🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dairenin alanı ve çevresi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Dairenin alanı ve çevresi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı \( r = 8 \) cm olan bir dairenin çevresini ve alanını hesaplayınız. (\( \pi \) sayısını olduğu gibi bırakınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Dairenin çevre formülü Çevre = \( 2 \pi r \) şeklindedir.
- Adım 2: Verilen yarıçap değerini formülde yerine yazalım:
Çevre = \( 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16 \pi \) cm bulunur. - Adım 3: Dairenin alan formülü Alan = \( \pi r^2 \) şeklindedir.
- Adım 4: Yarıçap değerini alan formülünde yerine yazalım:
Alan = \( \pi \cdot 8^2 = 64 \pi \) cm\( ^2 \) bulunur.
Örnek 2:
Yarıçapı \( r = 12 \) cm olan bir çemberde, \( 60^\circ \)'lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Bir çemberde yay uzunluğu formülü: Yay Uzunluğu = \( \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r \) şeklindedir.
- Adım 2: Verilen değerleri (\( \alpha = 60 \), \( \pi = 3 \), \( r = 12 \)) formüle yerleştirelim:
Yay Uzunluğu = \( \frac{60}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 12 \). - Adım 3: Sadeleştirme işlemlerini yapalım:
\( \frac{1}{6} \cdot 72 = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir dairede \( 120^\circ \)'lik merkez açının gördüğü daire diliminin alanı \( 27 \pi \) cm\( ^2 \) olduğuna göre, bu dairenin yarıçapı \( r \) kaç cm'dir?
Çözüm:
- Adım 1: Daire dilimi alan formülü: Alan = \( \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \).
- Adım 2: Verilen alanı ve açıyı formüle yazalım:
\( 27 \pi = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot r^2 \). - Adım 3: Sadeleştirmeleri yapalım (\( 120/360 = 1/3 \)):
\( 27 \pi = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \). - Adım 4: Her iki taraftaki \( \pi \) değerlerini yok edelim ve içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 27 \cdot 3 = r^2 \implies 81 = r^2 \). - Adım 5: Karekök alarak yarıçapı bulalım:
\( r = 9 \) cm.
Örnek 4:
\( O \) merkezli bir dairede yarıçap \( r = 6 \) cm ve merkez açı \( m(AOB) = 90^\circ \) dir. Buna göre, \( AB \) yayının sınırladığı daire kesmesinin (taralı bölge) alanını bulunuz. (\( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Daire kesmesinin alanı, daire diliminin alanından \( OAB \) üçgeninin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
- Adım 2: \( 90^\circ \)'lik dilimin alanını hesaplayalım:
Dilim Alanı = \( \frac{90}{360} \cdot 3 \cdot 6^2 = \frac{1}{4} \cdot 108 = 27 \) cm\( ^2 \). - Adım 3: \( OAB \) dik üçgeninin alanını hesaplayalım (yarıçaplar dik kenarlardır):
Üçgen Alanı = \( \frac{6 \cdot 6}{2} = 18 \) cm\( ^2 \). - Adım 4: Kesme alanını bulalım:
Alan = \( 27 - 18 = 9 \) cm\( ^2 \).
Örnek 5:
Merkezleri aynı olan iki daireden dıştakinin yarıçapı \( 10 \) cm, içtekinin yarıçapı \( 7 \) cm'dir. Bu iki daire arasında kalan halkanın alanı kaç cm\( ^2 \)'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Halkanın alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
- Adım 2: Büyük dairenin alanı:
\( \pi \cdot R^2 = 3 \cdot 10^2 = 300 \) cm\( ^2 \). - Adım 3: Küçük dairenin alanı:
\( \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 7^2 = 3 \cdot 49 = 147 \) cm\( ^2 \). - Adım 4: Aradaki farkı hesaplayalım:
Halka Alanı = \( 300 - 147 = 153 \) cm\( ^2 \).
Örnek 6:
Bir fıskiye, bulunduğu noktadan en fazla \( 6 \) metre uzağa su püskürtebilmektedir. Fıskiye sadece \( 120^\circ \)'lik bir açıyla dönebildiğine göre, fıskiyenin sulayabildiği toplam alan kaç metrekaredir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Fıskiyenin suladığı alan, yarıçapı \( r = 6 \) m ve merkez açısı \( \alpha = 120^\circ \) olan bir daire dilimidir.
- Adım 2: Alan formülünü uygulayalım:
Sulanan Alan = \( \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot r^2 \). - Adım 3: Değerleri yerine koyalım:
Sulanan Alan = \( \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 6^2 \). - Adım 4: İşlemi tamamlayalım:
Sulanan Alan = \( 1 \cdot 36 = 36 \) m\( ^2 \).
Örnek 7:
Yarıçapı \( 40 \) cm olan bir bisiklet tekerleği düz bir yolda \( 500 \) tam tur attığında bisiklet kaç metre yol almış olur? (\( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Tekerleğin bir tam turda aldığı yol, tekerleğin çevre uzunluğuna eşittir.
- Adım 2: Çevreyi hesaplayalım:
Çevre = \( 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot 40 = 240 \) cm. - Adım 3: \( 500 \) turda alınan toplam yolu bulalım:
Toplam Yol = \( 500 \cdot 240 = 120000 \) cm. - Adım 4: Santimetreyi metreye çevirelim (\( 100 \) cm = \( 1 \) m):
Yol = \( 120000 \div 100 = 1200 \) metre.
Örnek 8:
Bir kenar uzunluğu \( 12 \) cm olan bir karenin içine, karenin kenarlarına teğet olacak şekilde bir daire çiziliyor. Karenin köşelerinde kalan boşlukların (dairenin dışında, karenin içinde kalan bölge) toplam alanı kaç cm\( ^2 \)'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
- Adım 1: Karenin kenarına teğet olan dairenin çapı, karenin bir kenarına eşittir.
Çap = \( 12 \) cm, dolayısıyla yarıçap \( r = 6 \) cm olur. - Adım 2: Karenin toplam alanını hesaplayalım:
Karenin Alanı = \( 12 \cdot 12 = 144 \) cm\( ^2 \). - Adım 3: Dairenin alanını hesaplayalım:
Dairenin Alanı = \( \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 = 108 \) cm\( ^2 \). - Adım 4: Boşlukların alanını bulmak için karenin alanından dairenin alanını çıkaralım:
Toplam Boşluk Alanı = \( 144 - 108 = 36 \) cm\( ^2 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-dairenin-alani-ve-cevresi/sorular