🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Çemberde Teğet Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Çemberde Teğet Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çembere merkezinden 13 cm uzaklıktaki bir dış noktadan çizilen teğet parçasının uzunluğu 12 cm'dir. Bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- Kavram: Çemberde teğet özelliği, dik üçgen oluşumu.
- Adım 1: Çemberin merkezini (O), teğet noktasını (T) ve dış noktayı (P) birleştirelim.
- Adım 2: Yarıçap (OT), teğet doğrusuna (PT) diktir. Yani, \( \angle OTP = 90^\circ \) olur.
- Adım 3: Bu durumda, O, T ve P noktaları bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs OP'dir.
- Adım 4: Pisagor teoremini uygulayalım: \( OT^2 + PT^2 = OP^2 \)
- Adım 5: Verilen değerleri yerine koyalım: \( r^2 + 12^2 = 13^2 \)
- Adım 6: Hesaplamaları yapalım: \( r^2 + 144 = 169 \)
- Adım 7: \( r^2 = 169 - 144 \)
- Adım 8: \( r^2 = 25 \)
- Adım 9: Yarıçapı bulalım: \( r = \sqrt{25} = 5 \) cm. ✅
Örnek 2:
Merkezi O noktası olan bir çemberde, A noktası çemberin üzerindedir. Çemberin yarıçapı 8 cm'dir. A noktasından geçen ve çembere teğet olan doğrunun denklemini bulunuz. (Koordinat sistemi başlangıç noktası O kabul edilirse ve A noktası (8, 0) ise) 📌
Çözüm:
- Kavram: Çemberde teğet doğrusunun denklemi.
- Adım 1: Çemberin merkezi O(0, 0) ve yarıçapı \( r = 8 \) cm'dir.
- Adım 2: A noktası çember üzerinde ve koordinatları (8, 0)'dır. Bu nokta aynı zamanda x-ekseni üzerindedir.
- Adım 3: Yarıçap OA doğrusu, A noktasındaki teğet doğrusuna diktir.
- Adım 4: OA doğrusu x-ekseni üzerinde olduğundan, A noktasındaki teğet doğrusu y-eksenine paralel olmalıdır.
- Adım 5: y-eksenine paralel doğruların denklemi \( x = c \) şeklindedir.
- Adım 6: Teğet doğrusu A(8, 0) noktasından geçtiği için, bu noktanın x-koordinatı \( c \) değerini verir.
- Adım 7: Dolayısıyla, teğet doğrusunun denklemi \( x = 8 \) olur. 👉
Örnek 3:
Birbirine dıştan teğet iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık 15 cm'dir. Küçük çemberin yarıçapı 4 cm olduğuna göre, büyük çemberin yarıçapı kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Kavram: Dıştan teğet çemberler arasındaki uzaklık.
- Adım 1: İki çemberin merkezleri O1 ve O2, yarıçapları ise \( r_1 \) ve \( r_2 \) olsun.
- Adım 2: Çemberler birbirine dıştan teğet olduğunda, merkezleri arasındaki uzaklık yarıçapların toplamına eşittir.
- Adım 3: Denklem: \( |O_1 O_2| = r_1 + r_2 \)
- Adım 4: Soruda verilenler: \( |O_1 O_2| = 15 \) cm ve küçük çemberin yarıçapı \( r_1 = 4 \) cm.
- Adım 5: Denklemde yerine koyalım: \( 15 = 4 + r_2 \)
- Adım 6: Büyük çemberin yarıçapını bulalım: \( r_2 = 15 - 4 \)
- Adım 7: \( r_2 = 11 \) cm. ✅
Örnek 4:
Merkezi O(0,0) olan ve yarıçapı 5 birim olan çemberin \( y = 2x + k \) doğrusuna teğet olması için \( k \) değerlerinin toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
- Kavram: Çemberin doğruya teğet olması durumu, uzaklık formülü.
- Adım 1: Bir çemberin bir doğruya teğet olması için, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığı yarıçapına eşit olmalıdır.
- Adım 2: Çemberin merkezi O(0, 0) ve yarıçapı \( r = 5 \) birimdir.
- Adım 3: Doğrunun denklemini \( ax + by + c = 0 \) formatına getirelim: \( 2x - y + k = 0 \). Burada \( a=2, b=-1, c=k \).
- Adım 4: Merkez O(0,0)'dan doğruya olan uzaklık formülü: \( d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
- Adım 5: Değerleri yerine koyalım: \( d = \frac{|2(0) - 1(0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}} \)
- Adım 6: Teğetlik şartı \( d = r \) olduğundan: \( \frac{|k|}{\sqrt{5}} = 5 \)
- Adım 7: \( |k| = 5\sqrt{5} \)
- Adım 8: Bu denklem iki farklı \( k \) değeri verir: \( k_1 = 5\sqrt{5} \) ve \( k_2 = -5\sqrt{5} \).
