🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dik Dairesel Koni Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Dik Dairesel Koni Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 8 cm olan bir dik dairesel koninin ana doğrusunu (eğik yüksekliğini) bulunuz. 💡
Çözüm:
- Dik dairesel konide yarıçap (r), yükseklik (h) ve ana doğru (l) arasında Pisagor teoremi geçerlidir: \( r^2 + h^2 = l^2 \).
- Verilenler: \( r = 6 \) cm, \( h = 8 \) cm.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = l^2 \)
- Hesaplama: \( 36 + 64 = l^2 \)
- \( 100 = l^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( l = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( l = 10 \) cm.
Örnek 2:
Taban yarıçapı 5 birim ve ana doğrusu 13 birim olan bir dik dairesel koninin yüksekliğini bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Koninin yarıçapı (r), yüksekliği (h) ve ana doğrusu (l) arasındaki ilişki Pisagor teoreminden gelir: \( r^2 + h^2 = l^2 \).
- Verilenler: \( r = 5 \) birim, \( l = 13 \) birim.
- Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + h^2 = 13^2 \)
- Hesaplama: \( 25 + h^2 = 169 \)
- \( h^2 = 169 - 25 \)
- \( h^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( h = 12 \) birim.
Örnek 3:
Taban yarıçapı 3 cm olan bir dik dairesel koninin taban alanı \( 9\pi \) cm²'dir. Bu koninin hacmini hesaplayınız. 📐
Çözüm:
- Koninin taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) formülü ile hesaplanır.
- Verilen taban alanı \( 9\pi \) cm²'dir. Bu bilgiyi kullanarak yarıçapı bulabiliriz: \( \pi r^2 = 9\pi \).
- Her iki tarafı \( \pi \)'ye bölersek: \( r^2 = 9 \).
- Yarıçap: \( r = \sqrt{9} = 3 \) cm. (Bu bilgi soruda zaten verilmişti, kontrol amaçlıdır.)
- Koninin hacmi \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \) formülü ile hesaplanır.
- Bu koninin yüksekliği verilmemiş. Soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Yüksekliği (h) bilmeden hacmi hesaplayamayız. Eğer yükseklik 4 cm olsaydı, hacim \( V = \frac{1}{3} \pi (3^2)(4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12\pi \) cm³ olurdu. ⚠️
- Düzeltme: Soruda yükseklik bilgisi eksik. Eğer soruda "yüksekliği 4 cm olan" şeklinde bir ekleme olsaydı, çözüm yukarıdaki gibi olurdu. Yükseklik olmadan hacim hesaplanamaz.
Örnek 4:
Yüksekliği 12 cm ve taban yarıçapı 5 cm olan bir dik dairesel koninin yanal yüzey alanını hesaplayınız. 📏
Çözüm:
- Yanal yüzey alanı hesaplamak için öncelikle koninin ana doğrusunu (l) bulmamız gerekir.
- Pisagor teoremi: \( r^2 + h^2 = l^2 \).
- Verilenler: \( r = 5 \) cm, \( h = 12 \) cm.
- Ana doğruyu bulalım: \( 5^2 + 12^2 = l^2 \)
- \( 25 + 144 = l^2 \)
- \( 169 = l^2 \)
- \( l = \sqrt{169} = 13 \) cm.
- Koninin yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = \pi r l \) formülü ile hesaplanır.
- Değerleri yerine koyalım: \( A_{yanal} = \pi \times 5 \times 13 \)
- Sonuç: \( A_{yanal} = 65\pi \) cm².
Örnek 5:
Bir dondurma külahı, üst kısmı açık, dik dairesel koni şeklindedir. Külahın derinliği (yüksekliği) 15 cm ve ağız kısmının yarıçapı 4 cm'dir. Bu külahın tamamı kaç cm³ dondurma ile dolabilir? (Koninin hacmini hesaplayınız.) 🍦
Çözüm:
- Bu problemde dondurma külahının hacmini hesaplamamız isteniyor. Külahın şekli dik dairesel koni olduğundan, koni hacim formülünü kullanacağız.
- Koninin hacim formülü: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
- Verilenler: Yükseklik \( h = 15 \) cm, Yarıçap \( r = 4 \) cm.
- Formülde değerleri yerine koyalım: \( V = \frac{1}{3} \pi (4^2) (15) \)
- Hesaplama: \( V = \frac{1}{3} \pi (16) (15) \)
- \( V = \pi (16) (\frac{15}{3}) \)
- \( V = \pi (16) (5) \)
- Sonuç: \( V = 80\pi \) cm³.
