💡 11. Sınıf Matematik: Cos ve Sin Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için Cos teoremini kullanacağız. Cos teoremi şu şekildedir:

• \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 6 \), \( b = 8 \), \( C = 60^\circ \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)

Şimdi hesaplamayı yapalım:

• \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \cos(60^\circ) \]
• \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \times 48 \times \frac{1}{2} \]
• \[ c^2 = 100 - 48 \]
• \[ c^2 = 52 \]
• \[ c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \]

Sonuç olarak, \( c \) kenar uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) birimdir. ✅

Bu soruda Sin teoremini kullanmamız gerekiyor. Sin teoremi şu şekildedir:

• \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Ancak bu formül doğrudan \( \cos(A) \) değerini vermez. \( \cos(A) \) değerini bulmak için Cos teoremini kullanmak daha uygundur. Soruda bir hata olmuş olabilir. Cos teoremi ile \( A \) açısının kosinüsünü bulalım:

• \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 8 \)
• \[ 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos(A) \]
• \[ 25 = 49 + 64 - 112 \cos(A) \]
• \[ 25 = 113 - 112 \cos(A) \]
• \[ 112 \cos(A) = 113 - 25 \]
• \[ 112 \cos(A) = 88 \]
• \[ \cos(A) = \frac{88}{112} \]

Kesri sadeleştirelim:

• \[ \cos(A) = \frac{11 \times 8}{14 \times 8} = \frac{11}{14} \]

Dolayısıyla, \( A \) açısının kosinüsü \( \frac{11}{14} \) olarak bulunur. 👉

Bu soruda Sin teoremini kullanarak \( b \) kenar uzunluğunu bulacağız. Sin teoremi şöyledir:

• \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \]

Verilen değerleri formüle yerleştirelim:

• \( A = 45^\circ \), \( B = 60^\circ \), \( a = 10 \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Denklemimiz şu hale gelir:

• \[ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Şimdi \( b \) için çözelim:

• \[ 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = b \times \frac{2}{\sqrt{3}} \]
• \[ \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \]
• \[ b = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• \[ b = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Paydayı rasyonel hale getirelim:

• \[ b = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} \]
• \[ b = 5\sqrt{6} \]

Sonuç olarak, \( b \) kenar uzunluğu \( 5\sqrt{6} \) birimdir. ✨

Cos teoremini \( B \) açısı için uygulayacağız. Cos teoreminin genel formu şöyledir:

• \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \]

Verilen değerleri yerine yerleştirelim:

• \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 9 \)
• \[ 5^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \times 7 \times 9 \times \cos(B) \]
• \[ 25 = 49 + 81 - 126 \cos(B) \]
• \[ 25 = 130 - 126 \cos(B) \]

Şimdi \( \cos(B) \) için denklemi düzenleyelim:

• \[ 126 \cos(B) = 130 - 25 \]
• \[ 126 \cos(B) = 105 \]
• \[ \cos(B) = \frac{105}{126} \]

Kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı da 21'e bölebiliriz:

• \[ \cos(B) = \frac{5 \times 21}{6 \times 21} = \frac{5}{6} \]

Böylece, \( B \) açısının kosinüsü \( \frac{5}{6} \) olarak bulunur. 💯

Bu bir üçgen problemi olarak modellenebilir. Ali, Veli ve Can'ın konumlarını bir üçgenin köşeleri olarak düşünebiliriz.

• Ali'nin konumunu A, Veli'nin konumunu B ve Can'ın konumunu C ile gösterelim.
• \( AB = c = 8 \) metre (Ali ile Veli arasındaki mesafe)
• \( BC = a = 10 \) metre (Veli ile Can arasındaki mesafe)
• Ali ile Can arasındaki açı, yani \( B \) açısı \( 120^\circ \) olarak verilmiş. Bu, \( \hat{B} = 120^\circ \) anlamına gelir.
• Bizden Ali ile Can arasındaki mesafeyi, yani \( AC = b \) kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor.

Bu durumda Cos teoremini kullanacağız:

• \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \]

Değerleri yerine koyalım:

• \( a = 10 \), \( c = 8 \), \( B = 120^\circ \)
• \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \)

Hesaplamayı yapalım:

• \[ b^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \times 10 \times 8 \times \cos(120^\circ) \]
• \[ b^2 = 100 + 64 - 2 \times 80 \times (-\frac{1}{2}) \]
• \[ b^2 = 164 - (-80) \]
• \[ b^2 = 164 + 80 \]
• \[ b^2 = 244 \]
• \[ b = \sqrt{244} \]

\( \sqrt{244} \) ifadesini sadeleştirelim: \( 244 = 4 \times 61 \).

