🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Cos Fonksiyon Grafiği Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Cos Fonksiyon Grafiği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Temel kosinüs fonksiyonu \( y = \cos(x) \) grafiğini çizelim. Bu fonksiyonun periyodu ve değer aralığı nedir? 💡
Çözüm:
Temel kosinüs fonksiyonu \( y = \cos(x) \) için adımlar şunlardır:
- Periyot: Kosinüs fonksiyonunun temel periyodu \( 2\pi \) radyandır. Bu, grafiğin her \( 2\pi \) birimde bir tekrarlandığı anlamına gelir.
- Değer Aralığı: Kosinüs fonksiyonunun alabileceği en küçük değer -1, en büyük değer ise 1'dir. Yani değer aralığı \( [-1, 1] \) olur.
- Önemli Noktalar:
- \( x = 0 \) iken \( \cos(0) = 1 \) (Maksimum değer)
- \( x = \frac{\pi}{2} \) iken \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \)
- \( x = \pi \) iken \( \cos(\pi) = -1 \) (Minimum değer)
- \( x = \frac{3\pi}{2} \) iken \( \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \)
- \( x = 2\pi \) iken \( \cos(2\pi) = 1 \) (Periyodun sonu, tekrar başı)
Örnek 2:
\( y = 2\cos(x) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Bu fonksiyonun genliği nedir? 🤔
Çözüm:
\( y = 2\cos(x) \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için şu adımları izleyelim:
- Temel Fonksiyon: \( y = \cos(x) \) fonksiyonunu temel alırız.
- Genlik Değişimi: Fonksiyonun başındaki 2 katsayısı, genliği değiştirir. Genlik, grafiğin denge noktasından (burada x-ekseni) maksimum veya minimuma olan uzaklığıdır.
- Genlik: \( y = 2\cos(x) \) fonksiyonunun genliği 2'dir. Bu, grafiğin \( y=2 \) ile \( y=-2 \) arasında salınım yapacağı anlamına gelir.
- Periyot: Katsayı 2, periyodu değiştirmez. Periyot hala \( 2\pi \)'dir.
- Önemli Noktalar:
- \( x = 0 \) iken \( y = 2\cos(0) = 2 \times 1 = 2 \)
- \( x = \frac{\pi}{2} \) iken \( y = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0 \)
- \( x = \pi \) iken \( y = 2\cos(\pi) = 2 \times (-1) = -2 \)
- \( x = \frac{3\pi}{2} \) iken \( y = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0 \)
- \( x = 2\pi \) iken \( y = 2\cos(2\pi) = 2 \times 1 = 2 \)
Örnek 3:
\( y = \cos(2x) \) fonksiyonunun periyodunu bulunuz ve grafiğini \( y = \cos(x) \) ile karşılaştırınız. 🧐
Çözüm:
\( y = \cos(2x) \) fonksiyonunun periyodunu ve grafiğini inceleyelim:
- Periyot Hesaplama: Genel olarak \( y = \cos(bx) \) fonksiyonunun periyodu \( \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile bulunur.
- Periyot: Bu fonksiyon için \( b=2 \)'dir. Dolayısıyla periyot \( \frac{2\pi}{2} = \pi \) olur.
- Karşılaştırma:
- \( y = \cos(x) \) fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \) iken, \( y = \cos(2x) \) fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
- Bu, \( y = \cos(2x) \) grafiğinin, \( y = \cos(x) \) grafiğine göre daha sık tekrarlandığı anlamına gelir. Bir \( 2\pi \) aralığında \( y = \cos(2x) \) grafiği iki tam dalga yaparken, \( y = \cos(x) \) grafiği sadece bir tam dalga yapar.
- Genlik: Her iki fonksiyonda da genlik 1'dir.
Örnek 4:
\( y = \cos(x) + 1 \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Bu fonksiyonun düşey ötelemesi nedir? ⬆️
Çözüm:
\( y = \cos(x) + 1 \) fonksiyonunun grafiğini adım adım oluşturalım:
- Temel Fonksiyon: \( y = \cos(x) \) fonksiyonunu temel alırız.
- Düşey Öteleme: Fonksiyona eklenen '+1' terimi, grafiğin düşey ekseninde yukarı doğru ötelendiğini gösterir.
- Öteleme Miktarı: Grafik, \( y = \cos(x) \) grafiğine göre 1 birim yukarı ötelenir.
- Yeni Denge Noktası: \( y = \cos(x) \) için denge noktası x-ekseni (\( y=0 \)) iken, \( y = \cos(x) + 1 \) için denge noktası \( y=1 \) doğrusu olur.
