🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Bölme Ve Bölünebilme Kuralları Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Bölme Ve Bölünebilme Kuralları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir bölme işleminde bölen 15, bölüm 8 ve kalan 7 ise, bölünen sayı kaçtır? 🧐
Çözüm:
Bu tür bir problemi çözmek için bölme işleminin temel formülünü hatırlamalıyız:
Şimdi verilen değerleri bu formüle yerleştirelim:
Bölünen = \( (15 \times 8) + 7 \)
Adım 1: Çarpma işlemini yapalım.
\( 15 \times 8 = 120 \)
Adım 2: Elde ettiğimiz sonuca kalanı ekleyelim.
\( 120 + 7 = 127 \)
Sonuç olarak, bölünen sayı 127'dir. ✅
Bölünen = (Bölen × Bölüm) + Kalan
Şimdi verilen değerleri bu formüle yerleştirelim:
- Bölen = 15
- Bölüm = 8
- Kalan = 7
Bölünen = \( (15 \times 8) + 7 \)
Adım 1: Çarpma işlemini yapalım.
\( 15 \times 8 = 120 \)
Adım 2: Elde ettiğimiz sonuca kalanı ekleyelim.
\( 120 + 7 = 127 \)
Sonuç olarak, bölünen sayı 127'dir. ✅
Örnek 2:
Dört basamaklı en büyük tek doğal sayının 9 ile bölümünden kalanı bulunuz. 🤔
Çözüm:
Öncelikle dört basamaklı en büyük tek doğal sayıyı belirleyelim.
Dört basamaklı en büyük doğal sayı 9999'dur. Bu sayı zaten tek bir sayıdır. Dolayısıyla, aradığımız sayı 9999'dur. ✅
Şimdi 9999 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Bu çok önemli bir kuraldır! 💡
9999 sayısının rakamları toplamı:
\( 9 + 9 + 9 + 9 = 36 \)
Şimdi 36 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım:
\( 36 \div 9 = 4 \) ve kalan 0'dır.
Bu nedenle, 9999 sayısının 9 ile bölümünden kalan 0'dır. 👉
Dört basamaklı en büyük doğal sayı 9999'dur. Bu sayı zaten tek bir sayıdır. Dolayısıyla, aradığımız sayı 9999'dur. ✅
Şimdi 9999 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Bu çok önemli bir kuraldır! 💡
9999 sayısının rakamları toplamı:
\( 9 + 9 + 9 + 9 = 36 \)
Şimdi 36 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım:
\( 36 \div 9 = 4 \) ve kalan 0'dır.
Bu nedenle, 9999 sayısının 9 ile bölümünden kalan 0'dır. 👉
Örnek 3:
Bir sayının 11 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağından başlayarak sırasıyla rakamları toplama ve çıkarma işlemi yapıldığında elde edilen sonucun 11 ile bölümünden kalana eşittir. Buna göre, 5A3B dört basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz. 🔢
Çözüm:
Verilen dört basamaklı sayı 5A3B'dir ve 11 ile tam bölünebilmektedir. 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım:
Birler basamağından başlayarak rakamları sırasıyla (+) ve (-) ile işaretleyerek toplayalım:
\( +B - 3 + A - 5 \)
Bu ifadenin sonucu 11'in katı olmalıdır (0, 11, -11, 22, -22, ...).
İfadeyi düzenleyelim:
\( A + B - 8 \)
Bu ifadenin 11'in katı olması gerekiyor. A ve B rakam oldukları için (0 ile 9 arasında değer alabilirler), A + B toplamının alabileceği değerler sınırlıdır.
A + B toplamının en büyük değerini arıyoruz. A ve B'nin alabileceği en büyük değerler için A + B toplamı en fazla \( 9 + 9 = 18 \) olabilir.
Şimdi \( A + B - 8 \) ifadesinin 11'in katı olmasını sağlayacak A + B değerlerini inceleyelim:
Eğer \( A + B - 8 = 0 \) ise, \( A + B = 8 \) olur. Bu mümkündür (örneğin A=8, B=0 veya A=4, B=4).
