💡 11. Sınıf Matematik: Çevrel çember ve sinüs teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende kenar uzunluklarının, karşılarındaki açıların sinüslerine oranı, çevrel çemberin çapına eşittir.

• Sinüs Teoremi formülü şöyledir: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), burada R çevrel çemberin yarıçapıdır.
• Soruda verilenler: \( c = AB = 6 \) cm, \( a = BC = 8 \) cm ve \( \angle A = 30^\circ \).
• Bizden istenen çevrel çemberin yarıçapı (R).
• Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{a}{\sin A} = 2R \).
• \( \frac{8}{\sin 30^\circ} = 2R \)
• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{8}{\frac{1}{2}} = 2R \)
• \( 8 \times 2 = 2R \)
• \( 16 = 2R \)
• Her iki tarafı 2'ye bölersek: \( R = 8 \) cm bulunur.

✅ Sonuç olarak, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 8 cm'dir.

Bu soruyu çözmek için öncelikle verilmeyen \( c \) kenarını bulmamız gerekiyor. Ardından Sinüs Teoremi'ni kullanarak çevrel çemberin yarıçapını hesaplayabiliriz.

• Kosinüs Teoremi'ni kullanarak \( c \) kenarını bulalım: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \).
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \times 10 \times 12 \times \cos 60^\circ \).
• \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( c^2 = 100 + 144 - 2 \times 10 \times 12 \times \frac{1}{2} \).
• \( c^2 = 244 - 120 \).
• \( c^2 = 124 \).
• \( c = \sqrt{124} = \sqrt{4 \times 31} = 2\sqrt{31} \) cm.
• Şimdi Sinüs Teoremi'ni kullanalım: \( \frac{c}{\sin C} = 2R \).
• \( \frac{2\sqrt{31}}{\sin 60^\circ} = 2R \).
• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{2\sqrt{31}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \).
• \( 2\sqrt{31} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R \).
• \( \frac{4\sqrt{31}}{\sqrt{3}} = 2R \).
• Paydayı rasyonel yapalım: \( \frac{4\sqrt{31} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = 2R \).
• \( \frac{4\sqrt{93}}{3} = 2R \).
• Her iki tarafı 2'ye bölersek: \( R = \frac{2\sqrt{93}}{3} \) cm bulunur.

📌 Unutmayın, çevrel çemberin yarıçapını bulmak için genellikle Sinüs Teoremi kullanılır. Bazen kenar uzunluklarını bulmak için Kosinüs Teoremi'ne de başvurmak gerekebilir.

Bu problem, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulma problemine dönüşmektedir. Fıskiyenin göletin köşelerine olan uzaklığı, çevrel çemberin yarıçapına eşittir.

• Öncelikle üçgenin kenar uzunluklarını \( a=7 \), \( b=8 \), \( c=9 \) olarak alalım.
• Çevrel çemberin yarıçapını bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız: \( \frac{a}{\sin A} = 2R \). Bu formülü kullanabilmek için bir açının sinüs değerini bilmemiz gerekir. Bunu bulmak için öncelikle Heron formülü ile üçgenin alanını hesaplayalım.
• Üçgenin yarı çevresi (u): \( u = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) metre.
• Heron Formülü ile Alan (A): \( A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \).
• \( A = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \) metrekare.
• \( \sqrt{720} = \sqrt{144 \times 5} = 12\sqrt{5} \) metrekare.
• Üçgenin alan formülü aynı zamanda \( A = \frac{abc}{4R} \) şeklindedir.
• Bu formülü R'yi bulmak için düzenleyelim: \( R = \frac{abc}{4A} \).
• Değerleri yerine koyalım: \( R = \frac{7 \times 8 \times 9}{4 \times 12\sqrt{5}} \).
• \( R = \frac{504}{48\sqrt{5}} \).
• Sadeleştirme yapalım: \( R = \frac{21}{2\sqrt{5}} \).
• Paydayı rasyonel yapalım: \( R = \frac{21 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10} \) metre.

👉 Bu sonuç, fıskiyenin göletin her köşesine olan uzaklığını, yani çevrel çemberin yarıçapını ifade eder.

Dik üçgenlerde çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır. Bu nedenle, çevrel çemberin çapı hipotenüsün uzunluğuna eşittir.

• Öncelikle Pisagor teoremi ile hipotenüsün uzunluğunu bulalım: \( c^2 = a^2 + b^2 \).
• Burada \( a=5 \) cm ve \( b=12 \) cm'dir.
• \( c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
• \( c = \sqrt{169} = 13 \) cm.
• Bu hipotenüs uzunluğu, çevrel çemberin çapıdır.
• Çap = \( 13 \) cm.
• Çevrel çemberin yarıçapı (R) ise çapın yarısıdır: \( R = \frac{\text{Çap}}{2} \).
• \( R = \frac{13}{2} = 6.5 \) cm.

✅ Bir dik üçgende çevrel çemberin yarıçapı, hipotenüsün yarısıdır. Bu bilgi soruyu çok daha hızlı çözmenizi sağlar.