- Adım 9: \( k \) değerlerinin toplamı: \( k_1 + k_2 = 5\sqrt{5} + (-5\sqrt{5}) = 0 \). ✅
Örnek 5:
Bir bisiklet tekerleğinin jantının dış kenarı, yere teğet olacak şekilde ilerlemektedir. Tekerleğin yarıçapı 35 cm'dir. Tekerlek tam bir tur döndüğünde, tekerleğin jantının yere değen noktasının aldığı yol kaç cm olur? (Pi sayısını 3 alınız) 🚴
Çözüm:
- Kavram: Tekerleğin bir tam turda aldığı yol, çemberin çevresine eşittir.
- Adım 1: Tekerleğin yere teğet olması, teğet doğrusu mantığıyla düşünülebilir.
- Adım 2: Tekerlek tam bir tur döndüğünde, jantın üzerindeki bir noktanın aldığı yol, çemberin çevresi kadar olacaktır.
- Adım 3: Çemberin çevresi formülü: \( Çevre = 2 \times \pi \times r \)
- Adım 4: Verilenler: Yarıçap \( r = 35 \) cm ve \( \pi = 3 \).
- Adım 5: Çevreyi hesaplayalım: \( Çevre = 2 \times 3 \times 35 \)
- Adım 6: \( Çevre = 6 \times 35 \)
- Adım 7: \( Çevre = 210 \) cm.
- Adım 8: Tekerleğin jantının yere değen noktasının aldığı yol 210 cm'dir. 🚀
Örnek 6:
Bir parkta bulunan dairesel bir havuzun kenarına, havuzun merkezinden 10 metre uzaklığa bir bank yerleştirilmiştir. Banktan havuza en kısa mesafede ulaşmak isteyen kişi, havuzun kenarına doğru düz bir çizgi çiziyor. Eğer havuzun yarıçapı 6 metre ise, banktan havuza en kısa mesafede kaç metre yol alması gerekir? 🌳
Çözüm:
- Kavram: Çemberde teğet ve merkezden uzaklık ilişkisi.
- Adım 1: Havuzun merkezini O, bankın bulunduğu noktayı B ve havuza en yakın noktayı H olarak adlandıralım.
- Adım 2: Bu durumda, BH doğrusu havuzun çevresine H noktasında teğet olacaktır (en kısa mesafe).
- Adım 3: Yarıçap OH, teğet doğrusu BH'ye diktir. \( \angle OHB = 90^\circ \)
- Adım 4: O, H ve B noktaları bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs OB'dir.
- Adım 5: Verilenler: Merkezden banka uzaklık \( OB = 10 \) m ve havuzun yarıçapı \( OH = 6 \) m.
- Adım 6: Banktan havuza en kısa mesafe BH uzunluğudur. Pisagor teoremini kullanalım: \( OH^2 + BH^2 = OB^2 \)
- Adım 7: Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + BH^2 = 10^2 \)
- Adım 8: \( 36 + BH^2 = 100 \)
- Adım 9: \( BH^2 = 100 - 36 \)
- Adım 10: \( BH^2 = 64 \)
- Adım 11: \( BH = \sqrt{64} = 8 \) m. Banktan havuza en kısa mesafe 8 metredir. 🚶
Örnek 7:
Merkezi A(2, 3) olan ve yarıçapı 5 birim olan çemberin, \( x = -1 \) doğrusuna göre simetriğinin denklemini bulunuz. 🪞
Çözüm:
- Kavram: Nokta ve doğru simetrisi, çember denklemi.
- Adım 1: Çemberin merkezi A(2, 3) ve yarıçapı \( r = 5 \) birimdir.
- Adım 2: Simetri doğrusu \( x = -1 \) dikey bir doğrudur.
- Adım 3: Merkezi A(2, 3) noktasının \( x = -1 \) doğrusuna göre simetriğini bulalım. Simetri doğrusu x-koordinatlarını etkiler.
- Adım 4: A noktasının x-koordinatı 2'dir. Simetri doğrusu x = -1'dir. Bu iki değer arasındaki fark \( 2 - (-1) = 3 \) birimdir.
- Adım 5: Simetri noktasının x-koordinatı, simetri doğrusundan aynı uzaklıkta ve ters yönde olmalıdır. Yani, \( -1 - 3 = -4 \).
- Adım 6: Simetri noktasının y-koordinatı değişmez: 3.
- Adım 7: Simetri sonrası yeni merkez A'(-4, 3) olur.
- Adım 8: Simetri işlemi çemberin yarıçapını değiştirmez. Yarıçap hala \( r = 5 \) birimdir.
- Adım 9: Yeni çemberin denklemi \( (x - x')^2 + (y - y')^2 = r^2 \) formülüyle bulunur.
- Adım 10: Denklemi yazalım: \( (x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \)
- Adım 11: \( (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25 \). ✅
Örnek 8:
Yarıçapı 7 cm olan bir çembere, merkezinden 25 cm uzaklıktaki bir noktadan çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. (İpucu: Oluşan dik üçgenleri kullanın.) 📐
Çözüm:
- Kavram: Çemberde teğet uzunluğu ve dik üçgenler.
