 \).
- \( x \) terimlerini bir araya getirelim: \( 4 + 5 = 2x + x \implies 9 = 3x \).
- \( x = 3 \) bulunur.
- \( x = 3 \) değerini denklemlerden birine (örneğin ilkine) yerine koyarak \( y \) değerini bulalım: \( y = -3 + 4 = 1 \).
- Kesişim noktası \( (3, 1) \) olur.
- Bu noktanın x eksenine uzaklığı \( |y| = |1| = 1 \) birimdir.
- Bu noktanın y eksenine uzaklığı \( |x| = |3| = 3 \) birimdir.
- Uzaklıklar toplamı \( 1 + 3 = 4 \) birimdir. ➕
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dogru-denklemleri/sorular