🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Bölme ve bölünebilme Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Bölme ve bölünebilme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki basamaklı bir doğal sayının 7'ye bölümünden kalan 3'tür. Bu sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için bölünebilme kurallarını kullanacağız.
- Bölme işleminde bölünen = (bölen * bölüm) + kalan ilişkisi geçerlidir.
- Soruda verilen sayıyı \( N \) ile gösterelim.
- \( N = 7 \times k + 3 \) şeklinde yazabiliriz, burada \( k \) bir tam sayıdır ve \( k \ge 0 \) olmalıdır.
- \( N \) iki basamaklı bir sayı olduğu için \( 10 \le N \le 99 \) olmalıdır.
- En büyük değeri bulmak için \( k \) değerini en büyük seçmeliyiz.
- Eğer \( k = 13 \) olursa, \( N = 7 \times 13 + 3 = 91 + 3 = 94 \) olur.
- Eğer \( k = 14 \) olursa, \( N = 7 \times 14 + 3 = 98 + 3 = 101 \) olur ki bu üç basamaklıdır.
Örnek 2:
5 basamaklı en küçük doğal sayı, 3'e bölündüğünde kalan kaç olur?
Çözüm:
5 basamaklı en küçük doğal sayı 10000'dir.
- Bir sayının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.
- 10000 sayısının rakamları toplamı: \( 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1 \)
- 1, 3'e bölündüğünde 1 kalanını verir.
Örnek 3:
\( A \) ve \( B \) birer doğal sayıdır. \( A = 5x + 2 \) ve \( B = 5y + 4 \) olduğuna göre, \( A + B \) toplamının 5'e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda bölünebilme kurallarını toplama işlemi üzerinde uygulayacağız.
- \( A \) sayısının 5'e bölümünden kalan 2'dir.
- \( B \) sayısının 5'e bölümünden kalan 4'tür.
- İki sayının toplamının belirli bir sayıya bölümünden kalan, o sayıların ayrı ayrı aynı sayıya bölümünden kalanların toplamının o sayıya bölümünden kalana eşittir.
- \( A + B \) toplamının 5'e bölümünden kalanı bulmak için, kalanları toplarız: \( 2 + 4 = 6 \)
- Bulduğumuz toplamı (6) tekrar 5'e böleriz: \( 6 \div 5 = 1 \) kalan 1.
Örnek 4:
Dört basamaklı \( 3a5b \) sayısının 10'a bölümünden kalan 6'dır. Bu sayı aynı zamanda 9'a tam bölünebildiğine göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda hem 10'a hem de 9'a bölünebilme kurallarını kullanacağız.
- Bir sayının 10'a bölümünden kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
- \( 3a5b \) sayısının 10'a bölümünden kalan 6 ise, \( b = 6 \) olmalıdır.
- Sayı \( 3a56 \) haline gelir.
- Bir sayının 9'a tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir.
- Sayı \( 3a56 \) olduğundan rakamları toplamı: \( 3 + a + 5 + 6 = 14 + a \)
- Bu toplamın 9'un katı olması gerekiyor.
- \( a \) bir rakam olduğu için \( 0 \le a \le 9 \) olmalıdır.
- \( 14 + a \) ifadesinin 9'un katı olabilmesi için \( a = 4 \) olmalıdır. (Çünkü \( 14 + 4 = 18 \), 18 sayısı 9'un katıdır.)
- \( a = 4 \) ve \( b = 6 \) bulduk.
- \( a + b \) toplamı: \( 4 + 6 = 10 \)
Örnek 5:
Bir manav, elindeki elmaların her birinde 12 elma bulunan paketlere ayırıyor. Paketlere ayırdığında hiç elma artmıyor. Daha sonra bu paketleri 5'li gruplar halinde dizerken her seferinde 3 elma artıyor. Manavın elindeki toplam elma sayısı 300'den az olduğuna göre, manavın elindeki elma sayısı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
Bu problemde hem 12'ye bölünebilme hem de 5'e bölünebilme ve kalanları dikkate alacağız.
