🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenarın uzunluğu 10 birim ve bu kenara komşu olan dik kenarlardan birinin uzunluğu 6 birimdir. Bu kenarlar arasındaki açının kosinüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için kosinüs tanımını hatırlamalıyız. Bir dik üçgende bir açının kosinüsü, o açının komşu dik kenarının hipotenüse oranına eşittir.
- Verilenler: Hipotenüs = 10 birim, Komşu dik kenar = 6 birim.
- İstenen: Açının kosinüsü (\( \cos \)).
- Formül: \( \cos(\theta) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
- Hesaplama: \( \cos(\theta) = \frac{6}{10} \)
- Sadeleştirme: \( \cos(\theta) = \frac{3}{5} \)
Örnek 2:
Dik kenarları 5 birim ve 12 birim olan bir dik üçgenin en uzun kenarının (hipotenüs) uzunluğu kaç birimdir? Bu üçgenin, kısa dik kenarına ait olan keskin açısının tanjantını bulunuz. 📏
Çözüm:
Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulalım. Ardından tanjant tanımını uygulayalım.
- Adım 1: Hipotenüs Hesaplama
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilenler: \( a = 5 \), \( b = 12 \).
- Hesaplama: \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 25 + 144 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{169} = 13 \) birim.
- Adım 2: Tanjant Hesaplama
- Tanjant tanımı: Bir dik üçgende bir açının tanjantı, o açının karşısındaki dik kenarın komşu dik kenarına oranına eşittir.
- Kısa dik kenara ait keskin açı için: Karşı dik kenar = 5 birim, Komşu dik kenar = 12 birim.
- Formül: \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- Hesaplama: \( \tan(\alpha) = \frac{5}{12} \)
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \), \( |AC| = 8 \) cm ve \( |BC| = 6 \) cm'dir. \( \angle A \) açısının sinüsünü ve kotanjantını bulunuz. 📝
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle hipotenüs uzunluğunu bulmamız ve ardından sinüs ile kotanjant formüllerini uygulamamız gerekmektedir.
- Adım 1: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
- Pisagor Teoremi: \( |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 \)
- \( 8^2 + 6^2 = |AB|^2 \)
- \( 64 + 36 = |AB|^2 \)
- \( 100 = |AB|^2 \)
- \( |AB| = \sqrt{100} = 10 \) cm.
- Adım 2: \( \angle A \) Açısının Sinüsünü Bulma
- Sinüs tanımı: \( \sin(\theta) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
- \( \angle A \) için karşı dik kenar \( |BC| = 6 \) cm ve hipotenüs \( |AB| = 10 \) cm'dir.
- \( \sin(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
- Adım 3: \( \angle A \) Açısının Kotanjantını Bulma
- Kotanjant tanımı: \( \cot(\theta) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} \)
- \( \angle A \) için komşu dik kenar \( |AC| = 8 \) cm ve karşı dik kenar \( |BC| = 6 \) cm'dir.
- \( \cot(A) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
Örnek 4:
Bir dik üçgende, bir keskin açının tanjantı \( \frac{7}{24} \) olarak verilmiştir. Bu açının sinüsünü ve kosinüsünü bulunuz. 🧐
Çözüm:
Tanjant değeri verildiğinde, bir dik üçgen çizerek veya Pisagor teoremini kullanarak diğer trigonometrik oranları bulabiliriz.
- Adım 1: Dik Üçgen Çizimi ve Kenar Uzunlukları
- Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenarına oranıdır.
- Bu açının karşısındaki dik kenara 7 birim ve komşu dik kenarına 24 birim diyelim.
- Bir dik üçgen çizerek bu değerleri yerleştirelim.
- Adım 2: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
- Pisagor Teoremi: \( 7^2 + 24^2 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 49 + 576 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 625 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( \text{hipotenüs} = \sqrt{625} = 25 \) birim.
- Adım 3: Sinüs ve Kosinüs Hesaplama
- Sinüs: \( \sin(\theta) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{7}{25} \)
- Kosinüs: \( \cos(\theta) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{24}{25} \)
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, 12 metre yüksekliğindeki bir duvarın üzerine yerleştirilecek bir direğin eğimini hesaplamak istiyor. Direğin tabanının duvardan 5 metre uzakta olması planlanıyor. Direğin eğim açısının tanjantı kaç olur? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, duvar, yer ve direk bir dik üçgen oluşturur. Eğim açısı, direğin yüksekliğinin duvara olan yatay uzaklığına oranı ile ilgilidir.
- Adım 1: Dik Üçgeni Tanımlama
- Dik üçgenin dikey kenarı (duvarın yüksekliği) = 12 metre.
- Dik üçgenin yatay kenarı (duvardan uzaklık) = 5 metre.
