🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Denklemler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Denklemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz: \[ \begin{cases} y = x+1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \]
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz: \[ \begin{cases} y = x+1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodunu kullanabiliriz.💡
- 👉 Birinci denklemde \( y \) zaten \( x \) cinsinden verilmiş: \( y = x+1 \).
- 👉 Bu ifadeyi ikinci denklemde \( y \) yerine yazalım: \[ x^2 + (x+1)^2 = 5 \]
- 👉 Parantezi açalım ve denklemi düzenleyelim: \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 5 \] \[ 2x^2 + 2x + 1 = 5 \] \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]
- 👉 Denklemi 2 ile sadeleştirelim: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
- 👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \[ (x+2)(x-1) = 0 \]
- 👉 Buradan iki farklı \( x \) değeri buluruz:
- \( x_1 = -2 \)
- \( x_2 = 1 \)
- 👉 Şimdi bu \( x \) değerlerini \( y = x+1 \) denkleminde yerine koyarak karşılık gelen \( y \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( x_1 = -2 \) ise, \( y_1 = -2 + 1 = -1 \). Yani bir çözüm \((-2, -1)\).
- Eğer \( x_2 = 1 \) ise, \( y_2 = 1 + 1 = 2 \). Yani diğer çözüm \((1, 2)\).
- ✅ Çözüm kümesi: \( \{(-2, -1), (1, 2)\} \).
Örnek 2:
📌 Yüksek Dereceli Denklem (Değişken Değiştirme)
\( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \) denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
\( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \) denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu denklemi çözmek için değişken değiştirme yöntemini kullanabiliriz.💡
- 👉 \( x^2 = t \) diyelim. Bu durumda \( x^4 = (x^2)^2 = t^2 \) olur.
- 👉 Denklemi \( t \) cinsinden yeniden yazalım: \[ t^2 - 13t + 36 = 0 \]
- 👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 36, toplamları -13 olan iki sayı -4 ve -9'dur: \[ (t-4)(t-9) = 0 \]
- 👉 Buradan iki farklı \( t \) değeri buluruz:
- \( t_1 = 4 \)
- \( t_2 = 9 \)
- 👉 Şimdi \( t \) değerlerini yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım. Unutmayalım ki \( x^2 = t \) idi.
- Eğer \( t_1 = 4 \) ise, \( x^2 = 4 \). Buradan \( x = \pm 2 \) (yani \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = -2 \)).
- Eğer \( t_2 = 9 \) ise, \( x^2 = 9 \). Buradan \( x = \pm 3 \) (yani \( x_3 = 3 \) ve \( x_4 = -3 \)).
- ✅ Denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi: \( \{-3, -2, 2, 3\} \).
Örnek 3:
📌 Köklü Denklem
\( \sqrt{x+7} = x-5 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\( \sqrt{x+7} = x-5 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Köklü denklemleri çözerken, her iki tarafın karesini almalı ve bulduğumuz kökleri denklemde yerine koyarak kontrol etmeliyiz. Unutmayın, kare alma işlemi sahte kökler üretebilir! ⚠️
- 👉 Denklemin her iki tarafının karesini alalım: \[ (\sqrt{x+7})^2 = (x-5)^2 \] \[ x+7 = x^2 - 10x + 25 \]
- 👉 Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \[ 0 = x^2 - 10x - x + 25 - 7 \] \[ x^2 - 11x + 18 = 0 \]
- 👉 Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 18, toplamları -11 olan iki sayı -2 ve -9'dur: \[ (x-2)(x-9) = 0 \]
- 👉 Buradan iki olası \( x \) değeri buluruz:
- \( x_1 = 2 \)
- \( x_2 = 9 \)
- 👉 Şimdi bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edelim:
- \( x=2 \) için kontrol: \[ \sqrt{2+7} = 2-5 \] \[ \sqrt{9} = -3 \] \[ 3 = -3 \] Bu ifade yanlıştır. Yani \( x=2 \) bir çözüm değildir. ❌
- \( x=9 \) için kontrol: \[ \sqrt{9+7} = 9-5 \] \[ \sqrt{16} = 4 \] \[ 4 = 4 \] Bu ifade doğrudur. Yani \( x=9 \) bir çözümdür. ✅
- ✅ Denklemin çözüm kümesi: \( \{9\} \).
