🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Çemberin Temel Elemanları Ve Kiriş Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Çemberin Temel Elemanları Ve Kiriş Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merkezi O noktası olan bir çemberde yarıçap 5 cm olarak verilmiştir. Bu çemberin çapı kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- Çemberin yarıçapı, merkezinden çember üzerindeki bir noktaya kadar olan uzaklıktır.
- Çemberin çapı ise çemberin merkezinden geçen ve çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasıdır.
- Çap, yarıçapın iki katıdır.
- Verilen yarıçap \( r = 5 \) cm'dir.
- Çap \( d = 2 \times r \) formülü ile bulunur.
- Bu durumda çap \( d = 2 \times 5 \) cm = 10 cm olur. ✅
Örnek 2:
Bir çemberin merkezinden 8 cm uzaklıkta bir kiriş bulunmaktadır. Çemberin yarıçapı 10 cm olduğuna göre, bu kirişin uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
- Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.
- Merkezden kirişe olan uzaklık, yarıçap ve kirişin yarısı ile bir dik üçgen oluşturur.
- Bu dik üçgende Pisagor teoremini uygulayabiliriz.
- Yarıçap (hipotenüs) \( r = 10 \) cm, merkezden uzaklık (dik kenar) \( h = 8 \) cm'dir.
- Kirişin yarısı \( k/2 \) olsun. Pisagor teoremine göre: \( h^2 + (k/2)^2 = r^2 \)
- \( 8^2 + (k/2)^2 = 10^2 \)
- \( 64 + (k/2)^2 = 100 \)
- \( (k/2)^2 = 100 - 64 = 36 \)
- \( k/2 = \sqrt{36} = 6 \) cm
- Kirişin tamamı \( k = 2 \times 6 \) cm = 12 cm olur. 👉
Örnek 3:
Merkezi O noktası olan çemberde, AB kirişinin uzunluğu 16 birimdir. O noktasından AB kirişine indirilen dikmenin uzunluğu 6 birimdir. Bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler.
- AB kirişinin uzunluğu 16 birim ise, kirişin her bir parçası \( 16 / 2 = 8 \) birim olur.
- Merkezden kirişe indirilen dikme (6 birim), kirişin yarısı (8 birim) ve çemberin yarıçapı (r) bir dik üçgen oluşturur.
- Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı bulabiliriz: \( dikme^2 + (kiriş/2)^2 = yarıçap^2 \)
- \( 6^2 + 8^2 = r^2 \)
- \( 36 + 64 = r^2 \)
- \( 100 = r^2 \)
- \( r = \sqrt{100} = \) 10 birimdir. 🌟
Örnek 4:
Yarıçapı 13 cm olan bir çemberde, merkezden 5 cm uzaklıkta bir kiriş çizilmiştir. Bu kirişin uzunluğu kaç cm'dir? ✍️
Çözüm:
- Bu soruda da Pisagor teoremini kullanacağız.
- Çemberin yarıçapı \( r = 13 \) cm'dir (hipotenüs).
- Merkezden kirişe olan uzaklık \( h = 5 \) cm'dir (bir dik kenar).
- Kirişin yarısı \( k/2 \) ise diğer dik kenardır.
- Formülümüz: \( h^2 + (k/2)^2 = r^2 \)
- \( 5^2 + (k/2)^2 = 13^2 \)
- \( 25 + (k/2)^2 = 169 \)
- \( (k/2)^2 = 169 - 25 = 144 \)
- \( k/2 = \sqrt{144} = 12 \) cm
- Kirişin tamamı \( k = 2 \times 12 \) cm = 24 cm'dir. 💯
Örnek 5:
Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm'dir. Tekerlek, üzerinde bulunan 42 cm uzunluğundaki bir kiriş boyunca kaymadan ilerleyecektir. Tekerleğin merkezinin bu kiriş boyunca aldığı yol kaç cm'dir? 🚴
Çözüm:
- Bu soruda, tekerleğin merkezinin alacağı yol, kirişin uzunluğuna eşit olacaktır.
- Çünkü tekerlek kaymadan ilerlediği için, tekerleğin temas ettiği nokta ile merkez arasındaki dikey uzaklık (yani yarıçap) sabit kalır.