- Manavın elindeki elma sayısı \( E \) olsun.
- Elmalar 12'li paketlere ayrıldığında hiç artmadığına göre, \( E \), 12'nin bir katıdır. Yani \( E = 12k \) (k bir tam sayı).
- Paketler 5'li gruplar halinde dizildiğinde 3 elma arttığına göre, \( E \) sayısının 5'e bölümünden kalan 3'tür. Yani \( E \equiv 3 \pmod{5} \).
- Elde elma sayısı 300'den azdır: \( E < 300 \).
- \( E = 12k \) ifadesini \( E \equiv 3 \pmod{5} \) denkleminde yerine koyalım:
- \( 12k \equiv 3 \pmod{5} \)
- \( 12 \pmod{5} = 2 \) olduğu için denklem \( 2k \equiv 3 \pmod{5} \) olur.
- Bu denklemi sağlayan en küçük \( k \) değerini bulalım.
- \( k=1 \implies 2 \times 1 = 2 \not\equiv 3 \pmod{5} \)
- \( k=2 \implies 2 \times 2 = 4 \not\equiv 3 \pmod{5} \)
- \( k=3 \implies 2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5} \)
- \( k=4 \implies 2 \times 4 = 8 \equiv 3 \pmod{5} \)
- Bu durumda \( k \equiv 4 \pmod{5} \) olmalıdır.
- Yani \( k \) değeri \( 4, 9, 14, 19, \dots \) şeklinde ilerler.
- Şimdi \( E = 12k \) formülünde bu \( k \) değerlerini deneyerek 300'den küçük en büyük \( E \) değerini bulalım.
- \( k = 4 \implies E = 12 \times 4 = 48 \)
- \( k = 9 \implies E = 12 \times 9 = 108 \)
- \( k = 14 \implies E = 12 \times 14 = 168 \)
- \( k = 19 \implies E = 12 \times 19 = 228 \)
- \( k = 24 \implies E = 12 \times 24 = 288 \)
- \( k = 29 \implies E = 12 \times 29 = 348 \) (Bu değer 300'den büyüktür.)
Örnek 6:
Bir okulda, öğrencilere dağıtılacak olan kalemler 6'şarlı paketlere konulacaktır. Ancak paketlemeye başlandığında her seferinde 4 kalem artmaktadır. Eğer toplam kalem sayısı 100'den fazla ve 150'den az ise, okulda toplam kaç kalem vardır?
Çözüm:
Bu durum, bölme işleminde kalanın varlığını ifade eder.
- Toplam kalem sayısını \( K \) ile gösterelim.
- Kalemler 6'şarlı paketlere konulduğunda 4 kalem arttığına göre, \( K \) sayısının 6'ya bölümünden kalan 4'tür.
- Bunu \( K = 6m + 4 \) (burada \( m \) bir tam sayıdır) şeklinde ifade edebiliriz.
- Soruda verilen bilgiye göre, \( 100 < K < 150 \) olmalıdır.
- Şimdi \( K = 6m + 4 \) formülünü kullanarak bu aralıktaki değerleri bulalım:
- \( m = 17 \implies K = 6 \times 17 + 4 = 102 + 4 = 106 \)
- \( m = 18 \implies K = 6 \times 18 + 4 = 108 + 4 = 112 \)
- \( m = 19 \implies K = 6 \times 19 + 4 = 114 + 4 = 118 \)
- \( m = 20 \implies K = 6 \times 20 + 4 = 120 + 4 = 124 \)
- \( m = 21 \implies K = 6 \times 21 + 4 = 126 + 4 = 130 \)
- \( m = 22 \implies K = 6 \times 22 + 4 = 132 + 4 = 136 \)
- \( m = 23 \implies K = 6 \times 23 + 4 = 138 + 4 = 142 \)
- \( m = 24 \implies K = 6 \times 24 + 4 = 144 + 4 = 148 \)
- \( m = 25 \implies K = 6 \times 25 + 4 = 150 + 4 = 154 \) (Bu değer 150'den büyüktür.)
