🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Daire alanı ve çevre Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Daire alanı ve çevre Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı \( r = 8 \) cm olan bir dairenin çevresini ve alanını \(\pi\) cinsinden hesaplayınız. ⭕
Çözüm:
Dairenin temel özelliklerini kullanarak sonuca ulaşalım:
- Çevre Formülü: Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)
- Alan Formülü: Alan = \( \pi \times r^2 \)
Verilenleri yerine koyalım:
- Çevre = \( 2 \times \pi \times 8 = 16\pi \) cm
- Alan = \( \pi \times 8^2 = 64\pi \) cm²
Örnek 2:
Bir çemberde \( 120^\circ \) lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu \( 10\pi \) cm olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Yay uzunluğu formülünü kullanarak yarıçapı bulalım:
Yay Uzunluğu = \( \frac{a}{360} \times 2 \times \pi \times r \)
- Verilenler: Yay uzunluğu = \( 10\pi \), Merkez açı \( a = 120^\circ \)
- Denklemi kuralım: \( 10\pi = \frac{120}{360} \times 2 \times \pi \times r \)
- Sadeleştirme yapalım: \( 10\pi = \frac{1}{3} \times 2 \times \pi \times r \)
- Her iki taraftaki \(\pi\) değerlerini sadeleştirelim: \( 10 = \frac{2}{3} \times r \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 30 = 2 \times r \)
- Buradan \( r = 15 \) cm bulunur.
Örnek 3:
Yarıçapı \( 6 \) cm olan bir dairede, merkez açısı \( 60^\circ \) olan bir daire diliminin alanını bulunuz. 🍕
Çözüm:
Daire diliminin alanını hesaplamak için şu adımları izleriz:
Daire Dilimi Alanı = \( \frac{a}{360} \times \pi \times r^2 \)
- Yarıçap \( r = 6 \) cm
- Merkez açı \( a = 60^\circ \)
- Alan = \( \frac{60}{360} \times \pi \times 6^2 \)
- Alan = \( \frac{1}{6} \times \pi \times 36 \)
- Alan = \( 6\pi \) cm²
Örnek 4:
Bir dairede \( 90^\circ \) lik merkez açının gördüğü yayın uç noktalarını birleştiren kirişin uzunluğu \( 6\sqrt{2} \) cm'dir. Buna göre, bu dairenin alanı kaç \(\pi\) cm²'dir? 🎯
Çözüm:
Bu soruda önce yarıçapı bulmamız gerekir:
- Merkez açı \( 90^\circ \) ise, merkez (O) ve kirişin uç noktaları (A ve B) bir ikizkenar dik üçgen oluşturur.
- OAB üçgeninde \( OA = OB = r \) (yarıçap) ve hipotenüs \( AB = 6\sqrt{2} \) cm'dir.
- Pisagor teoremine göre veya \( 45-45-90 \) üçgeni özelliğinden: \( r\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
- Buradan yarıçap \( r = 6 \) cm bulunur.
- Dairenin Alanı = \( \pi \times r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \) cm²
Örnek 5:
Bir bisikletin tekerleğinin yarıçapı \( 30 \) cm'dir. Bu bisikletle düz bir yolda ilerleyen bir çocuk, tekerlek tam 100 tur attığında kaç metre yol almış olur? (\(\pi = 3\) alınız.) 🚲
Çözüm:
Tekerleğin bir tam turu, çevresi kadar yol almasını sağlar:
- Adım 1: Tekerleğin çevresini hesaplayalım.
- Çevre = \( 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 30 = 180 \) cm
- Adım 2: 100 turda alınan toplam yolu bulalım.
- Toplam Yol = \( 100 \times 180 = 18000 \) cm
- Adım 3: Santimetreyi metreye çevirelim (1 metre = 100 cm).
- Yol = \( 18000 \div 100 = 180 \) metre
Örnek 6:
Bir bahçedeki fıskiye, bulunduğu noktadan itibaren en fazla \( 4 \) metre uzağa su püskürtebilmektedir. Fıskiye, bulunduğu noktada \( 120^\circ \) lik bir açıyla dönerek sulama yaptığına göre, sulanan toplam alan kaç metrekaredir? (\(\pi = 3\) alınız.) 💧
Çözüm:
Fıskiyenin suladığı bölge bir daire dilimidir:
- Yarıçap (suyun ulaştığı mesafe) \( r = 4 \) metre
- Tarama açısı \( a = 120^\circ \)
- Sulanan Alan = \( \frac{a}{360} \times \pi \times r^2 \)
- Alan = \( \frac{120}{360} \times 3 \times 4^2 \)
- Alan = \( \frac{1}{3} \times 3 \times 16 \)
- Alan = \( 1 \times 16 = 16 \) m²
Örnek 7:
Yarıçapı \( 10 \) cm olan bir dairede, \( 60^\circ \) lik bir merkez açının gördüğü daire kesmesinin (segment) alanını bulunuz. (Daire diliminden, kirişin oluşturduğu üçgenin alanını çıkarınız. \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ve \(\pi\) cinsinden bırakınız.) 📐
Çözüm:
Daire kesmesinin alanı için şu formül uygulanır:
Kesme Alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgenin Alanı
- Daire Dilimi Alanı: \( \frac{60}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{1}{6} \times 100\pi = \frac{50\pi}{3} \)
- Üçgenin Alanı (Sinüs Alan Formülü): \( \frac{1}{2} \times r \times r \times \sin(60^\circ) \)
- Üçgenin Alanı = \( \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \)
- Kesme Alanı: \( \frac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3} \) cm²
Örnek 8:
Bir kenar uzunluğu \( 10 \) cm olan bir karenin içine, kenarlarına teğet olacak şekilde bir daire çiziliyor. Karenin köşelerinde kalan boşlukların (taralı alanın) toplamı kaç cm²'dir? (\(\pi = 3\) alınız.) ⬛⚪
Çözüm:
İstenen alan, karenin alanından dairenin alanının çıkarılmasıyla bulunur:
- Karenin Alanı: \( 10 \times 10 = 100 \) cm²
- Dairenin Yarıçapı: Daire kareye teğet olduğu için çapı karenin bir kenarına eşittir. Çap = \( 10 \) cm, ise yarıçap \( r = 5 \) cm olur.
- Dairenin Alanı: \( \pi \times r^2 = 3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75 \) cm²
- Taralı Alan (Boşluklar): Karenin Alanı - Dairenin Alanı
- Taralı Alan = \( 100 - 75 = 25 \) cm²
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-daire-alani-ve-cevre/sorular