💡 11. Sınıf Matematik: Denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu problemi adım adım çözelim:

• Denklem Kurma: Toplam elma ve armut sayısı için ilk denklemimiz: \( x + y = 150 \)
• İkinci Denklemi Kurma: Elma sayısının armut sayısının 2 katından 30 fazla olması: \( x = 2y + 30 \)
• Yerine Koyma Yöntemi: İlk denklemdeki \( x \) yerine ikinci denklemdeki \( 2y + 30 \) ifadesini yazalım: \( (2y + 30) + y = 150 \)
• Denklemi Sadeleştirme: \( 3y + 30 = 150 \)
• y Değerini Bulma: \( 3y = 150 - 30 \)
  \( 3y = 120 \)
  \( y = \frac{120}{3} \)
  \( y = 40 \)
• x Değerini Bulma: Bulduğumuz \( y \) değerini ilk denklemde yerine koyalım: \( x + 40 = 150 \)
  \( x = 150 - 40 \)
  \( x = 110 \)

✅ Sonuç olarak markette 110 elma satılmaktadır. 💡

Bu eşitsizliği adım adım çözelim:

• Mevcut Puan: 10 doğru soru x 5 puan/soru = 50 puan
• Gereken Puan: En az 75 puan
• Eksik Puan: 75 - 50 = 25 puan
• Eksik Soru Sayısı: 25 puan / 5 puan/soru = 5 soru
• Eşitsizlik ile Gösterim: Öğrencinin doğru cevaplaması gereken toplam soru sayısı \( n \) olsun.
  \( 5n \ge 75 \)
• Eşitsizliği Çözme: \( n \ge \frac{75}{5} \)
  \( n \ge 15 \)

👉 Öğrencinin toplamda en az 15 soruyu doğru cevaplaması gerekmektedir. Mevcut 10 doğruyu çıkardığımızda, 15 - 10 = 5 soruyu daha doğru cevaplamalıdır. ✅

İkinci dereceden bir denklemin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise, denklem genel olarak şu şekilde yazılabilir: \[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \] Verilen kökleri yerine koyalım:

• \( x_1 = 3 \)
• \( x_2 = -2 \)

Denklem: \[ (x - 3)(x - (-2)) = 0 \] \[ (x - 3)(x + 2) = 0 \] Parantezleri açalım: \[ x \cdot x + x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3x - 6 = 0 \] Sadeleştirelim: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] ✅ Kökleri 3 ve -2 olan ikinci dereceden denklem \( x^2 - x - 6 = 0 \) 'dır. 💡

Bir ikinci dereceden denklemin gerçek kökü olmaması için diskriminantı \( \Delta < 0 \) olmalıdır. Genel ikinci dereceden denklem \( ax^2 + bx + c = 0 \) için diskriminant formülü: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Verilen denklemimiz \( 2x^2 + 4x + k = 0 \). Bu durumda:

• \( a = 2 \)
• \( b = 4 \)
• \( c = k \)

Diskriminantı hesaplayalım: \[ \Delta = (4)^2 - 4 \cdot (2) \cdot k \] \[ \Delta = 16 - 8k \] Gerçek kök olmadığı için \( \Delta < 0 \) olmalıdır: \[ 16 - 8k < 0 \] Eşitsizliği \( k \) için çözelim: \[ 16 < 8k \] \[ \frac{16}{8} < k \] \[ 2 < k \] 👉 \( k \), 2'den büyük olmalıdır. \( k \)'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür. ✅

Bu bir denklem sistemi problemidir. Adım adım çözelim:

• Denklem 1: 3 pantolon ve 2 gömlek için: \( 3P + 2G = 510 \)
• Denklem 2: 2 pantolon ve 3 gömlek için: \( 2P + 3G = 490 \)
• Yok Etme Yöntemi: Denklemleri taraf tarafa toplayalım:
  \( (3P + 2G) + (2P + 3G) = 510 + 490 \)
  \( 5P + 5G = 1000 \)
• Sadeleştirme: Her iki tarafı 5'e bölelim:
  \( P + G = 200 \)

Bu bize bir pantolon ve bir gömleğin toplam fiyatının 200 TL olduğunu gösterir. Bu sonucu kullanarak pantolon veya gömleğin ayrı fiyatlarını da bulabiliriz (ancak soru sadece toplam fiyatı sormuyor, ayrı ayrı fiyatları soruyor, bu yüzden devam edelim). Şimdi \( P + G = 200 \) denkleminden \( P = 200 - G \) yazıp ilk denklemde yerine koyalım:

