📄 11. Sınıf Matematik: Bölme ve bölünebilme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının basamaklarındaki rakamları sağdan başlayarak sırasıyla +, -, +, - şeklinde işaretleyerek toplarız. Elde edilen sonucun 11 ile bölümünden kalan, sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.

8765 sayısını ele alalım:
Sağdan başlayarak işaretleyelim: +5, -6, +7, -8

Toplam: \( 5 - 6 + 7 - 8 \)
\( = -1 + 7 - 8 \)
\( = 6 - 8 \)
\( = -2 \)

Elde ettiğimiz sonuç -2'dir. Kalan negatif olamayacağı için, bu sonuca 11 ekleriz:
\( -2 + 11 = 9 \)

Bu nedenle, 8765 sayısının 11 ile bölümünden kalan 9'dur.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bölme işleminde A3B sayısı 45'e tam bölünebilmektedir. Bir sayının 45'e tam bölünebilmesi için hem 5'e hem de 9'a tam bölünmesi gerekir.

1. 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının 0 veya 5 olması gerekir. A3B sayısında B rakamı, sayının son rakamıdır. Dolayısıyla, B = 0 veya B = 5 olmalıdır.

2. 9 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir. A3B sayısının rakamları toplamı A + 3 + B'dir.

Şimdi B'nin olası değerleri için inceleme yapalım:

* Eğer B = 0 ise: Rakamları toplamı A + 3 + 0 = A + 3 olur. Bu toplamın 9'un katı olması gerekir. A bir rakam olduğundan (0-9 arası), A + 3 = 9 veya A + 3 = 18 olabilir.
* A + 3 = 9 => A = 6
* A + 3 = 18 => A = 15 (Bu bir rakam olmadığı için olamaz).
Bu durumda A = 6 olabilir.

* Eğer B = 5 ise: Rakamları toplamı A + 3 + 5 = A + 8 olur. Bu toplamın 9'un katı olması gerekir. A bir rakam olduğundan (0-9 arası), A + 8 = 9 veya A + 8 = 18 olabilir.
* A + 8 = 9 => A = 1
* A + 8 = 18 => A = 10 (Bu bir rakam olmadığı için olamaz).
Bu durumda A = 1 olabilir.

Sonuç olarak, A rakamının alabileceği değerler 6 ve 1'dir. Bu değerlerin toplamı: \( 6 + 1 = 7 \) olur.

💡 Çözüm Adımları:

Bir tam sayının pozitif bölenlerinin sayısı ile ilgili temel bilgiler şunlardır:

1. 1'in Pozitif Bölenleri: 1 sayısının sadece bir tane pozitif böleni vardır, o da 1'in kendisidir.

2. Asal Sayıların Pozitif Bölenleri: Bir asal sayının (örneğin 2, 3, 5, 7, 11 gibi) daima iki tane pozitif böleni vardır: 1 ve sayının kendisi.

3. Bileşik Sayıların Pozitif Bölenleri: 1'den ve kendisinden farklı en az bir böleni olan sayılara bileşik (kompozit) sayılar denir. Bu sayıların ikiden fazla pozitif böleni vardır.

4. Pozitif Bölen Sayısını Hesaplama: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \) şeklinde ise, pozitif bölen sayısı \( (a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot ... \cdot (a_k+1) \) formülü ile bulunur.

Örnek: 12 sayısını ele alalım. Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \) şeklindedir. Pozitif bölen sayısı \( (2+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 2 = 6 \) olur. Bu bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.

Bu bilgiler ışığında, bir tam sayının pozitif bölenlerinin sayısı hakkında doğru ifadeler şunlardır:
* Her pozitif tam sayının en az bir pozitif böleni vardır (bu bölen 1'dir).
* Asal sayıların tam olarak iki pozitif böleni vardır.
* Bileşik sayıların ikiden fazla pozitif böleni vardır.
* Pozitif bölen sayısı hesaplanırken sayının asal çarpanlarının üslerine 1 eklenip çarpılır.