💡 11. Sınıf Matematik: Dik dairesel silindirin alanı Çözümlü Örnekler

Dik dairesel silindirin yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

• Formül: Yanal Alan = \( 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)
• Burada \( r \) yarıçap ve \( h \) yüksekliktir.
• Verilenler: \( r = 5 \) cm, \( h = 10 \) cm
• Yanal Alan = \( 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 10 \)
• Yanal Alan = \( 100\pi \) cm²

Sonuç olarak, silindirin yanal alanı \( 100\pi \) cm²'dir. ✅

Dik dairesel silindirin taban alanı, dairenin alan formülü ile hesaplanır.

• Formül: Taban Alanı = \( \pi \cdot r^2 \)
• Burada \( r \) taban yarıçapıdır.
• Verilenler: \( r = 3 \) metre
• Taban Alanı = \( \pi \cdot (3)^2 \)
• Taban Alanı = \( 9\pi \) m²

Silindirin bir tabanının alanı \( 9\pi \) m²'dir. 💡

Dik dairesel silindirin toplam alanı, yanal alan ile iki taban alanının toplamına eşittir.

• Formül: Toplam Alan = Yanal Alan + 2 \cdot Taban Alanı
• Yanal Alan: \( 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi \) cm²
• Taban Alanı: \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (4)^2 = 16\pi \) cm²
• Toplam Alan: \( 96\pi + 2 \cdot (16\pi) = 96\pi + 32\pi = 128\pi \) cm²

Silindirin toplam yüzey alanı \( 128\pi \) cm² olarak bulunur. 👍

Konserve kutusunun etiketinin kapladığı alan, silindirin yanal alanına karşılık gelir.

• Önce yarıçapı bulalım: Çap = 10 cm ise, Yarıçap \( r = \frac{10}{2} = 5 \) cm'dir.
• Yükseklik \( h = 15 \) cm'dir.
• Yanal Alan Formülü: \( 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)
• Yanal Alan = \( 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 15 \)
• Yanal Alan = \( 150\pi \) cm²

Konserve kutusunun etiketinin kapladığı alan \( 150\pi \) cm²'dir. 💯

Toplam yüzey alanı formülünü kullanarak yüksekliği hesaplayabiliriz.

• Toplam Alan Formülü: \( 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)
• Verilenler: Toplam Alan = \( 200\pi \) cm², \( r = 5 \) cm
• Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( 200\pi = 2 \cdot \pi \cdot (5)^2 + 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot h \)
• \( 200\pi = 2 \cdot \pi \cdot 25 + 10\pi \cdot h \)
• \( 200\pi = 50\pi + 10\pi \cdot h \)
• Her iki taraftan \( 50\pi \) çıkaralım: \( 150\pi = 10\pi \cdot h \)
• Her iki tarafı \( 10\pi \)'ye bölelim: \( h = \frac{150\pi}{10\pi} = 15 \) cm

Silindirin yüksekliği 15 cm'dir. ✨

Önce taban çevresi formülünden yarıçapı bulalım, sonra yanal alan formülünden yüksekliği hesaplayalım ve son olarak taban alanını bulalım.

• Taban Çevresi Formülü: \( 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Verilenler: Taban Çevresi = 24 cm
• \( 2 \cdot \pi \cdot r = 24 \)
• Yarıçap \( r = \frac{24}{2\pi} = \frac{12}{\pi} \) cm
• Yanal Alan Formülü: \( 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)
• Verilenler: Yanal Alan = \( 120\pi \) cm²
• \( 120\pi = (2 \cdot \pi \cdot r) \cdot h \)
• \( 120\pi = 24 \cdot h \)
• Yükseklik \( h = \frac{120\pi}{24} = 5\pi \) cm
• Taban Alanı Formülü: \( \pi \cdot r^2 \)
• Taban Alanı = \( \pi \cdot \left(\frac{12}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{144}{\pi^2} = \frac{144}{\pi} \) cm²

Silindirin yüksekliği \( 5\pi \) cm ve taban alanı \( \frac{144}{\pi} \) cm²'dir. 💡

Bu soruda, çay bardağının iç yüzey alanını hesaplamamız isteniyor. Bu, silindirin taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir (ağız kısmı açık olduğu için üst taban alanı dahil edilmez).

• Verilenler: Yarıçap \( r = 3 \) cm, Yükseklik \( h = 8 \) cm
• Taban Alanı: \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (3)^2 = 9\pi \) cm²
• Yanal Alan: \( 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \) cm²
• İç Yüzey Alanı: Taban Alanı + Yanal Alan
• İç Yüzey Alanı = \( 9\pi + 48\pi = 57\pi \) cm²

Çay bardağının iç yüzey alanı \( 57\pi \) cm²'dir. Bu, bardağın içine konulabilecek çayın temas edeceği yüzey alanıdır. 🍵

Rulonun açıldığında oluşan dikdörtgenin alanı, silindirin yanal alanına eşittir.

• Dikdörtgenin alanı = Genişlik \(\times\) Uzunluk
• Silindirde, dikdörtgenin uzunluğu taban çevresine, genişliği ise yüksekliğe eşittir.
• Yani, Yanal Alan = Taban Çevresi \(\times\) Yükseklik
• Verilenler: Yanal Alan = \( 2000\pi \) cm², Yükseklik \( h = 100 \) cm
• \( 2000\pi = (2 \cdot \pi \cdot r) \cdot 100 \)
• \( 2000\pi = 200\pi \cdot r \)
• Her iki tarafı \( 200\pi \)'ye bölelim: \( r = \frac{2000\pi}{200\pi} = 10 \) cm

Bu durumda rulonun taban yarıçapı 10 cm'dir. 💡