💡 11. Sınıf Matematik: Dairede alan ve çevre Çözümlü Örnekler

• Dairenin çevresi formülü: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Verilenler: \( r = 7 \) cm, \( \pi = 3 \)
• Formülde yerine koyalım: \( Ç = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)
• Hesaplama: \( Ç = 42 \) cm

👉 Sonuç olarak, dairenin çevresi 42 cm'dir. ✅

• Dairenin alanı formülü: \( A = \pi \cdot r^2 \)
• Verilenler: \( A = 75\pi \) cm²
• Formülde yerine koyalım: \( 75\pi = \pi \cdot r^2 \)
• \( \pi \) 'leri sadeleştirelim: \( 75 = r^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( r = \sqrt{75} \)
• Karekökü sadeleştirelim: \( r = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) cm

👉 Dairenin yarıçapı \( 5\sqrt{3} \) cm'dir. 💡

• Önce havuzun yarıçapını bulalım: Çap \( d = 10 \) m ise, yarıçap \( r = d/2 = 10/2 = 5 \) m'dir.
• Havuzun çevresini hesaplayalım: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( Ç = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 \)
• Hesaplama: \( Ç = 31.4 \) metre
• 2 sıra tel çekileceği için toplam tel uzunluğu: \( 2 \cdot 31.4 = 62.8 \) metre

👉 Toplamda 62.8 metre tel gereklidir. 📌

• Dairenin alanı: \( A = \pi \cdot r^2 = 100 \) cm²
• Buradan yarıçapı \( r \) çekelim: \( r^2 = \frac{100}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \) cm
• Dairenin çevresi: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Bulduğumuz \( r \) değerini yerine koyalım: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot \frac{10}{\sqrt{\pi}} \)
• Sadeleştirme yapalım: \( Ç = 2 \cdot \sqrt{\pi} \cdot 10 = 20\sqrt{\pi} \) cm

👉 Dairenin yarıçapı \( r = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \) cm ve çevresi \( Ç = 20\sqrt{\pi} \) cm'dir. ✍️

• Önce tekerleğin bir tam turda aldığı yolu (çevresini) hesaplayalım: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Verilenler: \( r = 35 \) cm, \( \pi = 22/7 \)
• Çevre hesaplaması: \( Ç = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 35 \)
• Sadeleştirme: \( Ç = 2 \cdot 22 \cdot 5 = 220 \) cm
• Yolun tamamı metre cinsinden verilmiş, tekerlek çevresini de metreye çevirelim: \( 220 \) cm \( = 2.2 \) metre
• Toplam yol: \( 110 \) metre
• Atılan tur sayısı: \( \text{Tur Sayısı} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Tekerlek Çevresi}} = \frac{110 \text{ m}}{2.2 \text{ m}} \)
• Hesaplama: \( \frac{110}{2.2} = \frac{1100}{22} = 50 \) tur

👉 Tekerlek 50 tam tur atmıştır. 🚀

• Burada dantel, masanın çevresine dikileceği için dairenin çevresini hesaplamamız gerekiyor.
• Masanın yarıçapı: \( r = \frac{\text{Çap}}{2} = \frac{120 \text{ cm}}{2} = 60 \) cm
• Dairenin çevresi formülü: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( Ç = 2 \cdot 3 \cdot 60 \)
• Hesaplama: \( Ç = 360 \) cm

👉 Masanın kenarına dikilecek dantel miktarı 360 cm'dir. 🧵

• Dairenin alanı: \( A = \pi \cdot r^2 \)
• Dairenin çevresi: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \)
• Soruda verilen ilişki: \( A = 3 \cdot Ç \)
• Formülleri yerine koyalım: \( \pi \cdot r^2 = 3 \cdot (2 \cdot \pi \cdot r) \)
• Denklemi sadeleştirelim: \( \pi \cdot r^2 = 6 \cdot \pi \cdot r \)
• Her iki tarafı \( \pi \) 'ye bölelim: \( r^2 = 6r \)
• \( r \) sıfırdan farklı olduğu için her iki tarafı \( r \) 'ye bölebiliriz: \( r = 6 \)

👉 Dairenin yarıçapı 6 birimdir. 🎯

• Önce havuzun yarıçapını bulalım:
• Havuzun alanı: \( A_{havuz} = \pi \cdot r_{havuz}^2 = 144\pi \) m²
• \( r_{havuz}^2 = 144 \implies r_{havuz} = \sqrt{144} = 12 \) m
• Yürüyüş yolu havuzun kenarından 2 metre uzakta olduğuna göre, yürüyüş yolunun dış yarıçapı:
• \( r_{yol} = r_{havuz} + 2 = 12 + 2 = 14 \) m
• Yürüyüş yolunun alanı, büyük dairenin (yol dahil) alanından küçük dairenin (havuzun) alanının çıkarılmasıyla bulunur:
• Büyük dairenin alanı: \( A_{büyük} = \pi \cdot r_{yol}^2 = 3 \cdot (14)^2 = 3 \cdot 196 = 588 \) m²
• Yürüyüş yolunun alanı: \( A_{yol} = A_{büyük} - A_{havuz} = 588 - 144\pi \)
• \( A_{yol} = 588 - 144 \cdot 3 = 588 - 432 = 156 \) m²

👉 Yürüyüş yolunun alanı 156 metrekaredir. 🌳