💡 11. Sınıf Matematik: Çemberde kiriş özellikleri Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için çemberin temel özelliklerini kullanacağız.

• Adım 1: Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikmenin kirişi ortaladığı bilgisini kullanın. Kirişin uzunluğu 16 birim olduğundan, dikmenin ayırdığı parçalar 16 / 2 = 8 birim olacaktır.
• Adım 2: Merkezden kirişe olan uzaklık 6 birimdir. Bu uzaklık, dikmenin bir kolunu oluşturur.
• Adım 3: Kirişin yarısı (8 birim) ve merkezden uzaklık (6 birim) ile çemberin yarıçapı bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı bulabiliriz.
• Adım 4: Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Burada \( a = 6 \), \( b = 8 \) ve \( c \) çemberin yarıçapıdır.
• Adım 5: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
• Adım 6: \( 36 + 64 = c^2 \)
• Adım 7: \( 100 = c^2 \)
• Adım 8: \( c = \sqrt{100} = 10 \) birim.

Sonuç olarak, çemberin yarıçapı 10 birimdir. ✅

Öncelikle çemberin yarıçapını bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar. Bu durumda kirişin her bir parçası \( 24 \text{ cm} / 2 = 12 \text{ cm} \) olur.
• Adım 2: Merkezden kirişe olan uzaklık 5 cm'dir.
• Adım 3: Merkezden uzaklık (5 cm), kirişin yarısı (12 cm) ve yarıçap (r) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremini uygulayalım: \( 5^2 + 12^2 = r^2 \).
• Adım 4: \( 25 + 144 = r^2 \)
• Adım 5: \( 169 = r^2 \)
• Adım 6: \( r = \sqrt{169} = 13 \) cm.
• Adım 7: Çemberin çevresi formülü \( Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r \) 'dir.
• Adım 8: Verilen \( \pi = 3 \) değerini ve bulduğumuz \( r = 13 \) cm'yi formülde yerine koyalım: \( Çevre = 2 \cdot 3 \cdot 13 \).
• Adım 9: \( Çevre = 6 \cdot 13 = 78 \) cm.

Bu çemberin çevresi 78 cm'dir. 🥳

Eşit uzunluktaki kirişlerin merkezden eşit uzaklıkta olması kuralını kullanacağız.

• Adım 1: İlk kirişin uzunluğu 12 birim. Merkezden uzaklığı 8 birim.
• Adım 2: Merkezden indirilen dikme, kirişi ortalayacağı için kirişin yarısı \( 12 / 2 = 6 \) birim olur.
• Adım 3: Yarıçapı bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz: \( 8^2 + 6^2 = r^2 \).
• Adım 4: \( 64 + 36 = r^2 \)
• Adım 5: \( 100 = r^2 \), yani \( r = 10 \) birimdir.
• Adım 6: Soruda, bu kirişle aynı uzunlukta (yani 12 birim) başka bir kirişin merkezden uzaklığı soruluyor.
• Adım 7: Eşit uzunluktaki kirişler merkezden eşit uzaklıktadır.
• Adım 8: Dolayısıyla, 12 birim uzunluğundaki bu ikinci kiriş de merkezden aynı uzaklıkta, yani 8 birim uzaklıkta bulunur. 📍

Bu soruda, tekerlek jantını bir çember olarak düşüneceğiz ve telleri kirişler olarak kabul edeceğiz.

• Adım 1: Jantın çapı 70 cm ise, yarıçapı \( r = 70 / 2 = 35 \) cm'dir.
• Adım 2: Tekerlekte 12 adet tel, çemberi 12 eşit parçaya böler. Her bir tel, merkezden eşit uzaklıkta olmayabilir, ancak en uzun iki tel arasındaki mesafe soruluyor.
• Adım 3: Çemberde en uzun kiriş çapıdır. Tellerin tamamı jantın kenarlarını birleştirdiği için, en uzun iki tel, çapı oluşturan iki tel olacaktır.
• Adım 4: Eğer teller jantın kenarlarını eşit aralıklarla bağlıyorsa, bu teller çemberde 12 tane eşit uzunlukta kiriş oluşturur.
• Adım 5: Ancak soru "en uzun iki telin arasındaki mesafe" diye soruyor. Eğer teller jantın kenarlarını birleştiriyorsa, bu teller çemberin kendisi üzerinde kirişlerdir.
• Adım 6: Jantın üzerinde bulunan 12 tel, jantın kenarlarını birleştiren kirişlerdir. Merkezden geçen ve en uzun kiriş olan çap, bu 12 telden ikisinin birleşimiyle oluşabilir veya bu 12 telin oluşturduğu kirişlerden en uzunu soruluyor olabilir.
• Adım 7: Eğer teller jantın kenarlarını eşit aralıklarla bağlıyorsa, bu teller çemberde 12 tane eşit uzunlukta kiriş oluşturur. Bu kirişlerin uzunluğunu hesaplamak için merkezden geçen bir kiriş (çap) en uzunudur.
• Adım 8: Eğer "en uzun iki telin arasındaki mesafe" ile kastedilen, çapı oluşturan iki tel ise, bu durumda cevap çapın kendisi olacaktır.
• Adım 9: Bisiklet tekerleğinde teller genellikle jantın kenarlarını birleştirir. Eğer bu teller jantın kenarlarını eşit aralıklarla bağlıyorsa, en uzun kiriş çap olacaktır.
• Adım 10: Bu durumda, en uzun iki telin arasındaki mesafe, yani en uzun kiriş, çemberin çapıdır.
• Adım 11: Çap = 70 cm.

Dolayısıyla, en uzun iki telin arasındaki mesafe 70 cm'dir. 🚴‍♂️

Bu soruyu bir çember ve kiriş problemi olarak modelleyebiliriz.