- Eğim açısı, bu dik üçgenin yatay kenarına göre olan açısıdır.
- Adım 2: Tanjant Değerini Hesaplama
- Tanjant tanımı: \( \tan(\theta) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- Burada, eğim açısının karşısındaki dik kenar direğin yüksekliği (12 m), komşu dik kenarı ise duvara olan yatay uzaklıktır (5 m).
- \( \tan(\text{eğim açısı}) = \frac{12}{5} \)
Örnek 6:
Bir yamaç paraşütü pilotu, 300 metre yükseklikten havalanıyor. Yamaç paraşütü, yatayda 400 metre ilerlediğinde, pilotun alçalma açısının tanjantı kaç olur? 🪂
Çözüm:
Bu senaryoda, pilotun alçalması bir dik üçgen oluşturur. Alçalma açısı, dikey mesafenin yatay mesafeye oranı ile ilgilidir.
- Adım 1: Dik Üçgeni Görselleştirme
- Dik üçgenin dikey kenarı (yükseklik farkı) = 300 metre.
- Dik üçgenin yatay kenarı (yatayda ilerleme mesafesi) = 400 metre.
- Alçalma açısı, bu dik üçgenin yataydaki ilerlemesine göre olan açısıdır.
- Adım 2: Tanjant Değerini Hesaplama
- Tanjant tanımı: \( \tan(\theta) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- Burada, alçalma açısının karşısındaki dik kenar yükseklik farkı (300 m), komşu dik kenarı ise yatayda ilerleme mesafesidir (400 m).
- \( \tan(\text{alçalma açısı}) = \frac{300}{400} \)
- Sadeleştirme: \( \tan(\text{alçalma açısı}) = \frac{3}{4} \)
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \), \( \sin(A) = \frac{5}{13} \) olarak verilmiştir. Buna göre, \( \tan(B) \) değerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
\( \sin(A) \) değeri verildiğinde, öncelikle \( A \) açısının komşu dik kenarını ve hipotenüsünü belirleyip, ardından \( B \) açısı için gerekli oranları hesaplayabiliriz.
- Adım 1: \( A \) Açısının Kenarlarını Bulma
- \( \sin(A) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \)
- Bu durumda, \( A \) açısının karşısındaki dik kenara 5 birim ve hipotenüse 13 birim diyebiliriz.
- Pisagor teoremi ile komşu dik kenarı bulalım: \( (\text{komşu dik kenar})^2 + 5^2 = 13^2 \)
- \( (\text{komşu dik kenar})^2 + 25 = 169 \)
- \( (\text{komşu dik kenar})^2 = 144 \)
- \( \text{komşu dik kenar} = \sqrt{144} = 12 \) birim.
- Adım 2: \( B \) Açısının Kenarlarını Belirleme
- ABC dik üçgeninde, \( \angle A + \angle B = 90^\circ \) olduğundan, \( A \) açısının komşu dik kenarı, \( B \) açısının karşı dik kenarı olur.
- Yani, \( B \) açısının karşı dik kenarı 12 birimdir.
- Hipotenüs her iki açı için de aynıdır: 13 birim.
- Adım 3: \( \tan(B) \) Değerini Hesaplama
- Tanjant tanımı: \( \tan(B) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- \( B \) açısının karşı dik kenarı 12 birimdir.
- \( B \) açısının komşu dik kenarı ise \( A \) açısının karşı dik kenarı olan 5 birimdir.
- \( \tan(B) = \frac{12}{5} \)
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \). \( \tan(A) = \frac{3}{4} \) olduğuna göre, \( \sin(A) + \cos(A) \) toplamının değerini bulunuz. ➕
Çözüm:
\( \tan(A) \) değeri verildiğinde, bir dik üçgen çizerek veya Pisagor teoremini kullanarak \( \sin(A) \) ve \( \cos(A) \) değerlerini bulup toplayabiliriz.
- Adım 1: Dik Üçgen Çizimi ve Kenar Uzunlukları
- \( \tan(A) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{3}{4} \)
- \( A \) açısının karşısındaki dik kenara 3 birim, komşu dik kenarına ise 4 birim diyelim.
- Adım 2: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
- Pisagor Teoremi: \( 3^2 + 4^2 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 9 + 16 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( 25 = \text{hipotenüs}^2 \)
- \( \text{hipotenüs} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- Adım 3: \( \sin(A) \) ve \( \cos(A) \) Değerlerini Hesaplama
- \( \sin(A) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3}{5} \)
- \( \cos(A) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{4}{5} \)
- Adım 4: Toplamı Hesaplama
- \( \sin(A) + \cos(A) = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{3+4}{5} = \frac{7}{5} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dik-ucgende-trigonometrik-oranlar/sorular