- Yeni Değer Aralığı: Orijinal aralık \( [-1, 1] \) idi. 1 birim yukarı ötelendiğinde yeni aralık \( [-1+1, 1+1] = [0, 2] \) olur.
- Önemli Noktalar:
- \( x = 0 \) iken \( y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2 \) (Maksimum)
- \( x = \frac{\pi}{2} \) iken \( y = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- \( x = \pi \) iken \( y = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0 \) (Minimum)
- \( x = \frac{3\pi}{2} \) iken \( y = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- \( x = 2\pi \) iken \( y = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2 \)
Örnek 5:
\( y = 3\cos(x - \frac{\pi}{2}) \) fonksiyonunun genliğini, periyodunu ve yatay ötelemesini bulunuz. 🧭
Çözüm:
\( y = 3\cos(x - \frac{\pi}{2}) \) fonksiyonunun özelliklerini belirleyelim:
- Genlik: Fonksiyonun başındaki katsayı 3'tür. Bu nedenle genlik 3'tür.
- Periyot: Fonksiyon \( y = \cos(bx) \) formundadır ve burada \( b=1 \)'dir. Dolayısıyla periyot \( \frac{2\pi}{1} = 2\pi \)'dir.
- Yatay Öteleme: Fonksiyon \( y = \cos(x - c) \) formundadır. Buradaki \( c = \frac{\pi}{2} \)'dir. Kosinüs fonksiyonunda parantez içi eksi ise sağa, artı ise sola öteleme yapılır.
- Öteleme Yönü ve Miktarı: \( x - \frac{\pi}{2} \) olduğu için grafik \( \frac{\pi}{2} \) birim sağa ötelenmiştir.
- Grafik Yorumu: Bu fonksiyon aslında \( y = 3\sin(x) \) fonksiyonuna eşittir çünkü \( \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x) \).
Örnek 6:
Bir ses dalgasının genliği 5 birim ve periyodu \( \pi \) saniye olarak ölçülmüştür. Bu ses dalgasını temsil eden kosinüs fonksiyonunu yazınız. 🔊
Çözüm:
Ses dalgasını temsil eden kosinüs fonksiyonunu bulmak için verilen bilgileri kullanalım:
- Genlik: Genlik \( A = 5 \) birim olarak verilmiş.
- Periyot: Periyot \( T = \pi \) saniye olarak verilmiş.
- Periyot Formülü: Kosinüs fonksiyonunun genel formu \( y = A\cos(bx + c) + d \) şeklindedir. Periyot \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile bulunur.
- \( b \) Değerini Bulma: Verilen periyot \( \pi \) ise, \( \pi = \frac{2\pi}{|b|} \) denklemini çözeriz. Buradan \( |b| = 2 \) elde ederiz. Genellikle \( b \) pozitif alınır, yani \( b=2 \).
- Fonksiyonun Yazılması: Genlik \( A=5 \) ve \( b=2 \) değerlerini kullanarak temel kosinüs fonksiyonunu yazabiliriz. Yatay ve düşey öteleme bilgisi verilmediği için \( c=0 \) ve \( d=0 \) alabiliriz.
- Sonuç Fonksiyonu: \( y = 5\cos(2x) \)
Örnek 7:
Bir bisiklet tekerleğinin üzerindeki bir noktanın yerden yüksekliğini modelleyen bir fonksiyon düşünelim. Tekerleğin yarıçapı 30 cm ve tekerlek tam turunu 2 saniyede tamamlıyor. Tekerleğin en alt noktası yerden 5 cm yükseklikte olduğuna göre, bu noktayı temsil eden kosinüs fonksiyonunu yazınız. 🚴
Çözüm:
Bisiklet tekerleğindeki noktanın yerden yüksekliğini modelleyen fonksiyonu adım adım oluşturalım:
- Yarıçap ve Genlik: Tekerleğin yarıçapı 30 cm'dir. Bu, noktanın denge noktasından maksimum sapmasını belirler, yani genlik \( A = 30 \) cm olur.
- Periyot: Tekerlek tam turunu 2 saniyede tamamlıyor. Bu, fonksiyonun periyodunun \( T = 2 \) saniye olduğu anlamına gelir.
- \( b \) Değerini Bulma: Periyot formülü \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) idi. \( 2 = \frac{2\pi}{|b|} \) denklemini çözersek \( |b| = 1 \) buluruz. \( b=1 \) alalım.