- Tekerlek, kiriş boyunca ilerlerken, merkezinin aldığı yol, kirişin uzunluğu kadar olacaktır.
- Kirişin uzunluğu 42 cm olarak verilmiştir.
- Dolayısıyla, tekerleğin merkezinin bu kiriş boyunca aldığı yol 42 cm'dir. 🚀
Örnek 6:
Bir parkta bulunan dairesel bir süs havuzunun yarıçapı 6 metredir. Havuzun kenarına, merkezinden geçen bir doğru boyunca yerleştirilmiş 8 metre uzunluğunda bir köprü bulunmaktadır. Bu köprünün iki ucu da havuzun kenarında mıdır? Köprünün havuz kenarındaki uçları arasındaki mesafe kaç metredir? 🌉
Çözüm:
- Havuzun yarıçapı 6 metredir.
- Köprü, havuzun merkezinden geçmektedir ve uzunluğu 8 metredir.
- Merkezden geçen ve iki noktayı birleştiren en uzun kiriş çaptır.
- Bu durumda havuzun çapı \( 2 \times 6 \) metre = 12 metredir.
- Köprünün uzunluğu (8 metre), havuzun çapından (12 metre) daha kısadır.
- Bu nedenle köprünün iki ucu da havuzun kenarında olamaz. Köprü havuzun içinde kalır.
- Soruda köprünün iki ucu arasındaki mesafe soruluyor, ancak köprünün kendisi zaten bir doğru parçasıdır ve uzunluğu 8 metredir.
- Eğer soru "köprünün havuzun kenarındaki noktalarla arasındaki en kısa mesafeler" gibi bir şey sormak istediyse, bu farklı bir hesaplama gerektirirdi.
- Mevcut soruya göre, köprünün uzunluğu 8 metredir. 💡
Örnek 7:
Merkezi O noktası olan bir çemberde, AB ve CD kirişleri birbirine paraleldir. AB kirişinin uzunluğu 12 cm, CD kirişinin uzunluğu 16 cmdir. İki kiriş arasındaki mesafe 14 cmdir. Bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Paralel kirişler söz konusu olduğunda, merkezden her iki kirişe de dikmeler indirilir ve bu dikmeler kirişleri ortalar.
- AB kirişinin yarısı \( 12/2 = 6 \) cm, CD kirişinin yarısı \( 16/2 = 8 \) cm'dir.
- Merkezden AB'ye indirilen dikme \( h_1 \), merkezden CD'ye indirilen dikme \( h_2 \) olsun.
- İki kiriş arasındaki mesafe 14 cm'dir.
- Durum 1: Kirişler merkezin farklı taraflarında ise, \( h_1 + h_2 = 14 \) olur.
- Durum 2: Kirişler merkezin aynı tarafında ise, \( |h_1 - h_2| = 14 \) olur.
- Pisagor teoremine göre:
- Durum 1 için: \( 6^2 + h_1^2 = r^2 \) ve \( 8^2 + h_2^2 = r^2 \)
- \( 36 + h_1^2 = 64 + h_2^2 \)
- \( h_1^2 - h_2^2 = 28 \)
- \( (h_1 - h_2)(h_1 + h_2) = 28 \)
- \( h_1 + h_2 = 14 \) olduğundan, \( (h_1 - h_2) \times 14 = 28 \), yani \( h_1 - h_2 = 2 \) olur.
- Bu iki denklemi çözersek: \( h_1 + h_2 = 14 \) ve \( h_1 - h_2 = 2 \)
- Toplarsak: \( 2h_1 = 16 \implies h_1 = 8 \) cm.
- Çıkarırsak: \( 2h_2 = 12 \implies h_2 = 6 \) cm.
- Yarıçapı bulmak için herhangi birini kullanabiliriz: \( r^2 = 6^2 + h_1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
- \( r = \sqrt{100} = \) 10 cm'dir. ✨
- (Durum 2 kontrol edilirse, \( |h_1 - h_2| = 14 \) denklemiyle çelişki oluşur, bu yüzden kirişler merkezin farklı taraflarındadır.)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-cemberin-temel-elemanlari-ve-kiris/sorular