- Soruda tek bir değer sorulmadığı için birden fazla olası kalem sayısı vardır. Ancak genellikle bu tür sorularda "kaç farklı değer alabilir" gibi ifadeler kullanılır. Eğer tek bir cevap bekleniyorsa, soruda ek kısıtlamalar olmalıdır. Varsayılan olarak, bu aralıktaki tüm değerler olasıdır.
Örnek 7:
Üç basamaklı \( 7ab \) sayısının 4'e bölümünden kalan 2'dir. Bu sayı aynı zamanda 11'e tam bölünebildiğine göre, \( a \times b \) çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda hem 4'e hem de 11'e bölünebilme kurallarını bir arada kullanacağız.
- Bir sayının 4'e bölümünden kalan, sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'e bölümünden kalana eşittir.
- \( 7ab \) sayısının 4'e bölümünden kalan 2 ise, \( ab \) sayısının 4'e bölümünden kalan 2 olmalıdır.
- Yani \( 10a + b \equiv 2 \pmod{4} \).
- Bir sayının 11'e tam bölünebilmesi için, basamakları sırasıyla + ve - ile işaretlenerek elde edilen toplamın 11'in katı olması gerekir.
- \( 7ab \) sayısı için bu kuralı uygulayalım: \( +7 - a + b \)
- Bu toplam 11'in katı olmalıdır: \( 7 - a + b = 11k \) (k bir tam sayı).
- \( a \) ve \( b \) birer rakamdır, yani \( 0 \le a \le 9 \) ve \( 0 \le b \le 9 \).
- Bu durumda \( 7 - a + b \) ifadesinin alabileceği değerler:
- En küçük değer: \( 7 - 9 + 0 = -2 \)
- En büyük değer: \( 7 - 0 + 9 = 16 \)
- Yani \( -2 \le 7 - a + b \le 16 \) olmalıdır.
- Bu aralıkta 11'in katı olan tek sayı 0 ve 11'dir.
- Durum 1: \( 7 - a + b = 0 \implies a - b = 7 \)
- Durum 2: \( 7 - a + b = 11 \implies a - b = -4 \implies b - a = 4 \)
- Şimdi bu durumları \( 10a + b \equiv 2 \pmod{4} \) koşulu ile kontrol edelim.
- Durum 1: \( a - b = 7 \)
- Olası \( (a, b) \) çiftleri: \( (7, 0), (8, 1), (9, 2) \)
- \( (7, 0) \implies 10a + b = 10(7) + 0 = 70 \). \( 70 \div 4 = 17 \) kalan 2. Bu koşulu sağlar.
- \( (8, 1) \implies 10a + b = 10(8) + 1 = 81 \). \( 81 \div 4 = 20 \) kalan 1. Bu koşulu sağlamaz.
- \( (9, 2) \implies 10a + b = 10(9) + 2 = 92 \). \( 92 \div 4 = 23 \) kalan 0. Bu koşulu sağlamaz.
- Dolayısıyla Durum 1'den tek geçerli çift \( (a, b) = (7, 0) \) olur.
- Durum 2: \( b - a = 4 \)
- Olası \( (a, b) \) çiftleri: \( (0, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (5, 9) \)
- \( (0, 4) \implies 10a + b = 10(0) + 4 = 4 \). \( 4 \div 4 = 1 \) kalan 0. Bu koşulu sağlamaz.
- \( (1, 5) \implies 10a + b = 10(1) + 5 = 15 \). \( 15 \div 4 = 3 \) kalan 3. Bu koşulu sağlamaz.
- \( (2, 6) \implies 10a + b = 10(2) + 6 = 26 \). \( 26 \div 4 = 6 \) kalan 2. Bu koşulu sağlar.