• Adım 1: Bankın havuzun merkezinden uzaklığı, merkezden kirişe olan uzaklığı temsil eder: 3 metre.
• Adım 2: Bankın tam karşısındaki kişinin havuzun kenarındaki uzaklığı, bir kirişin uzunluğunu temsil eder: 8 metre.
• Adım 3: Merkezden indirilen dikme, kirişi ortalar. Bu durumda kirişin yarısı \( 8 \text{ m} / 2 = 4 \text{ m} \) olur.
• Adım 4: Merkezden uzaklık (3 m), kirişin yarısı (4 m) ve havuzun yarıçapı (r) bir dik üçgen oluşturur.
• Adım 5: Pisagor teoremini uygulayalım: \( 3^2 + 4^2 = r^2 \).
• Adım 6: \( 9 + 16 = r^2 \)
• Adım 7: \( 25 = r^2 \)
• Adım 8: \( r = \sqrt{25} = 5 \) metre.

Bu süs havuzunun yarıçapı 5 metredir. ⛲️

Bu problemi çözmek için iki farklı kiriş için Pisagor teoremini kullanacağız.

• Adım 1: Birinci kiriş için: Merkezden uzaklık 7 birim. Kiriş uzunluğu \( 2x \). Kirişin yarısı \( x \) birimdir.
• Adım 2: Verilen \( x = 6 \) değerini yerine koyarsak, kirişin yarısı 6 birim olur.
• Adım 3: Birinci kiriş için Pisagor teoremini uygulayalım: \( 7^2 + 6^2 = r^2 \).
• Adım 4: \( 49 + 36 = r^2 \)
• Adım 5: \( 85 = r^2 \). Bu, çemberin yarıçapının karesidir.
• Adım 6: İkinci kiriş için: Merkezden uzaklık 9 birim. Kiriş uzunluğu \( y \). Kirişin yarısı \( y/2 \) birimdir.
• Adım 7: İkinci kiriş için Pisagor teoremini uygulayalım: \( 9^2 + (y/2)^2 = r^2 \).
• Adım 8: Yarıçapın karesini \( r^2 = 85 \) olarak bildiğimiz için, denklemi şöyle yazabiliriz: \( 81 + (y/2)^2 = 85 \).
• Adım 9: \( (y/2)^2 = 85 - 81 \)
• Adım 10: \( (y/2)^2 = 4 \)
• Adım 11: \( y/2 = \sqrt{4} \)
• Adım 12: \( y/2 = 2 \)
• Adım 13: \( y = 2 \cdot 2 = 4 \) birim.

Bu durumda \( y \) değeri 4 birimdir. 💯

Bu soruyu çözmek için çemberin temel özelliklerini ve Pisagor teoremini kullanacağız.

• Adım 1: Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar. Kirişin uzunluğu 12 birim olduğundan, dikmenin ayırdığı parçalar \( 12 / 2 = 6 \) birim olacaktır.
• Adım 2: Merkezden kirişe olan uzaklık 10 birimdir. Bu uzaklık, dikmenin bir kolunu oluşturur.
• Adım 3: Kirişin yarısı (6 birim) ve merkezden uzaklık (10 birim) ile çemberin yarıçapı bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı bulabiliriz.
• Adım 4: Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Burada \( a = 10 \), \( b = 6 \) ve \( c \) çemberin yarıçapıdır.
• Adım 5: \( 10^2 + 6^2 = c^2 \)
• Adım 6: \( 100 + 36 = c^2 \)
• Adım 7: \( 136 = c^2 \)
• Adım 8: \( c = \sqrt{136} \) birim. Bu ifade \( \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34} \) şeklinde de yazılabilir.

Sonuç olarak, çemberin yarıçapı \( \sqrt{136} \) birim (veya \( 2\sqrt{34} \) birim)'dir. ✨

Bu soruda saat kadranını bir çember olarak düşüneceğiz.

• Adım 1: Saat kadranının yarıçapı 10 cm'dir. Bu, hem akrep hem de yelkovanın uç noktalarının çember üzerindeki konumunu belirtir.
• Adım 2: Tam saat 3'ü gösterdiğinde, akrep 3'ün üzerinde, yelkovan ise 12'nin üzerindedir.
• Adım 3: Saat kadranındaki 12 ile 3 arasındaki açı, \( 360^\circ / 12 \times 3 = 90^\circ \) olur.
• Adım 4: Bu durumda, merkezden akrep ucuna ve merkezden yelkovan ucuna çizilen yarıçaplar arasında \( 90^\circ \) açı vardır.
• Adım 5: Akrep ve yelkovanın uç noktaları arasındaki mesafe, bu iki yarıçapın oluşturduğu \( 90^\circ \) açının karşısındaki kirişin uzunluğudur.
• Adım 6: Yarıçaplar 10 cm ve aralarındaki açı \( 90^\circ \) olduğundan, bu bir dik üçgen oluşturur. Yarıçaplar dik kenarlar, sorulan mesafe ise hipotenüstür.
• Adım 7: Pisagor teoremini uygulayalım: \( 10^2 + 10^2 = \text{kiriş uzunluğu}^2 \).
• Adım 8: \( 100 + 100 = \text{kiriş uzunluğu}^2 \)
• Adım 9: \( 200 = \text{kiriş uzunluğu}^2 \)
• Adım 10: \( \text{kiriş uzunluğu} = \sqrt{200} \)
• Adım 11: \( \text{kiriş uzunluğu} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \) cm.

Akrep ve yelkovanın uç noktaları arasındaki kiriş uzunluğu \( 10\sqrt{2} \) cm'dir. ⏱️