Bu soruda Sinüs Teoremi'ni doğrudan kullanabiliriz. Kenar uzunluklarından birini ve karşısındaki açıyı biliyoruz.

• Sinüs Teoremi'ne göre: \( \frac{c}{\sin C} = 2R \).
• Ancak biz \( \angle C \) açısını bilmiyoruz. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan \( \angle C \)'yi bulabiliriz.
• \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
• Şimdi Sinüs Teoremi'ni \( \angle A \) ve \( a \) kenarı için kullanalım: \( \frac{a}{\sin A} = 2R \).
• Bunu kullanmak için \( a \) kenarını bulmamız gerekiyor. Sinüs Teoremi'ni kullanarak \( a \) kenarını bulabiliriz: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).
• \( \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin 75^\circ} \).
• \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).
• \( a = \frac{10\sqrt{2} \times \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{10\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{10 \times \frac{2}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{40}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \).
• Paydayı rasyonel yapalım: \( a = \frac{40(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{40(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{40(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 10(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
• Şimdi \( \frac{a}{\sin A} = 2R \) formülünü kullanalım:
• \( \frac{10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sin 45^\circ} = 2R \).
• \( \frac{10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \).
• \( 10(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \).
• \( \frac{20(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 2R \).
• \( \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}} = 2R \).
• \( 20(\sqrt{3}-1) = 2R \).
• \( R = 10(\sqrt{3}-1) \) cm.

💡 Alternatif olarak, \( \frac{c}{\sin C} = 2R \) formülünü de kullanabilirdik ancak \( \sin 75^\circ \) değerini bilmek gerekiyordu. Bu soruda \( \angle A \) ve \( c \) verilmiş, bu nedenle \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \) ilişkisini kullanarak önce \( a \) kenarını bulmak daha yaygın bir yaklaşımdır.

Dikdörtgenin çevrel çemberinin çapı, dikdörtgenin köşegeninin uzunluğuna eşittir.

• Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( a = 100 \) metre ve \( b = 70 \) metre'dir.
• Köşegen uzunluğunu (d) Pisagor teoremi ile bulalım: \( d^2 = a^2 + b^2 \).
• \( d^2 = 100^2 + 70^2 = 10000 + 4900 = 14900 \).
• \( d = \sqrt{14900} = \sqrt{100 \times 149} = 10\sqrt{149} \) metre.
• Bu köşegen uzunluğu, dikdörtgenin çevrel çemberinin çapıdır.
• Çap = \( 10\sqrt{149} \) metre.
• Çevrel çemberin yarıçapı (R) ise çapın yarısıdır: \( R = \frac{\text{Çap}}{2} \).
• \( R = \frac{10\sqrt{149}}{2} = 5\sqrt{149} \) metre.

👉 Bu yarıçap değeri, antrenörün belirleyeceği noktanın sahanın her köşesine olan eşit uzaklığını ifade eder.

Bu soruda Sinüs Teoremi'ni doğrudan kullanabiliriz. Kenar uzunluklarından birini ve karşıdaki açının sinüsünü biliyoruz.

• Sinüs Teoremi'ne göre: \( \frac{a}{\sin A} = 2R \).
• Soruda verilenler: \( a = BC = 6 \) birim, \( \sin A = \frac{3}{5} \).
• Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{6}{\frac{3}{5}} = 2R \).
• \( 6 \times \frac{5}{3} = 2R \).
• \( \frac{30}{3} = 2R \).
• \( 10 = 2R \).
• Her iki tarafı 2'ye bölersek: \( R = 5 \) birim bulunur.

📌 Sinüs Teoremi, kenar uzunlukları ve açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi kurarak çevrel çemberin yarıçapını bulmada çok güçlü bir araçtır.

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı, çevrel çemberin çapına eşittir.

• Sinüs Teoremi formülü: \( \frac{c}{\sin C} = 2R \).
• Soruda verilenler: \( c = AB = 10 \) cm ve \( \angle C = 30^\circ \).
• Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{10}{\sin 30^\circ} = 2R \).
• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R \).
• \( 10 \times 2 = 2R \).
• \( 20 = 2R \).
• Her iki tarafı 2'ye bölersek: \( R = 10 \) cm bulunur.

✅ Sonuç olarak, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 10 cm'dir.

Eşkenar üçgenlerde tüm kenar uzunlukları eşittir ve tüm iç açılar \( 60^\circ \)'dir. Çevrel çemberin yarıçapı verildiğinde, kenar uzunluğunu Sinüs Teoremi ile bulabiliriz.

• Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğunu \( a \) ile gösterelim.
• Eşkenar üçgende her açı \( 60^\circ \) olduğundan \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \)'dir.
• Çevrel çemberin yarıçapı \( R = 6 \) metre olarak verilmiştir.
• Sinüs Teoremi'ne göre: \( \frac{a}{\sin A} = 2R \).
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{a}{\sin 60^\circ} = 2 \times 6 \).
• \( \frac{a}{\sin 60^\circ} = 12 \).
• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12 \).
• \( a = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( a = 6\sqrt{3} \) metre.

👉 Bu sonuç, mimarın kullanacağı eşkenar üçgen platformun bir kenar uzunluğunu ifade eder.