🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Denklem Ve Eşitsizlik Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Denklem Ve Eşitsizlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Örnek 1: İkinci Dereceden Denklem Çözümü
Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz. \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz. \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Çözüm:
Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz.
- 👉 Öncelikle, çarpımları \(+12\)'yi ve toplamları \(-7\)'yi veren iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar \(-3\) ve \(-4\)'tür.
- ✅ Denklemi çarpanlarına ayırırız: \[ (x-3)(x-4) = 0 \]
- 📌 Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri buluruz: \[ x-3 = 0 \implies x_1 = 3 \] \[ x-4 = 0 \implies x_2 = 4 \]
- Sonuç olarak, denklemin çözüm kümesi \(\{3, 4\}\) olur.
Örnek 2:
💡 Örnek 2: İkinci Dereceden Eşitsizlik Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. \[ x^2 - 2x - 8 < 0 \]
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. \[ x^2 - 2x - 8 < 0 \]
Çözüm:
Bu eşitsizliği çözmek için işaret tablosu oluşturmamız gerekir.
- 👉 İlk adım olarak, \(x^2 - 2x - 8 = 0\) denkleminin köklerini bulalım. Çarpanlara ayırırsak: \[ (x-4)(x+2) = 0 \] Kökler \(x_1 = 4\) ve \(x_2 = -2\)'dir.
- ✅ Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım:
|------- \(x\) -------| \(-\infty\) | \(-2\) | \(4\) | \(+\infty\) |
| \(x^2-2x-8\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Kökler arasında (yani \(-2\) ile \(4\) arasında) \(x^2\)'nin katsayısı (\(1\)) pozitif olduğu için eşitsizliğin değeri negatiftir. Köklerin dışında ise pozitiftir. - 📌 Eşitsizlik \(x^2 - 2x - 8 < 0\) olduğu için, fonksiyonun negatif olduğu aralığı arıyoruz. Bu aralık \((-2, 4)\)'tür.
- Sonuç olarak, eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-2, 4) \) olur.
Örnek 3:
💡 Örnek 3: Diskriminant (\(\Delta\)) ile Köklerin Durumu
\( k \) bir gerçek sayı olmak üzere,
\[ x^2 + (k-2)x + 9 = 0 \] denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre, \( k \) hangi aralıkta değer almalıdır?
\( k \) bir gerçek sayı olmak üzere,
\[ x^2 + (k-2)x + 9 = 0 \] denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre, \( k \) hangi aralıkta değer almalıdır?
Çözüm:
Bir ikinci dereceden denklemin iki farklı gerçek kökü olması için diskriminantın (\(\Delta\)) sıfırdan büyük olması gerekir.
- 👉 İkinci dereceden bir denklem \(ax^2 + bx + c = 0\) şeklinde olduğunda, diskriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) formülüyle hesaplanır.
- ✅ Verilen denklemde \(a=1\), \(b=(k-2)\) ve \(c=9\)'dur. Diskriminantı hesaplayalım: \[ \Delta = (k-2)^2 - 4(1)(9) \] \[ \Delta = (k-2)^2 - 36 \]
- 📌 İki farklı gerçek kök için \(\Delta > 0\) olmalıdır: \[ (k-2)^2 - 36 > 0 \] \[ (k-2)^2 > 36 \]
- Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karekökünü alabiliriz. Ancak mutlak değer kurallarına dikkat etmeliyiz:
\[ |k-2| > 6 \]
Bu da iki ayrı eşitsizlik anlamına gelir:
\[ k-2 > 6 \implies k > 8 \]
\[ k-2 < -6 \implies k < -4 \]
- Sonuç olarak, \( k \) gerçek sayısı \((-\infty, -4) \cup (8, \infty)\) aralığında değer almalıdır.
Örnek 4:
💡 Örnek 4: İkinci Dereceden Denkleme Dönüştürülebilen Denklem
Aşağıdaki denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz. \[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \]
Aşağıdaki denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz. \[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \]
Çözüm:
Bu denklem, \(x^2 = u\) dönüşümü yapılarak ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülebilir.