• \[ b = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61} \]

Dolayısıyla, Ali ile Can arasındaki mesafe \( 2\sqrt{61} \) metredir. 🚶‍♂️🚶‍♀️

Bu durumu bir üçgen modeliyle açıklayabiliriz.

• Başlangıç noktası A olsun.
• Gemi doğuya giderek B noktasına varıyor, yani \( AB = 5 \) km. Bu kenarı \( c \) olarak alabiliriz.
• B noktasından sonra 60 derecelik bir açıyla kuzeye doğru ilerliyor. Bu, B noktasındaki iç açının \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olacağı anlamına gelir (Eğer kuzey yönü AB doğrusuna dik kabul edilirse, ancak soruda "60 derecelik bir açıyla kuzeye doğru" ifadesi, B noktasındaki yönünü belirtiyor. Bu durumda, A'dan B'ye giden doğrultu ile B'den C'ye giden doğrultu arasındaki açı, B'deki iç açı olarak alınmalıdır. Eğer B'deki iç açı 60 derece olsaydı, C noktası A'ya daha yakın olurdu. Sorudaki ifadeyi, B noktasındaki yönün, daha önceki doğu yönüne göre 60 derece kuzeye doğru sapma olarak yorumlarsak, B'deki iç açı \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. Ancak, eğer B'deki açı doğrudan \( 60^\circ \) olarak verildiyse, o zaman \( \cos(60^\circ) \) kullanılır. Sorunun netliği açısından, B'deki iç açının \( 60^\circ \) olduğunu varsayalım, bu daha yaygın bir problem tipidir.).
• Yani \( \hat{B} = 60^\circ \).
• B'den C'ye gidilen mesafe \( BC = 7 \) km. Bu kenarı \( a \) olarak alabiliriz.
• Bizden A'dan C'ye olan kuş uçuşu mesafeyi, yani \( AC = b \) kenarını bulmamız isteniyor.

Cos teoremini \( b \) kenarı için uygulayalım:

• \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \]

Değerleri yerine koyalım:

• \( a = 7 \), \( c = 5 \), \( B = 60^\circ \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)

Hesaplamayı yapalım:

• \[ b^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos(60^\circ) \]
• \[ b^2 = 49 + 25 - 2 \times 35 \times \frac{1}{2} \]
• \[ b^2 = 74 - 35 \]
• \[ b^2 = 39 \]
• \[ b = \sqrt{39} \]

Gemi başlangıç noktası A'dan C noktasına kuş uçuşu \( \sqrt{39} \) km uzaktadır. ⚓

Bu soruda Sin teoremini kullanarak \( c \) kenarını bulacağız. Öncelikle \( A \) ve \( B \) açılarının kosinüslerini bulmamız gerekebilir, ancak Sin teoremi doğrudan oranları kullanır. Sin teoremi:

• \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Verilenler:

• \( \sin(A) = \frac{3}{5} \)
• \( \sin(B) = \frac{5}{13} \)
• \( a = 15 \)

Önce \( b \) kenarını bulalım:

• \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \]
• \[ \frac{15}{\frac{3}{5}} = \frac{b}{\frac{5}{13}} \]
• \[ 15 \times \frac{5}{3} = b \times \frac{13}{5} \]
• \[ 25 = \frac{13b}{5} \]
• \[ b = \frac{25 \times 5}{13} = \frac{125}{13} \]

Şimdi \( C \) açısını bulmak için \( \sin(C) \) değerini hesaplamamız gerekiyor. Bir üçgende açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( C = 180^\circ - (A+B) \). Bu durumda \( \sin(C) = \sin(180^\circ - (A+B)) = \sin(A+B) \). \( \sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \) formülünü kullanacağız. \( \sin(A) = \frac{3}{5} \) ise, \( \cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (A açısı dar açı kabul edilirse). \( \sin(B) = \frac{5}{13} \) ise, \( \cos(B) = \sqrt{1 - \sin^2(B)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \) (B açısı dar açı kabul edilirse). Şimdi \( \sin(C) \) değerini hesaplayalım:

• \[ \sin(C) = \sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \]
• \[ \sin(C) = (\frac{3}{5})(\frac{12}{13}) + (\frac{4}{5})(\frac{5}{13}) \]
• \[ \sin(C) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65} \]

Son olarak \( c \) kenarını bulmak için Sin teoremini kullanalım:

• \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)} \]
• \[ \frac{15}{\frac{3}{5}} = \frac{c}{\frac{56}{65}} \]
• \[ 25 = \frac{65c}{56} \]
• \[ c = \frac{25 \times 56}{65} \]

Kesri sadeleştirelim: 25 ve 65, 5'e bölünür.