- Adım 1: Çemberin merkezini O, dış noktayı P ve teğet değme noktalarını A ve B olarak adlandıralım.
- Adım 2: OA ve OB yarıçaplarıdır, \( OA = OB = 7 \) cm. OP = 25 cm.
- Adım 3: OA, PA'ya; OB, PB'ye diktir. \( \triangle OAP \) ve \( \triangle OBP \) dik üçgenlerdir.
- Adım 4: Pisagor teoremi ile teğet uzunluğunu bulalım: \( OA^2 + PA^2 = OP^2 \)
- Adım 5: \( 7^2 + PA^2 = 25^2 \)
- Adım 6: \( 49 + PA^2 = 625 \)
- Adım 7: \( PA^2 = 625 - 49 = 576 \)
- Adım 8: \( PA = \sqrt{576} = 24 \) cm. Teğet uzunluğu 24 cm'dir.
- Adım 9: AB doğru parçası, OP doğrusunu keser. Bu kesişim noktasına K diyelim. \( \triangle OAP \sim \triangle OKA \) benzerliği veya alan formülü kullanılabilir.
- Adım 10: \( \triangle OAP \) alanını iki farklı yolla hesaplayalım: \( \frac{1}{2} \times OA \times PA = \frac{1}{2} \times OP \times AK \)
- Adım 11: \( \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = \frac{1}{2} \times 25 \times AK \)
- Adım 12: \( 7 \times 24 = 25 \times AK \)
- Adım 13: \( 168 = 25 \times AK \)
- Adım 14: \( AK = \frac{168}{25} \) cm.
- Adım 15: AB doğru parçası, OP'ye dik olduğundan ve O merkezli çemberde kiriş olduğundan, K noktası AB'nin orta noktasıdır.
- Adım 16: Dolayısıyla, AB = \( 2 \times AK = 2 \times \frac{168}{25} = \frac{336}{25} \) cm. ✅
Örnek 9:
Bir futbol sahasının ortasında bulunan bir kaleci, topu tam olarak 30 metre uzaklıktaki kaleye göndermek istiyor. Kalenin genişliği 7 metre ve kale direkleri kalenin kenarlarında bulunmaktadır. Kaleci topu, kale direklerinin arasından geçecek şekilde ve kaleye teğet olacak bir yörüngeyle göndermelidir. Bu durumda kaleci, topu kalenin tam ortasına göndermiş midir? (Bu durumu çemberin teğet özelliği ile ilişkilendirin.) ⚽
Çözüm:
- Kavram: Çemberde teğetlik ve simetri.
- Adım 1: Bu senaryoyu, kalecinin bulunduğu noktayı merkez kabul eden bir çember ve kalenin kenarlarını temsil eden doğru parçaları olarak düşünebiliriz.
- Adım 2: Kaleci topu kaleye teğet bir yörüngeyle gönderiyorsa, bu yörünge kalenin kenarına değecektir.
- Adım 3: Kalenin genişliği 7 metre ve kaleci topu tam ortasına göndermeye çalışıyor.
- Adım 4: Eğer top kalenin ortasına gönderilirse, kaleciden kalenin tam ortasına olan uzaklık, kalenin bir kenarından kaleciye olan uzaklığa eşit olmalıdır (simetri).
- Adım 5: Kaleci topu kaleye teğet bir yörüngeyle gönderiyorsa, bu yörünge kalenin bir kenarına (direğine) değecektir.
- Adım 6: Kalenin genişliği 7 metre olduğundan, kalenin ortasına olan uzaklık, bir direğe olan uzaklığın yarısıdır. Yani, 7 / 2 = 3.5 metre.
- Adım 7: Kaleci topu 30 metre uzaklıktaki kaleye gönderiyor.
- Adım 8: Eğer top kaleye teğet bir yörüngeyle gidiyorsa ve kalenin genişliği 7 metre ise, kaleci topu kalenin tam ortasına göndermiş olsaydı, topun kalenin bir direğine olan uzaklığı ile diğer direğine olan uzaklığı farklı olurdu (eğer yörünge tam ortadan geçmiyorsa).
- Adım 9: Ancak, soruda "kaleye teğet olacak bir yörüngeyle" ifadesi, topun kalenin bir kenarına (direğine) değdiği anlamına gelir.
- Adım 10: Eğer top kalenin tam ortasına gönderilirse, bu yörünge kalenin ortasına doğru olur, direklere teğet olmaz.
- Adım 11: Dolayısıyla, kaleci topu kalenin ortasına değil, kalenin bir direğine doğru teğet bir yörüngeyle göndermiştir. Bu durumda top kalenin ortasına gelmez, ancak direkler arasından geçerse gol olur. 🥅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-cemberde-teget/sorular