🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dik Dairesel Silindir Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Dik Dairesel Silindir Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 10 cm olan dik dairesel silindirin hacmini hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Dik dairesel silindirin hacmi \( V = \pi r^2 h \) formülü ile hesaplanır.
- Verilenler: Taban yarıçapı \( r = 3 \) cm, yükseklik \( h = 10 \) cm.
- Formülü uygulayalım: \( V = \pi \times (3 \text{ cm})^2 \times 10 \text{ cm} \)
- Hesaplama: \( V = \pi \times 9 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} = 90\pi \text{ cm}^3 \)
Örnek 2:
Taban alanı \( 25\pi \) cm² olan bir dik dairesel silindirin taban yarıçapı kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Dik dairesel silindirin taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) formülü ile bulunur.
- Verilenler: Taban alanı \( A_{taban} = 25\pi \) cm².
- Formülü kullanalım: \( 25\pi \text{ cm}^2 = \pi r^2 \)
- \( \pi \) 'ları sadeleştirelim: \( 25 \text{ cm}^2 = r^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( r = \sqrt{25 \text{ cm}^2} = 5 \text{ cm} \)
Örnek 3:
Yanal yüzey alanı \( 120\pi \) cm² ve taban yarıçapı 6 cm olan dik dairesel silindirin yüksekliğini bulunuz. 📏
Çözüm:
Dik dairesel silindirin yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 2\pi rh \) formülü ile hesaplanır.
- Verilenler: Yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 120\pi \) cm², taban yarıçapı \( r = 6 \) cm.
- Formülü uygulayalım: \( 120\pi \text{ cm}^2 = 2\pi \times 6 \text{ cm} \times h \)
- Denklemi \( h \) için çözelim: \( 120\pi \text{ cm}^2 = 12\pi \text{ cm} \times h \)
- \( h = \frac{120\pi \text{ cm}^2}{12\pi \text{ cm}} = 10 \text{ cm} \)
Örnek 4:
Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm olan dik dairesel silindirin taban alanları toplamını ve yanal yüzey alanını hesaplayarak toplam yüzey alanını bulunuz. 🧮
Çözüm:
Dik dairesel silindirin taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) ve yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 2\pi rh \) formülleri kullanılır. Toplam yüzey alanı ise \( A_{toplam} = 2A_{taban} + A_{yanal} \) olur.
- Verilenler: Taban yarıçapı \( r = 4 \) cm, yükseklik \( h = 8 \) cm.
- Taban alanları toplamı: \( 2 \times \pi \times (4 \text{ cm})^2 = 2 \times \pi \times 16 \text{ cm}^2 = 32\pi \text{ cm}^2 \)
- Yanal yüzey alanı: \( 2 \times \pi \times 4 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 64\pi \text{ cm}^2 \)
- Toplam yüzey alanı: \( 32\pi \text{ cm}^2 + 64\pi \text{ cm}^2 = 96\pi \text{ cm}^2 \)
Örnek 5:
Bir konserve kutusunun (dik dairesel silindir şeklinde) taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm'dir. Bu konserve kutusunun etrafına bir etiket yapıştırılacaktır. Etiketin alanı, konserve kutusunun hangi yüzey alanına eşittir? Bu etiketin alanı kaç cm²'dir? 🏷️
Çözüm:
Konserve kutusunun etrafına yapıştırılan etiket, silindirin yanal yüzeyini kaplar.
- Verilenler: Taban yarıçapı \( r = 5 \) cm, yükseklik \( h = 12 \) cm.
- Etiketin alanı, silindirin yanal yüzey alanına eşittir: \( A_{etiket} = A_{yanal} = 2\pi rh \)
- Hesaplama: \( A_{etiket} = 2 \times \pi \times 5 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} \)
- \( A_{etiket} = 120\pi \text{ cm}^2 \)
Örnek 6:
Bir su borusunun kesiti daire şeklindedir. Borunun iç yarıçapı 10 cm ve borunun uzunluğu (yüksekliği) 5 metredir. Bu borunun içini tamamen dolduracak suyun hacmini hesaplayınız. (Not: Metreyi santimetreye çeviriniz.) 💧
Çözüm:
Bu problemde su borusunu bir dik dairesel silindir olarak düşüneceğiz ve hacmini hesaplayacağız.
- Verilenler: İç yarıçap \( r = 10 \) cm, uzunluk \( h = 5 \) metre.
- Uzunluğu santimetreye çevirelim: \( h = 5 \text{ m} \times 100 \text{ cm/m} = 500 \text{ cm} \)
- Silindirin hacmi formülü: \( V = \pi r^2 h \)
- Hesaplama: \( V = \pi \times (10 \text{ cm})^2 \times 500 \text{ cm} \)
- \( V = \pi \times 100 \text{ cm}^2 \times 500 \text{ cm} = 50000\pi \text{ cm}^3 \)
Örnek 7:
Taban yarıçapı \( r \) ve yüksekliği \( h \) olan bir dik dairesel silindirin hacmi \( V \) ve yanal yüzey alanı \( A_{yanal} \) olarak verilmiştir. Eğer \( V = 3 \times A_{yanal} \) ilişkisi varsa, \( r \) ve \( h \) arasındaki ilişkiyi bulunuz. 🔗
Çözüm:
Silindirin hacmi \( V = \pi r^2 h \) ve yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 2\pi rh \) formülleri kullanılır.
- Verilen ilişki: \( V = 3 \times A_{yanal} \)
- Formülleri yerine koyalım: \( \pi r^2 h = 3 \times (2\pi rh) \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( \pi r^2 h = 6\pi rh \)
- Her iki tarafı \( \pi r h \) ile bölelim (Burada \( r \neq 0 \) ve \( h \neq 0 \) varsayıyoruz): \( \frac{\pi r^2 h}{\pi r h} = \frac{6\pi rh}{\pi r h} \)
- Bu sadeleştirme sonucunda \( r = 6 \) elde edilir.
Örnek 8:
Bir dik dairesel silindirin taban çevresi 12 cm'dir. Bu silindirin yanal yüzey alanı ise 72 cm²'dir. Silindirin hacmini hesaplayınız. 🚀
Çözüm:
Öncelikle taban yarıçapını ve yüksekliğini bulmamız gerekiyor.
- Verilenler: Taban çevresi \( Ç = 12 \) cm, yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 72 \) cm².
- Taban çevresi formülü: \( Ç = 2\pi r \). Buradan \( 12 \text{ cm} = 2\pi r \) olur.
- Yanal yüzey alanı formülü: \( A_{yanal} = 2\pi rh \).
- Yanal yüzey alanında \( 2\pi r \) yerine taban çevresini yazabiliriz: \( 72 \text{ cm}^2 = (12 \text{ cm}) \times h \)
- Yüksekliği bulalım: \( h = \frac{72 \text{ cm}^2}{12 \text{ cm}} = 6 \text{ cm} \)
- Şimdi taban yarıçapını bulalım: \( 12 \text{ cm} = 2\pi r \implies r = \frac{12 \text{ cm}}{2\pi} = \frac{6}{\pi} \text{ cm} \)
- Hacim formülü: \( V = \pi r^2 h \)
- Hesaplama: \( V = \pi \times \left(\frac{6}{\pi} \text{ cm}\right)^2 \times 6 \text{ cm} \)
- \( V = \pi \times \frac{36}{\pi^2} \text{ cm}^2 \times 6 \text{ cm} = \frac{36 \times 6}{\pi} \text{ cm}^3 = \frac{216}{\pi} \text{ cm}^3 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dik-dairesel-silindir/sorular