🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Daire Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Daire Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında (0,0) olan ve yarıçapı 5 birim olan dairenin standart denklemini yazınız. 💡
Çözüm:
- Bir dairenin standart denklemi, merkezi (h, k) ve yarıçapı r olmak üzere şu şekildedir: \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \).
- Soruda dairenin merkezi orijinde verilmiştir, yani \( h=0 \) ve \( k=0 \).
- Yarıçapı ise \( r=5 \) birim olarak verilmiştir.
- Bu değerleri standart denklemde yerine koyarsak: \( (x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^2 \).
- Denklemi sadeleştirdiğimizde dairenin standart denklemini elde ederiz: \( x^2 + y^2 = 25 \). ✅
Örnek 2:
Merkezi \( M(2, -3) \) ve yarıçapı 4 birim olan dairenin genel denklemini bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Dairenin standart denklemi: \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \).
- Merkez \( M(2, -3) \) olduğundan \( h=2 \) ve \( k=-3 \).
- Yarıçap \( r=4 \) olarak verilmiş.
- Standart denklemde yerine koyalım: \( (x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2 \).
- Bu ifade \( (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16 \) olur.
- Şimdi bu ifadeyi açarak genel denklemi bulalım:
- \( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
- \( (y+3)^2 = y^2 + 6y + 9 \)
- Bu ifadeleri birleştirip 16'yı sol tarafa alalım: \( x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 - 16 = 0 \).
- Terimleri düzenleyerek genel denklemi elde ederiz: \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \). 👉
Örnek 3:
\( x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0 \) denklemi ile verilen dairenin merkezini ve yarıçapını bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Verilen denklem genel denklemdir: \( x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0 \).
- Bu denklemi standart denkleme \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) dönüştürmek için tam kareye tamamlama yöntemini kullanacağız.
- x'li terimleri ve y'li terimleri ayrı gruplayalım: \( (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11 \).
- x'li terimler için: \( x^2 - 6x \) ifadesini tam kare yapmak için \( (-6/2)^2 = (-3)^2 = 9 \) ekleyip çıkarmalıyız.
- y'li terimler için: \( y^2 + 8y \) ifadesini tam kare yapmak için \( (8/2)^2 = 4^2 = 16 \) ekleyip çıkarmalıyız.
- Denklemimiz şu hale gelir: \( (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 8y + 16) - 16 = 11 \).
- Tam kare ifadeleri yazalım: \( (x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 = 11 \).
- Sabit terimleri sağ tarafa atalım: \( (x-3)^2 + (y+4)^2 = 11 + 9 + 16 \).
- \( (x-3)^2 + (y+4)^2 = 36 \).
- Bu denklem standart formdadır. Merkez \( M(h, k) \) ve yarıçap \( r \) ise:
- Merkez: \( h=3 \) ve \( k=-4 \), yani \( M(3, -4) \).
- Yarıçap: \( r^2 = 36 \) olduğundan \( r = \sqrt{36} = 6 \) birimdir. ✅
Örnek 4:
Merkezi \( M(1, 2) \) olan ve \( A(4, 6) \) noktasından geçen dairenin denklemini bulunuz. 🎯
Çözüm:
- Dairenin denklemini bulmak için öncelikle yarıçapını hesaplamamız gerekiyor.
- Yarıçap, dairenin merkezi ile üzerindeki bir nokta arasındaki mesafedir.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).
- Burada \( (x_1, y_1) = (1, 2) \) (merkez) ve \( (x_2, y_2) = (4, 6) \) (nokta A).
- Yarıçap \( r \) şu şekilde hesaplanır: \( r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} \).
- \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \).
- Yani yarıçap \( r = 5 \) birimdir.
- Dairenin merkezi \( M(1, 2) \) ve yarıçapı \( r=5 \) olduğuna göre, standart denklemi: \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5^2 \).
- Denklem: \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \). 👉
Örnek 5:
Bir parkta bulunan dairesel bir süs havuzunun üstten görünümü verilmiştir. Havuzun merkezinin koordinatları \( M(-1, 3) \) ve havuzun kenarında bulunan bir \( P(2, 7) \) noktasının koordinatları bilinmektedir. Bu havuzun çevresini hesaplayınız. ( \( \pi \approx 3.14 \) alınız) ⛲
Çözüm:
- Havuzun çevresini hesaplamak için öncelikle yarıçapını bulmalıyız.
- Yarıçap, havuzun merkezi ile kenarındaki bir nokta arasındaki mesafedir.