• \[ c = \frac{5 \times 56}{13} = \frac{280}{13} \]

Dolayısıyla, \( c \) kenar uzunluğu \( \frac{280}{13} \) birimdir. 🚀

Bu soruda Cos teoremini kullanarak \( \cos(A) \) değerini bulacağız. Cos teoreminin \( A \) açısı için olan formu şöyledir:

• \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \( a = 8 \), \( b = 10 \), \( c = 12 \)
• \[ 8^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \times 10 \times 12 \times \cos(A) \]
• \[ 64 = 100 + 144 - 240 \cos(A) \]
• \[ 64 = 244 - 240 \cos(A) \]

Şimdi \( \cos(A) \) için denklemi çözelim:

• \[ 240 \cos(A) = 244 - 64 \]
• \[ 240 \cos(A) = 180 \]
• \[ \cos(A) = \frac{180}{240} \]

Kesri sadeleştirelim:

• \[ \cos(A) = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \]

Yani, \( \cos(A) = 0.75 \). Şimdi \( A \) açısının yaklaşık değerini hesaplayalım. Bildiğimiz değerler: \( \cos(60^\circ) = 0.5 \) ve \( \cos(90^\circ) = 0 \). \( \cos(A) = 0.75 \) değeri, \( \cos(60^\circ) = 0.5 \) değerinden daha büyüktür. Kosinüs fonksiyonu dar açılarda azalan bir fonksiyondur. Bu demektir ki, kosinüs değeri arttıkça açı küçülür. Bu nedenle, \( A \) açısı \( 60^\circ \) 'den daha küçüktür. Ayrıca, \( \cos(0^\circ) = 1 \) olduğunu biliyoruz. \( 0.75 \) değeri 0.5'ten büyük ve 1'e daha yakındır. Bu bilgiyle, \( A \) açısının \( 60^\circ \) 'den küçük olduğunu ve \( 0^\circ \) ile \( 60^\circ \) arasında bir değer olduğunu söyleyebiliriz. Kesin bir değer hesaplamak için daha fazla bilgi veya hesap makinesi gerekir, ancak \( A \) açısının \( 60^\circ \) 'den küçük olduğu kesindir. 🧭

Bu problemi bir üçgen problemi olarak ele alabiliriz.

• A, B ve C şehirlerini bir üçgenin köşeleri olarak düşünelim.
• A ile B arasındaki mesafe \( AB = c = 100 \) km.
• B ile C arasındaki mesafe \( BC = a = 120 \) km.
• A noktasındaki açı, yani \( \hat{A} = 70^\circ \).
• Bizden A ile C arasındaki mesafeyi, yani \( AC = b \) kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor.

Bu durumda Cos teoremini \( b \) kenarı için kullanacağız:

• \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(A) \]

Verilen değerleri formüle yerleştirelim:

• \( a = 120 \), \( c = 100 \), \( A = 70^\circ \)
• \( \cos(70^\circ) \) değerini yaklaşık olarak \( 0.342 \) alabiliriz (Bu tür sorularda genellikle yaklaşık değerler verilir veya bu bilgi soruda belirtilir. Eğer belirtilmemişse, bu bir tahmin sorusu olarak düşünülebilir.).

Hesaplamayı yapalım:

• \[ b^2 = 120^2 + 100^2 - 2 \times 120 \times 100 \times \cos(70^\circ) \]
• \[ b^2 = 14400 + 10000 - 24000 \times 0.342 \]
• \[ b^2 = 24400 - 8208 \]
• \[ b^2 = 16192 \]
• \[ b = \sqrt{16192} \]

\( \sqrt{16192} \) değerini yaklaşık olarak hesaplarsak: \( 120^2 = 14400 \) ve \( 130^2 = 16900 \). Bu değer \( 120 \) ile \( 130 \) arasında bir değerdir. Yaklaşık olarak \( 127.2 \) km civarındadır. Dolayısıyla, A ile C şehirleri arasındaki mesafe yaklaşık olarak \( 127.2 \) km'dir. ✈️