• \( 3(200 - G) + 2G = 510 \)
• \( 600 - 3G + 2G = 510 \)
• \( 600 - G = 510 \)
• \( G = 600 - 510 \)
• \( G = 90 \) TL (Gömlek fiyatı)

Şimdi \( P + G = 200 \) denkleminde \( G = 90 \) değerini yerine koyalım:

• \( P + 90 = 200 \)
• \( P = 200 - 90 \)
• \( P = 110 \) TL (Pantolon fiyatı)

✅ Bir pantolon 110 TL ve bir gömlek 90 TL'dir. 💡

Bu soruda basitçe hızların ortalaması alınmaz. Yolculuk süresi göz önünde bulundurulmalıdır. Diyelim ki A ve B şehirleri arasındaki mesafe \( d \) km'dir.

• Gidiş Süresi: \( t_{gidiş} = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız}} = \frac{d}{80} \) saat
• Dönüş Süresi: \( t_{dönüş} = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız}} = \frac{d}{60} \) saat
• Toplam Mesafe: \( d + d = 2d \) km
• Toplam Süre: \( t_{toplam} = t_{gidiş} + t_{dönüş} = \frac{d}{80} + \frac{d}{60} \)

Toplam süreyi hesaplamak için paydaları eşitleyelim (Ortak Kat: 240):

• \( t_{toplam} = \frac{3d}{240} + \frac{4d}{240} = \frac{7d}{240} \) saat

Ortalama Hız Formülü: \[ \text{Ortalama Hız} = \frac{\text{Toplam Mesafe}}{\text{Toplam Süre}} \] Şimdi değerleri yerine koyalım: \[ \text{Ortalama Hız} = \frac{2d}{\frac{7d}{240}} \] Kesirli ifadelerde bölme işlemi, ters çevirip çarpmak demektir: \[ \text{Ortalama Hız} = 2d \cdot \frac{240}{7d} \] \( d \) değerleri sadeleşir: \[ \text{Ortalama Hız} = \frac{2 \cdot 240}{7} = \frac{480}{7} \] \[ \text{Ortalama Hız} \approx 68.57 km/sa ✅ Aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı \frac{480}{7} km/sa (yaklaşık 68.57 km/sa) 'dir. 💡

Bu problemde tarlanın çevresini ve maliyeti hesaplamamız gerekiyor. Tarlanın kenar uzunlukları bir dikdörtgen oluşturur.

• Dikdörtgenin Çevresi Formülü: Çevre = 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})
• Tarlanın Çevresini Hesaplama:
  Çevre = 2 \times (120 \text{ m} + 80 \text{ m})
  Çevre = 2 \times (200 \text{ m})
  Çevre = 400 metre

Tarlanın çevresi 400 metredir. Şimdi telin maliyetini hesaplayalım:

• Tel Maliyeti: \text{Toplam Maliyet} = \text{Çevre} \times \text{Metre Başı Fiyat}
• Hesaplama:
  \text{Toplam Maliyet} = 400 \text{ m} \times 15 \text{ TL/m}
  \text{Toplam Maliyet} = 6000 TL

✅ Çiftçinin tel için ödeyeceği toplam para 6000 TL'dir. 💰

Mutlak değer içeren denklemleri çözerken, mutlak değerin içini iki farklı şekilde ele alırız: pozitif ve negatif durumlar.

• Durum 1: Mutlak Değerin İçinin Pozitif Olması
  2x - 4 = 6
• Denklemi Çözme:
  2x = 6 + 4
  2x = 10
  x = \frac{10}{2}
  x = 5

• Durum 2: Mutlak Değerin İçinin Negatif Olması
  2x - 4 = -6
• Denklemi Çözme:
  2x = -6 + 4
  2x = -2
  x = \frac{-2}{2}
  x = -1

✅ Bu denklemin çözüm kümesi \{ -1, 5 \} 'tir. 💡

Bu tür mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken, eşitsizliği iki parçaya ayırırız. |x + 3| \le 5 eşitsizliği, x + 3 değerinin -5 ile 5 arasında (dahil) olduğunu ifade eder. Yani: \[ -5 \le x + 3 \le 5 \] Şimdi \( x \)'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her üç tarafına da -3 ekleyelim:

• \( -5 - 3 \le x + 3 - 3 \le 5 - 3 \)
• \( -8 \le x \le 2 \)

👉 Çözüm kümesi, \( x \)'in -8 ile 2 arasındaki tüm tam sayıları ve reel sayıları kapsar. Reel sayılar cinsinden çözüm kümesi \( [-8, 2] \) aralığıdır. ✅