- Merkez \( M(-1, 3) \) ve kenardaki nokta \( P(2, 7) \) olduğuna göre, yarıçap \( r \) şu şekilde hesaplanır:
- \( r = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
- \( r = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (7 - 3)^2} \)
- \( r = \sqrt{(2+1)^2 + (4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \).
- Yarıçap \( r = 5 \) birimdir.
- Dairenin çevresi formülü \( Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r \) şeklindedir.
- \( \pi \approx 3.14 \) ve \( r = 5 \) değerlerini yerine koyalım:
- \( Çevre = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 \).
- \( Çevre = 10 \cdot 3.14 = 31.4 \) birimdir. ✅
Örnek 6:
Bir teknoloji mağazasında satılan dairesel bir saat ekranının denklemi \( x^2 + y^2 = 144 \) olarak verilmiştir. Bu saatin ekranının çapı kaç birimdir? ⌚
Çözüm:
- Verilen denklem \( x^2 + y^2 = 144 \) şeklindedir.
- Bu denklem, merkezi orijinde \( (0,0) \) olan bir dairenin standart denklemidir: \( x^2 + y^2 = r^2 \).
- Burada \( r^2 = 144 \) olarak verilmiştir.
- Yarıçapı bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız: \( r = \sqrt{144} \).
- Yarıçap \( r = 12 \) birimdir.
- Soruda saatin ekranının çapı sorulmaktadır.
- Çap, yarıçapın iki katıdır: \( Çap = 2 \cdot r \).
- \( Çap = 2 \cdot 12 = 24 \) birimdir. 👉
Örnek 7:
\( x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0 \) denklemi ile verilen dairenin \( y = x + 1 \) doğrusu ile kesiştiği noktaların koordinatlarını bulunuz. ✂️
Çözüm:
- Dairenin denklemi: \( x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0 \).
- Doğrunun denklemi: \( y = x + 1 \).
- Kesişim noktalarını bulmak için doğrunun denklemindeki \( y \) değerini dairenin denkleminde yerine koyalım.
- \( x^2 + (x+1)^2 - 2x + 4(x+1) - 4 = 0 \).
- İfadeyi açalım ve düzenleyelim:
- \( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
- \( 4(x+1) = 4x + 4 \)
- Yerine koyduğumuzda: \( x^2 + (x^2 + 2x + 1) - 2x + (4x + 4) - 4 = 0 \).
- Terimleri birleştirelim: \( x^2 + x^2 + 2x + 1 - 2x + 4x + 4 - 4 = 0 \).
- \( 2x^2 + 4x + 1 = 0 \).
- Bu bir kuadratik denklemdir. Köklerini bulmak için diskriminant yöntemini kullanabiliriz: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
- Burada \( a=2, b=4, c=1 \).
- \( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \).
- Kökler: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \).
- \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} \).
- \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} \).
- Şimdi bu x değerlerini kullanarak karşılık gelen y değerlerini bulalım (\( y = x + 1 \)):
- \( y_1 = x_1 + 1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{-2 + \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- \( y_2 = x_2 + 1 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{-2 - \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{-\sqrt{2}}{2} \).
- Kesişim noktaları: \( \left( \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \) ve \( \left( \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2} \right) \). ✅
Örnek 8:
Bir lunaparkta bulunan dairesel dönme dolabın merkezinin koordinatları \( (0,0) \) ve tekerleğin yarıçapı 20 metredir. Dönme dolabın en alt noktasının yerden yüksekliği 2 metredir. Dönme dolabın tepesindeki bir kabinin yerden yüksekliğini hesaplayınız. 🎡
Çözüm:
- Dönme dolabın merkezi orijinde \( (0,0) \) ve yarıçapı \( r=20 \) metredir.
- Bu, dönme dolabın denkleminin \( x^2 + y^2 = 20^2 \) yani \( x^2 + y^2 = 400 \) olduğunu gösterir.
- En alt noktasının yerden yüksekliği 2 metre olarak verilmiş.
- Dönme dolabın merkezinin yerden yüksekliği, en alt noktasının yüksekliği ile yarıçapının toplamıdır.
- Merkezin yerden yüksekliği = En alt noktanın yüksekliği + Yarıçap.
- Merkezin yerden yüksekliği = \( 2 \text{ metre} + 20 \text{ metre} = 22 \text{ metre} \).
- Dönme dolabın tepesindeki kabinin yerden yüksekliği ise, merkezin yerden yüksekliği ile yarıçapının toplamıdır.
- Tepedeki kabinin yerden yüksekliği = Merkezin yerden yüksekliği + Yarıçap.
- Tepedeki kabinin yerden yüksekliği = \( 22 \text{ metre} + 20 \text{ metre} = 42 \text{ metre} \). 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-daire/sorular