Örnek 4:
📌 Mutlak Değerli Denklem
\( |x^2 - 9| = 7 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\( |x^2 - 9| = 7 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değerli denklemleri çözerken, mutlak değerin tanımını kullanırız. 💡 \( |A|=k \) ise \( A=k \) veya \( A=-k \) olmalıdır.
- 👉 Buna göre, iki farklı durum incelememiz gerekir:
- Durum 1: \( x^2 - 9 = 7 \)
- Durum 2: \( x^2 - 9 = -7 \)
- 👉 Durum 1'i çözelim: \[ x^2 - 9 = 7 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = \pm 4 \] Buradan \( x_1 = 4 \) ve \( x_2 = -4 \) değerlerini elde ederiz.
- 👉 Durum 2'yi çözelim: \[ x^2 - 9 = -7 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \] Buradan \( x_3 = \sqrt{2} \) ve \( x_4 = -\sqrt{2} \) değerlerini elde ederiz.
- ✅ Denklemin çözüm kümesi: \( \{-4, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 4\} \).
Örnek 5:
📌 Üstel Denklem (Değişken Değiştirme)
\( 4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\( 4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür üstel denklemleri çözerken, ifadeleri aynı tabanda yazmaya ve değişken değiştirme kullanmaya çalışırız.💡
- 👉 \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 \( 2^x = t \) diyelim. Bu durumda denklemimiz \( t \) cinsinden şu hale gelir: \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \]
- 👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 2, toplamları -3 olan iki sayı -1 ve -2'dir: \[ (t-1)(t-2) = 0 \]
- 👉 Buradan iki farklı \( t \) değeri buluruz:
- \( t_1 = 1 \)
- \( t_2 = 2 \)
- 👉 Şimdi \( t \) değerlerini yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım. Unutmayalım ki \( 2^x = t \) idi.
- Eğer \( t_1 = 1 \) ise, \( 2^x = 1 \). \( 1 = 2^0 \) olduğundan, \( 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0 \).
- Eğer \( t_2 = 2 \) ise, \( 2^x = 2 \). \( 2 = 2^1 \) olduğundan, \( 2^x = 2^1 \implies x_2 = 1 \).
- ✅ Denklemin çözüm kümesi: \( \{0, 1\} \).
Örnek 6:
📌 Logaritmik Denklem
\( \log_3(x+2) + \log_3(x-4) = 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\( \log_3(x+2) + \log_3(x-4) = 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Logaritmik denklemleri çözerken logaritma özelliklerini kullanırız ve bulduğumuz köklerin logaritmanın tanım kümesine uygun olup olmadığını kontrol ederiz. 💡
- 👉 Logaritma tanımına göre, \( x+2 > 0 \implies x > -2 \) ve \( x-4 > 0 \implies x > 4 \) olmalıdır. Yani çözüm kümesindeki \( x \) değerleri \( x > 4 \) şartını sağlamalıdır.
- 👉 Logaritma özelliğini (\( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \)) kullanarak denklemi birleştirelim: \[ \log_3((x+2)(x-4)) = 2 \]
- 👉 Logaritmanın tanımını kullanarak denklemi üslü ifadeye çevirelim: \( \log_a b = c \iff a^c = b \) \[ (x+2)(x-4) = 3^2 \] \[ x^2 - 4x + 2x - 8 = 9 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 9 \] \[ x^2 - 2x - 17 = 0 \]
- 👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak zor olduğundan, diskriminant (\( \Delta \)) kullanarak kökleri bulalım. \( \Delta = b^2 - 4ac \) ve \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). Burada \( a=1, b=-2, c=-17 \). \[ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-17) = 4 + 68 = 72 \]
- 👉 Kökleri bulalım: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{72}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{36 \cdot 2}}{2} = \frac{2 \pm 6\sqrt{2}}{2} \]
- 👉 Buradan iki olası \( x \) değeri buluruz:
- \( x_1 = \frac{2 + 6\sqrt{2}}{2} = 1 + 3\sqrt{2} \)
- \( x_2 = \frac{2 - 6\sqrt{2}}{2} = 1 - 3\sqrt{2} \)
- 👉 Şimdi bu değerlerin \( x > 4 \) şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
- \( x_1 = 1 + 3\sqrt{2} \): Yaklaşık olarak \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) olduğundan, \( 1 + 3(1.41) = 1 + 4.23 = 5.23 \). Bu değer \( 4 \)'ten büyüktür. ✅
- \( x_2 = 1 - 3\sqrt{2} \): Yaklaşık olarak \( 1 - 4.23 = -3.23 \). Bu değer \( 4 \)'ten küçük olduğu için logaritmanın tanım kümesine uymaz. ❌
- ✅ Denklemin çözüm kümesi: \( \{1 + 3\sqrt{2}\} \).