- 👉 \(x^2 = u\) dersek, \(x^4 = u^2\) olur. Denklemi yeniden yazalım: \[ u^2 - 10u + 9 = 0 \]
- ✅ Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayıralım. Çarpımları \(+9\), toplamları \(-10\) olan sayılar \(-1\) ve \(-9\)'dur: \[ (u-1)(u-9) = 0 \] Buradan \(u_1 = 1\) ve \(u_2 = 9\) bulunur.
- 📌 Şimdi \(u = x^2\) dönüşümünü geri uygulayalım:
Eğer \(u=1\) ise \(x^2 = 1 \implies x = \pm 1\).
Eğer \(u=9\) ise \(x^2 = 9 \implies x = \pm 3\).
- Sonuç olarak, denklemin çözüm kümesi \(\{-3, -1, 1, 3\}\) olur.
Örnek 5:
💡 Örnek 5: İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. \[ y = x+1 \] \[ x^2 + y^2 = 5 \]
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. \[ y = x+1 \] \[ x^2 + y^2 = 5 \]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
- 👉 Birinci denklemde \(y\) zaten \(x\) cinsinden ifade edilmiş: \(y = x+1\).
- ✅ Bu ifadeyi ikinci denklemdeki \(y\) yerine koyalım: \[ x^2 + (x+1)^2 = 5 \]
- Şimdi bu denklemi açıp düzenleyelim: \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 5 \] \[ 2x^2 + 2x + 1 - 5 = 0 \] \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]
- Denklemin her tarafını \(2\) ile bölelim: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayıralım. Çarpımları \(-2\), toplamları \(+1\) olan sayılar \(+2\) ve \(-1\)'dir: \[ (x+2)(x-1) = 0 \] Buradan \(x_1 = -2\) ve \(x_2 = 1\) bulunur.
- 📌 Bulduğumuz \(x\) değerlerini \(y = x+1\) denkleminde yerine koyarak karşılık gelen \(y\) değerlerini bulalım:
Eğer \(x_1 = -2\) ise \(y_1 = -2+1 = -1\).
Eğer \(x_2 = 1\) ise \(y_2 = 1+1 = 2\).
- Sonuç olarak, denklem sisteminin çözüm kümesi \(\{ (-2, -1), (1, 2) \}\) olur.
Örnek 6:
💡 Örnek 6: Eşitsizlik Sistemi
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
\[ (x-1)(x+3) > 0 \]
\[ x^2 - 4 \le 0 \]
Çözüm:
Bu eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüp, çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız.
- 👉 Birinci eşitsizlik: \((x-1)(x+3) > 0\)
Kökler \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = -3\)'tür. İşaret tablosu yapalım:
|------- \(x\) -------| \(-\infty\) | \(-3\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| \((x-1)(x+3)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Eşitsizlik \(>0\) olduğu için çözüm kümesi \(Ç_1 = (-\infty, -3) \cup (1, \infty)\) olur. - ✅ İkinci eşitsizlik: \(x^2 - 4 \le 0\)
Önce \(x^2 - 4 = 0\) denkleminin köklerini bulalım: \[ (x-2)(x+2) = 0 \] Kökler \(x_3 = 2\) ve \(x_4 = -2\)'dir. İşaret tablosu yapalım:
|------- \(x\) -------| \(-\infty\) | \(-2\) | \(2\) | \(+\infty\) |
| \(x^2-4\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Eşitsizlik \(\le 0\) olduğu için çözüm kümesi \(Ç_2 = [-2, 2]\) olur. - 📌 Kesişim Kümesi:
Şimdi \(Ç_1\) ve \(Ç_2\)'nin kesişimini bulmalıyız: \(Ç_1 = (-\infty, -3) \cup (1, \infty)\)
\(Ç_2 = [-2, 2]\)
Sayı doğrusu üzerinde bu aralıkları işaretlersek, her iki eşitsizliği de sağlayan ortak bölgeyi buluruz.
