📄 11. Sınıf Matematik: Dairede alan ve çevre Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Dairenin yarıçapı \(r = 10\) cm verilmiştir.

Dairenin alanı: \(A_{daire} = \pi r^2 = 3 \cdot (10)^2 = 3 \cdot 100 = 300\) \(cm^2\).

Karenin köşeleri daire üzerinde olduğundan, karenin köşegen uzunluğu dairenin çapına eşittir.

Dairenin çapı \(2r = 2 \cdot 10 = 20\) cm'dir.

Karenin bir kenarına \(a\) dersek, köşegen uzunluğu \(a\sqrt{2}\) olur.

Bu durumda, \(a\sqrt{2} = 20\) cm'dir.

\(a = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}\) cm'dir.

Karenin alanı: \(A_{kare} = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200\) \(cm^2\).

Dairenin alanı ile karenin alanı arasındaki fark: \(A_{daire} - A_{kare} = 300 - 200 = 100\) \(cm^2\).

💡 Çözüm Adımları:

Daire diliminin alanı \(A_{dilim} = 40\pi\) \(cm^2\) ve yay uzunluğu \(L = 8\pi\) cm verilmiştir.

Daire diliminin alanı için iki formül vardır: \(A_{dilim} = \pi r^2 \frac{\alpha}{360}\) ve \(A_{dilim} = \frac{1}{2} L r\).

İkinci formülü kullanarak yarıçapı bulabiliriz:

\(40\pi = \frac{1}{2} (8\pi) r\)

\(40\pi = 4\pi r\)

\(r = \frac{40\pi}{4\pi} = 10\) cm.

Şimdi merkez açıyı bulmak için yay uzunluğu formülünü kullanabiliriz: \(L = 2\pi r \frac{\alpha}{360}\).

\(8\pi = 2\pi (10) \frac{\alpha}{360}\)

\(8\pi = 20\pi \frac{\alpha}{360}\)

Her iki tarafı \(20\pi\) ile bölersek:

\(\frac{8\pi}{20\pi} = \frac{\alpha}{360}\)

\(\frac{2}{5} = \frac{\alpha}{360}\)

\(5\alpha = 2 \cdot 360\)

\(5\alpha = 720\)

\(\alpha = \frac{720}{5} = 144\) derece.

Dairenin yarıçapı 10 cm ve merkez açısı 144 derecedir.

💡 Çözüm Adımları:

Dairenin yarıçapı \(r = 6\) cm'dir. Kirişin merkeze uzaklığı \(h = 3\) cm'dir.

Kirişin yarısına \(x\) dersek, yarıçap, kirişin yarısı ve merkeze uzaklık bir dik üçgen oluşturur: \(r^2 = x^2 + h^2\).

\(6^2 = x^2 + 3^2\)

\(36 = x^2 + 9\)

\(x^2 = 27\)

\(x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) cm.

Kirişin uzunluğu \(2x = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) cm'dir. \(6 \cdot 1.7 = 10.2\) cm.

Daire parçasının alanını bulmak için daire diliminin alanından üçgenin alanını çıkarmamız gerekir.

Dik üçgende hipotenüs 6, dik kenarlar 3 ve \(3\sqrt{3}\) olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. 3'ün karşısı 30 derece, \(3\sqrt{3}\)'ün karşısı 60 derecedir.

Merkezden kirişin uçlarına çizilen yarıçaplar ile oluşan ikizkenar üçgenin tepe açısı (merkez açı) \(2 \cdot 60 = 120\) derecedir.

Daire diliminin alanı: \(A_{dilim} = \pi r^2 \frac{\alpha}{360} = 3 \cdot 6^2 \frac{120}{360} = 3 \cdot 36 \cdot \frac{1}{3} = 36\) \(cm^2\).

Üçgenin alanı: Taban kirişin uzunluğu \(6\sqrt{3}\), yükseklik merkeze uzaklık 3 cm.

\(A_{ucgen} = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3}) \cdot 3 = 9\sqrt{3}\) \(cm^2\).

\(9\sqrt{3} \approx 9 \cdot 1.7 = 15.3\) \(cm^2\).

Daire parçasının alanı: \(A_{parca} = A_{dilim} - A_{ucgen} = 36 - 9\sqrt{3}\) \(cm^2\).

Yaklaşık olarak \(36 - 15.3 = 20.7\) \(cm^2\).