Örnek 7:
📌 Trigonometrik Denklem
\( 2\cos x - \sqrt{3} = 0 \) denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
\( 2\cos x - \sqrt{3} = 0 \) denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Trigonometrik denklemleri çözerken, trigonometrik fonksiyonun değerine karşılık gelen açıları ve bu açıların periyodik tekrarını dikkate alırız. 💡
- 👉 Denklemi \( \cos x \) yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: \[ 2\cos x = \sqrt{3} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- 👉 Kosinüs değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan temel açıyı bulalım. Birim çemberde bu değer \( 30^\circ \) veya \( \frac{\pi}{6} \) radyana karşılık gelir.
- 👉 Kosinüs fonksiyonu, birim çemberde x eksenine göre simetrik olan açılarda aynı değeri alır. Bu nedenle, kosinüsü \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan iki açı vardır:
- Birincisi \( x_1 = \frac{\pi}{6} \).
- İkincisi \( x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \).
- 👉 Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \) olduğundan, genel çözümler \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) ve \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \) şeklindedir (burada \( k \) bir tam sayıdır).
- 👉 Ancak bizden \( [0, 2\pi) \) aralığındaki çözümler isteniyor. Bu aralıkta \( k=0 \) için bulduğumuz değerler geçerlidir:
- \( x_1 = \frac{\pi}{6} \)
- \( x_2 = \frac{11\pi}{6} \)
- ✅ Denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki çözüm kümesi: \( \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right\} \).
Örnek 8:
📈 Günlük Hayattan Örnek: Bileşik Faiz ve Üstel Denklem
Bir banka, her yıl yatırılan paranın %20'si kadar bileşik faiz vermektedir. Başlangıçta 1000 TL yatıran bir kişi, kaç yıl sonra parasının 1440 TL olacağını tahmin edebilir? (Faiz, ana paraya eklenerek bir sonraki yıl için de faiz getirir.)
Bir banka, her yıl yatırılan paranın %20'si kadar bileşik faiz vermektedir. Başlangıçta 1000 TL yatıran bir kişi, kaç yıl sonra parasının 1440 TL olacağını tahmin edebilir? (Faiz, ana paraya eklenerek bir sonraki yıl için de faiz getirir.)
Çözüm:
Bu problem, bileşik faiz formülü veya üstel büyüme denklemi kullanılarak çözülebilir. 💡
- 👉 Başlangıçtaki anapara (P): 1000 TL
- 👉 Yıllık faiz oranı (r): %20 = 0.20
- 👉 Son miktar (A): 1440 TL
- 👉 Geçen yıl sayısı (t): ?
- 👉 Bileşik faiz formülü: \( A = P(1+r)^t \)
- 👉 Bilinen değerleri formülde yerine yazalım: \[ 1440 = 1000(1 + 0.20)^t \] \[ 1440 = 1000(1.20)^t \]
- 👉 Denklemi \( (1.20)^t \) yalnız kalacak şekilde düzenleyelim: \[ \frac{1440}{1000} = (1.20)^t \] \[ 1.44 = (1.20)^t \]
- 👉 Şimdi \( 1.44 \) sayısının \( 1.20 \)'nin hangi kuvveti olduğunu bulmalıyız. \[ 1.20 \times 1.20 = 1.44 \] Yani, \( (1.20)^2 = 1.44 \).
- 👉 O halde, \[ (1.20)^t = (1.20)^2 \]
- 👉 Tabanlar aynı olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır: \[ t = 2 \]
- ✅ Bu kişi, parasının 2 yıl sonra 1440 TL olacağını tahmin edebilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-denklemler/sorular