💡 11. Sınıf Matematik: Dairenin alani Çözümlü Örnekler

Dairenin alanını hesaplamak için şu formülü kullanırız:

• Alan = \( \pi \times r^2 \)

Burada \( r \), dairenin yarıçapıdır.

Verilenler:

• Yarıçap (\( r \)) = 5 cm
• \( \pi \) = 3

Hesaplama:

• Alan = \( 3 \times (5 \text{ cm})^2 \)
• Alan = \( 3 \times 25 \text{ cm}^2 \)
• Alan = \( 75 \text{ cm}^2 \)

👉 Sonuç olarak, yarıçapı 5 cm olan dairenin alanı 75 cm²'dir. ✅

Öncelikle dairenin yarıçapını bulmamız gerekiyor. Yarıçap, çapın yarısıdır.

• Yarıçap (\( r \)) = Çap / 2
• \( r = 12 \text{ m} / 2 \)
• \( r = 6 \text{ m} \)

Şimdi dairenin alan formülünü kullanarak alanı hesaplayabiliriz:

• Alan = \( \pi \times r^2 \)

Verilenler:

• Yarıçap (\( r \)) = 6 m
• \( \pi \) = 3.14

Hesaplama:

• Alan = \( 3.14 \times (6 \text{ m})^2 \)
• Alan = \( 3.14 \times 36 \text{ m}^2 \)
• Alan = \( 113.04 \text{ m}^2 \)

💡 Çapı 12 metre olan dairenin alanı 113.04 m²'dir. 💡

Dairenin alan formülünü biliyoruz:

• Alan = \( \pi \times r^2 \)

Soruda verilen alanı formüle eşitleyerek yarıçapı bulabiliriz:

• \( 196\pi \text{ cm}^2 \) = \( \pi \times r^2 \)

Her iki tarafı \( \pi \)'ye bölelim:

• \( 196 \text{ cm}^2 \) = \( r^2 \)

Şimdi her iki tarafın karekökünü alalım:

• \( r = \sqrt{196 \text{ cm}^2} \)
• \( r = 14 \text{ cm} \)

📌 Sonuç olarak, alanı 196π cm² olan dairenin yarıçapı 14 cm'dir. ✅

Bir kenarı 10 cm olan karenin içine çizilebilecek en büyük dairenin çapı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.

• Karenin kenar uzunluğu = 10 cm
• En büyük dairenin çapı = 10 cm

Dairenin yarıçapını bulalım:

• Yarıçap (\( r \)) = Çap / 2
• \( r = 10 \text{ cm} / 2 \)
• \( r = 5 \text{ cm} \)

Şimdi dairenin alanını hesaplayalım:

• Alan = \( \pi \times r^2 \)
• Alan = \( 3 \times (5 \text{ cm})^2 \)
• Alan = \( 3 \times 25 \text{ cm}^2 \)
• Alan = \( 75 \text{ cm}^2 \)

👉 Karenin içine çizilebilecek en büyük dairenin alanı 75 cm²'dir. 💡

Tekerleğin tam tur döndüğünde aldığı yol, tekerleğin çevresine eşittir.

Dairenin çevre formülü:

• Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)

Verilenler:

• Yarıçap (\( r \)) = 35 cm
• \( \pi \) = 22/7

Hesaplama:

• Çevre = \( 2 \times \frac{22}{7} \times 35 \text{ cm} \)
• Çevre = \( 2 \times 22 \times \frac{35}{7} \text{ cm} \)
• Çevre = \( 2 \times 22 \times 5 \text{ cm} \)
• Çevre = \( 44 \times 5 \text{ cm} \)
• Çevre = \( 220 \text{ cm} \)

✅ Tekerlek tam tur döndüğünde 220 cm yol alır. Bu, aynı zamanda tekerleğin çevresidir. 💡

Öncelikle masa örtüsünün yarıçapını bulmalıyız:

• Çap = 1.5 m
• Yarıçap (\( r \)) = Çap / 2
• \( r = 1.5 \text{ m} / 2 \)
• \( r = 0.75 \text{ m} \)

Şimdi masa örtüsünün alanını hesaplayabiliriz:

• Alan = \( \pi \times r^2 \)
• Alan = \( 3.14 \times (0.75 \text{ m})^2 \)
• Alan = \( 3.14 \times 0.5625 \text{ m}^2 \)
• Alan = \( 1.76625 \text{ m}^2 \)

📌 Yuvarlak masa örtüsünün kapladığı alan yaklaşık 1.77 m²'dir. 💡

Başlangıçtaki dairenin yarıçapı \( r_1 \) ve alanı \( A_1 \) olsun.

• \( A_1 = \pi \times r_1^2 \)

Dairenin alanı %50 artırıldığında yeni alan \( A_2 \) olur:

• \( A_2 = A_1 + 0.50 \times A_1 \)
• \( A_2 = 1.50 \times A_1 \)

Yeni yarıçap \( r_2 \) olsun. Yeni alan \( A_2 \) için formül:

• \( A_2 = \pi \times r_2^2 \)

Şimdi \( A_2 \) yerine \( 1.50 \times A_1 \) yazalım:

• \( 1.50 \times A_1 = \pi \times r_2^2 \)

Ayrıca \( A_1 = \pi \times r_1^2 \) olduğunu biliyoruz:

• \( 1.50 \times (\pi \times r_1^2) = \pi \times r_2^2 \)

Her iki taraftan \( \pi \)'yi sadeleştirelim:

• \( 1.50 \times r_1^2 = r_2^2 \)

Her iki tarafın karekökünü alalım:

• \( r_2 = \sqrt{1.50} \times r_1 \)
• \( r_2 \approx 1.2247 \times r_1 \)

Bu, yarıçapın yaklaşık olarak %22.47 arttığı anlamına gelir.

👉 Dairenin alanı %50 arttığında, yarıçapı yaklaşık olarak %22.47 artar. ✅

Öncelikle havuzun alanını hesaplayalım:

• Yarıçap (\( r \)) = 7 m
• \( \pi \) = 22/7
• Havuz Alanı = \( \pi \times r^2 \)
• Havuz Alanı = \( \frac{22}{7} \times (7 \text{ m})^2 \)
• Havuz Alanı = \( \frac{22}{7} \times 49 \text{ m}^2 \)
• Havuz Alanı = \( 22 \times 7 \text{ m}^2 \)
• Havuz Alanı = \( 154 \text{ m}^2 \)

Şimdi bir çiçeğin kapladığı alanı hesaplayalım. Bu alan, havuzun alanının %1'idir:

• Çiçek Alanı = Havuz Alanı × 1%
• Çiçek Alanı = \( 154 \text{ m}^2 \times \frac{1}{100} \)
• Çiçek Alanı = \( 1.54 \text{ m}^2 \)

💡 Sonuç olarak, havuzun alanı 154 m²'dir. Bir çiçeğin kapladığı alan ise 1.54 m²'dir. ✅