💡 11. Sınıf Matematik: Çemberde kirişin özellikleri Çözümlü Örnekler

Çemberde kiriş özelliklerini kullanarak adım adım çözelim:

• Kural: Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eş parçaya böler.
• AB kirişinin tamamı \( 16 \) cm ise, merkezden inen dikme bu kirişi \( 8 \) cm ve \( 8 \) cm olarak ikiye ayırır.
• Merkezin kirişe uzaklığı dik uzaklıktır, yani bu dikmenin uzunluğu \( 6 \) cm'dir.
• Merkez (O), kirişin orta noktası (H) ve çember üzerindeki bir uç nokta (A) bir dik üçgen oluşturur.
• Oluşan OHA dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır:
• \[ r^2 = 6^2 + 8^2 \]
• \[ r^2 = 36 + 64 \]
• \[ r^2 = 100 \]
• \[ r = 10 \] cm olarak bulunur. ✅

Kirişin uzunluğunu bulmak için dik üçgen bağıntısından yararlanırız:

• Çemberin merkezi O, yarıçapı \( r = 13 \) cm'dir.
• Merkezden kirişe indirilen dikme ayağına K diyelim. OK uzunluğu \( 5 \) cm olarak verilmiştir.
• OCD üçgeninde OC yarıçaptır ve \( 13 \) cm'dir.
• OKC dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:
• \[ 5^2 + |KC|^2 = 13^2 \]
• \[ 25 + |KC|^2 = 169 \]
• \[ |KC|^2 = 144 \]
• \[ |KC| = 12 \] cm bulunur.
• Merkezden inen dikme kirişi ortaladığı için:
• \[ |CD| = 2 \times |KC| \]
• \[ |CD| = 2 \times 12 = 24 \] cm olur. ✅

Çemberde kirişlerin merkeze olan uzaklıkları ile uzunlukları arasındaki ilişkiyi hatırlayalım:

• Kural: Bir çemberde merkeze eşit uzaklıktaki kirişlerin uzunlukları birbirine eşittir.
• Bu durumda \( |AB| = |CD| \) olmalıdır.
• Denklemi kuralım:
• \[ 3x - 4 = x + 10 \]
• Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
• \[ 3x - x = 10 + 4 \]
• \[ 2x = 14 \]
• \[ x = 7 \] olarak bulunur. ✅

Bir noktadan geçen en kısa kirişin özelliğini kullanalım:

• Kural: Bir noktadan geçen en kısa kiriş, o noktayı merkezle birleştiren doğru parçasına dik olan kiriştir.
• Yani P noktası, aradığımız kirişin orta noktası olmalıdır.
• Çemberin merkezi O olsun. \( |OP| = 6 \) cm'dir.
• Yarıçap \( r = 10 \) cm'dir.
• Kirişin uç noktalarından birine A dersek, OPA bir dik üçgen olur (P açısı \( 90 \) derecedir).
• Pisagor teoremi:
• \[ |OP|^2 + |PA|^2 = |OA|^2 \]
• \[ 6^2 + |PA|^2 = 10^2 \]
• \[ 36 + |PA|^2 = 100 \]
• \[ |PA|^2 = 64 \implies |PA| = 8 \] cm.
• Kirişin tamamı P noktasında ikiye bölündüğü için:
• Kiriş uzunluğu \( = 2 \times 8 = 16 \) cm bulunur. ✅

Kirişlerin merkeze olan uzaklığı ile uzunlukları arasındaki ters ilişkiyi inceleyelim:

• Kural: Merkeze daha yakın olan kiriş, merkeze daha uzak olan kirişten daha uzundur.
• AB merkeze daha yakın olduğu için:
• \[ |AB| > |CD| \]
• \[ 2x + 8 > 18 \]
• \[ 2x > 10 \]
• \[ x > 5 \]
• Bu durumda x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri \( 6 \) olur. ✅

Günlük hayattan bu problemi geometrik modele dökelim:

• Pizza tepsisi bir çember, kesme tahtası ise bir kiriştir.
• Yarıçap \( r = 15 \) cm.
• Kiriş uzunluğu \( = 24 \) cm.
• Merkezden kirişe (tahtaya) indirilen dikme, kirişi ikiye böler: \( 24 / 2 = 12 \) cm.
• Oluşan dik üçgende; hipotenüs \( 15 \), dik kenarlardan biri \( 12 \)'dir.
• Merkeze olan uzaklığa d diyelim:
• \[ d^2 + 12^2 = 15^2 \]
• \[ d^2 + 144 = 225 \]
• \[ d^2 = 81 \]
• \[ d = 9 \] cm bulunur. ✅

Bu soruyu çözmek için kiriş ve yarıçap ilişkisini kuralım:

• Kiriş uzunluğu \( 12 \) cm ise, merkezden gelen dikme bunu \( 6 \) cm ve \( 6 \) cm olarak böler.
• Kirişin orta noktasından yaya olan en kısa uzaklık, merkezden geçen yarıçap üzerindedir. Bu parça \( 2 \) cm'dir.
• Tabağın yarıçapına r diyelim.
• Merkezden kirişe olan uzaklık \( r - 2 \) cm olur.
• Dik üçgende Pisagor teoremi uygulayalım:
• \[ (r - 2)^2 + 6^2 = r^2 \]
• \[ r^2 - 4r + 4 + 36 = r^2 \]
• \[ 40 = 4r \]
• \[ r = 10 \] cm (Yarıçap).
• Soru bizden çapı istiyor:
• Çap \( = 2 \times r = 2 \times 10 = 20 \) cm bulunur. ✅

İki paralel kiriş arasındaki uzaklığı bulmak için her birinin merkeze uzaklığını ayrı ayrı hesaplamalıyız:

• 1. Kiriş (AB): Uzunluğu \( 10 \) cm. Merkezden inen dikme bunu \( 5 \) cm ve \( 5 \) cm olarak böler.
• Yarıçap \( 13 \) cm olduğu için merkeze uzaklığı \( d_1 \):
• \[ d_1^2 + 5^2 = 13^2 \implies d_1^2 + 25 = 169 \implies d_1 = 12 \] cm.
• 2. Kiriş (CD): Uzunluğu \( 24 \) cm. Merkezden inen dikme bunu \( 12 \) cm ve \( 12 \) cm olarak böler.
• Merkeze uzaklığı \( d_2 \):
• \[ d_2^2 + 12^2 = 13^2 \implies d_2^2 + 144 = 169 \implies d_2 = 5 \] cm.
• Kirişler merkezin farklı taraflarında olduğu için aralarındaki toplam uzaklık:
• \[ Uzaklık = d_1 + d_2 \]
• \[ Uzaklık = 12 + 5 = 17 \] cm bulunur. ✅