- Denge Noktası (Düşey Öteleme): Tekerleğin en alt noktası yerden 5 cm yükseklikte. Tekerleğin merkezi yerden \( 5 + 30 = 35 \) cm yüksekliktedir. Bu, fonksiyonun denge noktasını (düşey öteleme \( d \)) belirler. Yani \( d = 35 \) cm'dir.
- Başlangıç Noktası ve Öteleme: Tekerleğin üzerindeki nokta, en alt noktadan başladığı için, kosinüs fonksiyonunu minimum değerden başlatmak yerine, bir düşey öteleme ile \( y = \cos(x) \) fonksiyonunu \( y = -\cos(x) \) şeklinde düşünebiliriz (çünkü en alt nokta minimumdur). Ancak, denge noktasını 35 cm alarak ve genliği 30 cm olarak kullanarak bu durumu da kapsayabiliriz. En alt noktada \( y=5 \) olmalı.
- Fonksiyonun Yazılması:
- Genlik \( A = 30 \).
- Periyot \( T=2 \implies b=1 \).
- Denge noktası \( d = 35 \).
- En alt noktada (örneğin \( t=0 \) anında) \( y=5 \) olmalı.
- \( y = A\cos(bt + c) + d \) formülünü kullanırsak: \( y = 30\cos(1 \cdot t + c) + 35 \).
- \( t=0 \) iken \( y=5 \) olmalı: \( 5 = 30\cos(c) + 35 \).
- \( -30 = 30\cos(c) \implies \cos(c) = -1 \).
- Bu durumda \( c = \pi \) alabiliriz.
- Sonuç Fonksiyonu: \( y(t) = 30\cos(t + \pi) + 35 \).
- Alternatif (Daha Basit Yaklaşım): \( y = \cos(x) \) fonksiyonunun minimum değeri -1'dir. Bizim fonksiyonumuzun minimum değeri 5 olmalı. Denge noktası 35. \( y = A\cos(b(t-h)) + k \) formülünde \( A=30, b=1, k=35 \) olduğunda, minimum değer \( 35 - 30 = 5 \) olur. \( t=0 \) anında minimum olması için \( \cos(b(t-h)) \) ifadesinin -1 olması gerekir. \( \cos(1(0-h)) = -1 \implies \cos(-h) = -1 \implies \cos(h) = -1 \). Buradan \( h = \pi \) alabiliriz.
- Sonuç Fonksiyonu (Alternatif): \( y(t) = 30\cos(t - \pi) + 35 \).
- Not: \( \cos(t + \pi) = \cos(t - \pi) = -\cos(t) \) olduğundan, \( y(t) = -30\cos(t) + 35 \) fonksiyonu da aynı durumu ifade eder.
Örnek 8:
\( y = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}) + 2 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için gerekli olan periyot, genlik ve öteleme bilgilerini açıklayınız. 🗺️
Çözüm:
\( y = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}) + 2 \) fonksiyonunun grafik özelliklerini detaylıca inceleyelim:
- Genlik (A): Fonksiyonun başındaki katsayı 1'dir (belirtilmemişse 1 kabul edilir). Dolayısıyla genlik \( A = 1 \)'dir. Bu, grafiğin denge noktasından 1 birim yukarı ve 1 birim aşağı salınım yapacağı anlamına gelir.
- Periyot (T): Fonksiyon \( y = \cos(bx + c) + d \) formundadır. Buradaki \( b = \frac{1}{3} \)'tür. Periyot \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile hesaplanır.
- Periyot Hesaplama: \( T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 2\pi \times 3 = 6\pi \). Grafiğin her \( 6\pi \) birimde bir tekrarlandığını gösterir.
- Yatay Öteleme (h): Fonksiyon \( y = \cos(b(x-h)) \) şeklinde yazılabilir. Fonksiyonu \( \cos(\frac{1}{3}(x - \frac{\pi}{6} \times 3)) \) şeklinde düzenlersek \( \cos(\frac{1}{3}(x - \frac{\pi}{2})) \) elde ederiz.
- Yatay Öteleme Miktarı ve Yönü: Buradan \( h = \frac{\pi}{2} \) bulunur. Parantez içi \( (x - \frac{\pi}{2}) \) olduğu için grafik \( \frac{\pi}{2} \) birim sağa ötelenmiştir.
- Düşey Öteleme (d): Fonksiyonun sonundaki '+2' terimi, grafiğin düşey ekseninde yukarı doğru ötelenmiş olduğunu gösterir.
- Düşey Öteleme Miktarı: Grafik 2 birim yukarı ötelenmiştir.
