📄 11. Sınıf Matematik: Denklemler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen denklem \( \sin x + \cos x = 1 \) şeklindedir.
Her iki tarafın karesini alalım:
\( (\sin x + \cos x)^2 = 1^2 \)
\( \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 \)
\( (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 \)
Trigonometrik özdeşliklerden \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) ve \( 2\sin x \cos x = \sin(2x) \) olduğunu biliyoruz.
Bu durumda denklem \( 1 + \sin(2x) = 1 \) haline gelir.
\( \sin(2x) = 0 \)
Genel çözüm için:
\( 2x = k\pi \) (\( k \in \mathbb{Z} \))
\( x = \frac{k\pi}{2} \)
Şimdi \( [0, 2\pi] \) aralığındaki kökleri bulalım:
\( k=0 \) için \( x = 0 \)
\( k=1 \) için \( x = \frac{\pi}{2} \)
\( k=2 \) için \( x = \pi \)
\( k=3 \) için \( x = \frac{3\pi}{2} \)
\( k=4 \) için \( x = 2\pi \)
Bulduğumuz bu kökleri başlangıç denkleminde yerine koyarak kontrol etmeliyiz, çünkü kare alma işlemi yalancı kökler üretebilir:
1. \( x = 0 \): \( \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \) (Sağlar)
2. \( x = \frac{\pi}{2} \): \( \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \) (Sağlar)
3. \( x = \pi \): \( \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1
eq 1 \) (Sağlamaz)
4. \( x = \frac{3\pi}{2} \): \( \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1
eq 1 \) (Sağlamaz)
5. \( x = 2\pi \): \( \sin 2\pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 \) (Sağlar)
O halde, çözüm kümesi \( \left\{ 0, \frac{\pi}{2}, 2\pi \right\} \) dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen denklem: \( \log_2(x-3) + \log_2(x-2) = 1 + \log_2(x-1) \)
Öncelikle logaritmanın tanım aralığını belirleyelim:
\( x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)
\( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
\( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
Tüm bu koşulları sağlayan \( x \) değerleri \( x > 3 \) olmalıdır.
Denklemi logaritma özelliklerini kullanarak düzenleyelim:
\( \log_2((x-3)(x-2)) = \log_2 2^1 + \log_2(x-1) \)
\( \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(2(x-1)) \)
\( \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(2x-2) \)
Logaritma fonksiyonu birebir olduğu için argümanlar eşit olmalıdır:
\( x^2 - 5x + 6 = 2x - 2 \)
\( x^2 - 7x + 8 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanalım:
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(8) = 49 - 32 = 17 \)
Kökler \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) formülü ile bulunur:
\( x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \)
\( x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \)
Şimdi bulduğumuz kökleri tanım aralığı \( x > 3 \) ile karşılaştıralım:
\( \sqrt{17} \) yaklaşık olarak 4.12 dir.
\( x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 + 4.12}{2} = \frac{11.12}{2} = 5.56 \). Bu değer \( x > 3 \) koşulunu sağlar.
\( x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 - 4.12}{2} = \frac{2.88}{2} = 1.44 \). Bu değer \( x > 3 \) koşulunu sağlamaz.
O halde, denklemin çözüm kümesi \( \left\{ \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \right\} \) dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen denklem: \( \sqrt{x+4} = x+2 \)
Öncelikle köklü ifadenin tanımlı olması için \( x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4 \) olmalıdır.
Ayrıca, köklü bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından \( x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \) olmalıdır.
Bu iki koşulun kesişimi \( x \ge -2 \) dir.
Şimdi denklemin her iki tarafının karesini alalım:
\( (\sqrt{x+4})^2 = (x+2)^2 \)
\( x+4 = x^2 + 4x + 4 \)
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
\( x^2 + 3x = 0 \)
\( x(x+3) = 0 \)
Buradan iki kök elde ederiz:
\( x_1 = 0 \)
\( x_2 = -3 \)
Şimdi bu kökleri \( x \ge -2 \) koşulu ile kontrol edelim:
1. \( x_1 = 0 \): \( 0 \ge -2 \) koşulunu sağlar.
Orijinal denklemde yerine koyalım: \( \sqrt{0+4} = 0+2 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2 = 2 \). Sağlar.
2. \( x_2 = -3 \): \( -3 \ge -2 \) koşulunu sağlamaz.
Bu bir yalancı köktür. (Orijinal denklemde yerine koyarsak: \( \sqrt{-3+4} = -3+2 \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 1 = -1 \), bu yanlıştır.)
O halde, denklemin çözüm kümesi \( \{0\} \) dir.