- \( (3, 7) \implies 10a + b = 10(3) + 7 = 37 \). \( 37 \div 4 = 9 \) kalan 1. Bu koşulu sağlamaz.
- \( (4, 8) \implies 10a + b = 10(4) + 8 = 48 \). \( 48 \div 4 = 12 \) kalan 0. Bu koşulu sağlamaz.
- \( (5, 9) \implies 10a + b = 10(5) + 9 = 59 \). \( 59 \div 4 = 14 \) kalan 3. Bu koşulu sağlamaz.
- Dolayısıyla Durum 2'den tek geçerli çift \( (a, b) = (2, 6) \) olur.
- Şimdi elde ettiğimiz geçerli çiftleri kontrol edelim:
- Çift 1: \( (a, b) = (7, 0) \). Sayı \( 770 \). \( 770 \div 4 = 192 \) kalan 2. \( 770 \div 11 = 70 \). Bu çift geçerlidir.
- Çift 2: \( (a, b) = (2, 6) \). Sayı \( 726 \). \( 726 \div 4 = 181 \) kalan 2. \( 726 \div 11 = 66 \). Bu çift geçerlidir.
- Soruda \( a \times b \) çarpımı soruluyor. İki farklı olası değer bulduk. Genellikle bu tür sorularda tek bir cevap beklenir. Eğer soruda "en büyük" veya "en küçük" gibi ek bir ifade yoksa, bu durum bir belirsizlik yaratır. Ancak, MEB müfredatında bu tür belirsizlikler genellikle olmaz. Soruyu yazarken bir hata olmuş olabilir. Eğer varsayımsal olarak tek bir cevap bulmamız gerekirse, genellikle ilk bulunan geçerli çift (yani \( a=7, b=0 \)) veya sorunun soruluş biçimine göre bir tercih yapılır.
- Eğer soruda "a'nın alabileceği en büyük değer için" gibi bir ifade olsaydı, \( a=7 \) olurdu ve \( a \times b = 7 \times 0 = 0 \) olurdu.
- Eğer soruda "b'nin alabileceği en büyük değer için" gibi bir ifade olsaydı, \( b=6 \) olurdu ve \( a \times b = 2 \times 6 = 12 \) olurdu.
- Sorunun orijinal haliyle birden fazla çözüm olasıdır. Sorunun tam metni bu belirsizliği gidermelidir. Eğer sorunun tek bir cevabı varsa, bu genellikle ilk bulunan valid çözüm üzerinden hesaplanır. Bu durumda \( a=7, b=0 \) için \( a \times b = 0 \) ve \( a=2, b=6 \) için \( a \times b = 12 \) olur.
- MEB müfredatı çerçevesinde, bu tür sorularda genellikle tek bir kesin cevap çıkar. Sorunun yazımında bir eksiklik olduğunu varsayarak, en yaygın olan \( a \times b \) çarpımını bulalım. Genellikle bu tür sorularda \( a \) ve \( b \) birbirinden farklı rakamlar olması beklenebilir, bu da \( (7,0) \) çiftini daha olası kılar. Ancak bu sadece bir varsayımdır.
- Eğer soruda "en büyük \( a \times b \) değeri" sorulsaydı cevap 12 olurdu. Eğer "en küçük \( a \times b \) değeri" sorulsaydı cevap 0 olurdu.
- Sorunun mevcut haliyle iki olası cevap vardır: 0 ve 12. Tek bir cevap vermek için sorunun daha net olması gerekir. Varsayımsal olarak, \( a \times b \) çarpımının en büyük değeri sorulduğunu varsayalım.
Örnek 8:
Bir pastanede kekler 8'erli kutulara yerleştiriliyor ve her seferinde 5 kek artıyor. Eğer pastanede toplam kek sayısı 200'den az ise, kaç farklı olası kek sayısı vardır?