- Yeni Denge Noktası: Orijinal \( y = \cos(x) \) fonksiyonunun denge noktası \( y=0 \) iken, bu fonksiyonun denge noktası \( y=2 \) doğrusudur.
- Yeni Değer Aralığı: Genlik 1 ve düşey öteleme 2 olduğundan, fonksiyonun alabileceği en küçük değer \( 2 - 1 = 1 \) ve en büyük değer \( 2 + 1 = 3 \) olacaktır. Değer aralığı \( [1, 3] \)'tür.
Örnek 9:
Bir şehrin aylık ortalama sıcaklık değişimini kosinüs fonksiyonu ile modelleyebiliriz. Eğer en düşük ortalama sıcaklık -5°C (Ocak ayında) ve en yüksek ortalama sıcaklık 25°C (Temmuz ayında) ise, bu durumu temsil eden bir kosinüs fonksiyonu yazınız. (Not: Yıl 12 ay kabul edilecektir.) 🌡️
Çözüm:
Şehrin aylık ortalama sıcaklık değişimini modelleyen kosinüs fonksiyonunu oluşturalım:
- Periyot: Yıl 12 ay olduğu için fonksiyonun periyodu \( T = 12 \) aydır.
- \( b \) Değerini Bulma: Periyot formülü \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) idi. \( 12 = \frac{2\pi}{|b|} \) denklemini çözersek \( |b| = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \) buluruz. \( b = \frac{\pi}{6} \) alalım.
- Genlik (A): En yüksek sıcaklık 25°C ve en düşük sıcaklık -5°C'dir.
- Genlik Hesaplama: Genlik, maksimum ve minimum değerin ortalaması ile en yüksek (veya en düşük) değer arasındaki farktır.
- Denge Noktası (d): Denge noktası, maksimum ve minimum değerlerin ortalamasıdır: \( d = \frac{25 + (-5)}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) °C. Bu, fonksiyonun düşey ötelemesidir.
- Genlik Hesaplama (Tekrar): Genlik \( A = \text{Maksimum} - \text{Denge Noktası} = 25 - 10 = 15 \) °C. Veya \( A = \text{Denge Noktası} - \text{Minimum} = 10 - (-5) = 15 \) °C.
- Yatay Öteleme (h): En düşük sıcaklık Ocak ayında (1. ay) ve en yüksek sıcaklık Temmuz ayında (7. ay) yaşanıyor. Kosinüs fonksiyonu genellikle en yüksek değerden başlar. Bizim durumumuzda en düşük değerden başlıyoruz. \( y = \cos(x) \) fonksiyonu \( x=0 \) (veya \( x=2\pi \)) noktasında maksimuma ulaşır. \( y = -\cos(x) \) fonksiyonu ise \( x=0 \) (veya \( x=2\pi \)) noktasında minimuma ulaşır.
- Fonksiyonun Oluşturulması: En düşük sıcaklık 1. ayda yaşandığına göre, fonksiyonu \( y = -A\cos(b(t-h)) + d \) formunda düşünebiliriz, burada \( t \) ayı temsil eder.
- Yatay Öteleme (h) Bulma: Minimum değer \( t=1 \) ayında gerçekleşiyor. \( y = -\cos(\frac{\pi}{6}(t-h)) + 10 \).
- \( t=1 \) iken \( y=-5 \) olmalı: \( -5 = -15\cos(\frac{\pi}{6}(1-h)) + 10 \).
- \( -15 = -15\cos(\frac{\pi}{6}(1-h)) \implies \cos(\frac{\pi}{6}(1-h)) = 1 \).
- Bu durumun gerçekleşmesi için \( \frac{\pi}{6}(1-h) \) ifadesinin \( 0 \) veya \( 2\pi \) gibi \( 2k\pi \) katları olması gerekir.
- \( \frac{\pi}{6}(1-h) = 0 \implies 1-h=0 \implies h=1 \).
- Sonuç Fonksiyonu: \( y(t) = -15\cos(\frac{\pi}{6}(t-1)) + 10 \).
- Kontrol:
- \( t=1 \) (Ocak): \( y(1) = -15\cos(\frac{\pi}{6}(1-1)) + 10 = -15\cos(0) + 10 = -15(1) + 10 = -5 \) °C. (Doğru)
- \( t=7 \) (Temmuz): \( y(7) = -15\cos(\frac{\pi}{6}(7-1)) + 10 = -15\cos(\frac{\pi}{6}(6)) + 10 = -15\cos(\pi) + 10 = -15(-1) + 10 = 15 + 10 = 25 \) °C. (Doğru)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-cos-fonksiyon-grafigi/sorular