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, beton dökmek için silindirik bir kalıp yerine koni şeklinde bir kalıp kullanmayı düşünüyor. Kalıbın taban yarıçapı 2 metre ve yüksekliği 3 metre olacak. Bu koni şeklindeki kalıbın kaç metreküp beton alabileceğini hesaplayınız. 🏗️
Çözüm:
- Bu senaryoda, koni şeklindeki kalıbın hacmini hesaplamamız gerekiyor.
- Koninin hacim formülü: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
- Verilenler: Taban yarıçapı \( r = 2 \) metre, Yükseklik \( h = 3 \) metre.
- Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( V = \frac{1}{3} \pi (2^2) (3) \)
- Hesaplama: \( V = \frac{1}{3} \pi (4) (3) \)
- \( V = \pi (4) (\frac{3}{3}) \)
- \( V = \pi (4) (1) \)
- Sonuç: \( V = 4\pi \) metreküp.
Örnek 7:
Taban alanı \( 16\pi \) cm² olan bir dik dairesel koninin yanal yüzey alanı \( 20\pi \) cm²'dir. Bu koninin hacmini hesaplayınız. 🧮
Çözüm:
- Öncelikle taban alanından yarıçapı bulalım: \( A_{taban} = \pi r^2 \).
- \( 16\pi = \pi r^2 \)
- \( r^2 = 16 \)
- \( r = 4 \) cm.
- Şimdi yanal yüzey alanı formülünü kullanalım: \( A_{yanal} = \pi r l \).
- \( 20\pi = \pi (4) l \)
- \( 20\pi = 4\pi l \)
- Her iki tarafı \( 4\pi \)'ye bölelim: \( l = \frac{20\pi}{4\pi} = 5 \) cm.
- Koninin ana doğrusunu (l) bulduk. Şimdi yüksekliğini (h) bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz: \( r^2 + h^2 = l^2 \).
- \( 4^2 + h^2 = 5^2 \)
- \( 16 + h^2 = 25 \)
- \( h^2 = 25 - 16 \)
- \( h^2 = 9 \)
- \( h = 3 \) cm.
- Son olarak, koninin hacmini hesaplayalım: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
- \( V = \frac{1}{3} \pi (4^2) (3) \)
- \( V = \frac{1}{3} \pi (16) (3) \)
- \( V = 16\pi \) cm³.
Örnek 8:
Bir matematik öğretmeni, öğrencilerine konilerin hacim ve yüzey alanı formüllerini öğretirken, bir koninin taban yarıçapı \( r \), yüksekliği \( h \) ve ana doğrusu \( l \) arasındaki ilişkiyi vurgulamak için bir etkinlik tasarlıyor. Etkinlikte, yarıçapı 3 birim ve yüksekliği 4 birim olan bir dik dairesel koninin tüm yüzey alanını hesaplamaları gerekiyor. Öğrencilerin bu hesabı yaparken hangi adımları izlemesi gerektiğini açıklayınız. 📝
Çözüm:
- Öğrencilerin, koninin tüm yüzey alanını hesaplamak için öncelikle ana doğrusunu bulmaları gerekir.
- Adım 1: Ana Doğruyu (l) Hesaplama
- Dik dairesel konilerde \( r^2 + h^2 = l^2 \) ilişkisi geçerlidir.
- Verilenler: \( r = 3 \) birim, \( h = 4 \) birim.
- \( 3^2 + 4^2 = l^2 \)
- \( 9 + 16 = l^2 \)
- \( 25 = l^2 \)
- \( l = 5 \) birim.
- Adım 2: Taban Alanını (A_taban) Hesaplama
- Taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) formülü ile bulunur.
- \( A_{taban} = \pi (3^2) = 9\pi \) birim kare.
- Adım 3: Yanal Alanı (A_yanal) Hesaplama
- Yanal alan \( A_{yanal} = \pi r l \) formülü ile bulunur.
- \( A_{yanal} = \pi (3) (5) = 15\pi \) birim kare.
- Adım 4: Tüm Yüzey Alanını (A_toplam) Hesaplama
- Tüm yüzey alanı, taban alanı ile yanal alanın toplamıdır: \( A_{toplam} = A_{taban} + A_{yanal} \).
- \( A_{toplam} = 9\pi + 15\pi = 24\pi \) birim kare.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dik-dairesel-koni/sorular