Bu aralıkların kesişimi \( (1, 2] \) olur.
- Sonuç olarak, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi \( (1, 2] \) olur.
Örnek 7:
💡 Örnek 7: Dikdörtgen Alanı Problemi
Bir bahçe sahibi, dikdörtgen şeklindeki bahçesinin uzun kenarını kısa kenarından 5 metre daha uzun olacak şekilde planlamıştır. Bahçenin alanı 84 metrekare olduğuna göre, bahçenin kısa kenarı kaç metredir?
Bir bahçe sahibi, dikdörtgen şeklindeki bahçesinin uzun kenarını kısa kenarından 5 metre daha uzun olacak şekilde planlamıştır. Bahçenin alanı 84 metrekare olduğuna göre, bahçenin kısa kenarı kaç metredir?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için bir ikinci dereceden denklem kurmamız gerekir.
- 👉 Öncelikle, bahçenin kısa kenarına \(x\) metre diyelim.
- ✅ Uzun kenar, kısa kenardan 5 metre uzun olduğu için uzun kenar \((x+5)\) metre olur.
- Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Alanın 84 metrekare olduğu verilmiş: \[ x(x+5) = 84 \]
- Denklemi düzenleyelim ve standart ikinci dereceden denklem formuna getirelim: \[ x^2 + 5x = 84 \] \[ x^2 + 5x - 84 = 0 \]
- Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları \(-84\), toplamları \(+5\) olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar \(+12\) ve \(-7\)'dir: \[ (x+12)(x-7) = 0 \]
- Buradan \(x_1 = -12\) ve \(x_2 = 7\) bulunur.
- 📌 Bir kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \(x = -12\) değeri geçersizdir. Bu durumda kısa kenar \(x = 7\) metre olmalıdır.
- Sonuç olarak, bahçenin kısa kenarı 7 metredir.
Örnek 8:
💡 Örnek 8: Ürün Fiyatı ve Gelir İlişkisi
Bir firma, ürettiği bir ürünün satış fiyatını \(p\) (TL) olarak belirlemektedir. Bu ürünün aylık satış miktarı \((200 - 2p)\) adet olarak tahmin edilmektedir. Firmanın aylık toplam geliri 4800 TL olduğuna göre, ürünün satış fiyatı kaç TL olabilir?
Bir firma, ürettiği bir ürünün satış fiyatını \(p\) (TL) olarak belirlemektedir. Bu ürünün aylık satış miktarı \((200 - 2p)\) adet olarak tahmin edilmektedir. Firmanın aylık toplam geliri 4800 TL olduğuna göre, ürünün satış fiyatı kaç TL olabilir?
Çözüm:
Bu problemi bir ikinci dereceden denklem kurarak çözebiliriz.
- 👉 Firmanın aylık toplam geliri, satış fiyatı ile satış miktarının çarpımına eşittir. \[ \text{Gelir} = \text{Fiyat} \times \text{Miktar} \]
- ✅ Verilen değerleri yerine koyalım: \[ 4800 = p \times (200 - 2p) \]
- Denklemi düzenleyelim ve standart ikinci dereceden denklem formuna getirelim: \[ 4800 = 200p - 2p^2 \] Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \[ 2p^2 - 200p + 4800 = 0 \]
- Denklemin her tarafını \(2\) ile bölelim: \[ p^2 - 100p + 2400 = 0 \]
- Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları \(+2400\), toplamları \(-100\) olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar \(-40\) ve \(-60\)'tır: \[ (p-40)(p-60) = 0 \]
- Buradan \(p_1 = 40\) ve \(p_2 = 60\) bulunur.
- 📌 Her iki fiyat değeri de pozitif ve mantıklı olduğu için, firma bu ürünü 40 TL'ye veya 60 TL'ye sattığında aylık 4800 TL gelir elde edebilir.
- Sonuç olarak, ürünün satış fiyatı 40 TL veya 60 TL olabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-denklem-ve-esitsizlik/sorular