Çözüm:
Bu problem, bölme işleminde kalanın varlığını ve belirli bir aralıktaki olası sayıları bulmayı içerir.
- Toplam kek sayısını \( C \) ile gösterelim.
- Kekler 8'erli kutulara yerleştirildiğinde 5 kek arttığına göre, \( C \) sayısının 8'e bölümünden kalan 5'tir.
- Bu durumu \( C = 8k + 5 \) şeklinde ifade edebiliriz, burada \( k \) bir tam sayıdır ve \( k \ge 0 \) olmalıdır.
- Soruda toplam kek sayısının 200'den az olduğu belirtilmiştir: \( C < 200 \).
- Şimdi \( C = 8k + 5 \) formülünü kullanarak, \( C < 200 \) koşulunu sağlayan \( k \) değerlerini bulalım:
- \( 8k + 5 < 200 \)
- \( 8k < 195 \)
- \( k < \frac{195}{8} \)
- \( k < 24.375 \)
- \( k \) bir tam sayı olduğu için, \( k \) en fazla 24 olabilir.
- Ayrıca \( k \ge 0 \) olmalıdır.
- Bu durumda \( k \) değerleri \( 0, 1, 2, \dots, 24 \) aralığındadır.
- Bu aralıktaki tam sayı adedi: \( 24 - 0 + 1 = 25 \)
- Yani, bu koşulları sağlayan 25 farklı olası kek sayısı vardır.
Örnek 9:
Bir doğal sayının 5'e bölümünden kalan 3'tür. Bu sayının 10'a bölümünden kalan kaç olabilir?
Çözüm:
Bir sayının 5'e bölümünden kalan 3 ise, bu sayının birler basamağı 3 veya 8 olmalıdır.
- Eğer sayının birler basamağı 3 ise, bu sayı 10'a bölündüğünde 3 kalanını verir.
- Eğer sayının birler basamağı 8 ise, bu sayı 10'a bölündüğünde 8 kalanını verir.
Örnek 10:
\( x \) bir tam sayıdır. \( 3x + 5 \) ifadesinin 7'ye bölümünden kalan 2'dir. Buna göre, \( x \) sayısının 7'ye bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda denklem çözme ve bölünebilme kurallarını birleştireceğiz.
- Verilen ifade: \( 3x + 5 \equiv 2 \pmod{7} \)
- Bu denklemden \( 3x \) ifadesini yalnız bırakalım:
- \( 3x \equiv 2 - 5 \pmod{7} \)
- \( 3x \equiv -3 \pmod{7} \)
- \( 3x \equiv 4 \pmod{7} \) (Çünkü \( -3 + 7 = 4 \))
- Şimdi \( x \)'in 7'ye bölümünden kalanı bulmak için \( 3x \equiv 4 \pmod{7} \) denklemini çözeceğiz.
- Bunu yapmanın bir yolu, her iki tarafı da 3'ün tersiyle çarpmaktır. Ancak 7 asal olduğu için, 3'ün tersini bulmak kolaydır. Hangi sayıyı 3 ile çarparsak 7'nin katından 1 fazla olur?
- \( 3 \times 1 = 3 \)
- \( 3 \times 2 = 6 \)
- \( 3 \times 3 = 9 \equiv 2 \pmod{7} \)
- \( 3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7} \)
- \( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \)
- Demek ki 3'ün mod 7'deki tersi 5'tir.
- Denklemin her iki tarafını 5 ile çarpalım:
- \( 5 \times (3x) \equiv 5 \times 4 \pmod{7} \)
- \( 15x \equiv 20 \pmod{7} \)
- \( 15 \equiv 1 \pmod{7} \) ve \( 20 \equiv 6 \pmod{7} \) olduğundan:
- \( 1x \equiv 6 \pmod{7} \)
- Yani \( x \equiv 6 \pmod{7} \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-bolme-ve-bolunebilme/sorular