Eğer \( A + B - 8 = 11 \) ise, \( A + B = 19 \) olur. Ancak A ve B rakam olduğu için toplamları en fazla 18 olabilir. Dolayısıyla bu durum mümkün değildir.
Eğer \( A + B - 8 = -11 \) ise, \( A + B = -3 \) olur. Rakamların toplamı negatif olamaz.
Bu durumda, A + B toplamının alabileceği en büyük değer 8'dir. ✅
Birler basamağından başlayarak rakamları sırasıyla (+) ve (-) ile işaretleyerek toplayalım:
\( +B - 3 + A - 5 \)
Bu ifadenin sonucu 11'in katı olmalıdır (0, 11, -11, 22, -22, ...).
İfadeyi düzenleyelim:
\( A + B - 8 \)
Bu ifadenin 11'in katı olması gerekiyor. A ve B rakam oldukları için (0 ile 9 arasında değer alabilirler), A + B toplamının alabileceği değerler sınırlıdır.
A + B toplamının en büyük değerini arıyoruz. A ve B'nin alabileceği en büyük değerler için A + B toplamı en fazla \( 9 + 9 = 18 \) olabilir.
Şimdi \( A + B - 8 \) ifadesinin 11'in katı olmasını sağlayacak A + B değerlerini inceleyelim:
Eğer \( A + B - 8 = 0 \) ise, \( A + B = 8 \) olur. Bu mümkündür (örneğin A=8, B=0 veya A=4, B=4).
Eğer \( A + B - 8 = 11 \) ise, \( A + B = 19 \) olur. Ancak A ve B rakam olduğu için toplamları en fazla 18 olabilir. Dolayısıyla bu durum mümkün değildir.
Eğer \( A + B - 8 = -11 \) ise, \( A + B = -3 \) olur. Rakamların toplamı negatif olamaz.
Bu durumda, A + B toplamının alabileceği en büyük değer 8'dir. ✅
Örnek 4:
Bir markette satılan A marka sabunlar 6'lı paketler halinde, B marka sabunlar ise 8'li paketler halinde satılmaktadır. Bu markete gelen iki farklı siparişte, A marka sabunlardan toplam \( x \) adet ve B marka sabunlardan toplam \( y \) adet bulunmaktadır. Eğer \( x \) ve \( y \) sayıları, paketlenmiş sabun adetlerini tam olarak ifade ediyorsa, yani her iki siparişte de hiçbir sabun artmamışsa, \( x \) ve \( y \) sayıları için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? 🛒
A) x ve y sayıları aralarında asaldır.
B) x sayısı 6'ya, y sayısı 8'e tam bölünür.
C) x sayısı 8'e, y sayısı 6'ya tam bölünür.
D) x ve y sayıları 2'ye tam bölünür.
E) x sayısı 48'e tam bölünür.
A) x ve y sayıları aralarında asaldır.
B) x sayısı 6'ya, y sayısı 8'e tam bölünür.
C) x sayısı 8'e, y sayısı 6'ya tam bölünür.
D) x ve y sayıları 2'ye tam bölünür.
E) x sayısı 48'e tam bölünür.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için verilen bilgileri dikkatlice analiz etmeliyiz.
A marka sabunlar 6'lı paketler halinde satılıyor ve toplam \( x \) adet sipariş edilmiş. Bu, \( x \) sayısının 6'nın bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, \( x \) sayısı 6'ya tam bölünür. 📌
B marka sabunlar ise 8'li paketler halinde satılıyor ve toplam \( y \) adet sipariş edilmiş. Bu da \( y \) sayısının 8'in bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, \( y \) sayısı 8'e tam bölünür. 📌
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) x ve y sayıları aralarında asaldır. Bu doğru olmak zorunda değildir. Örneğin x=12, y=16 olabilir. Bu durumda aralarında asal değillerdir.
B) x sayısı 6'ya, y sayısı 8'e tam bölünür. Bu, yukarıda yaptığımız çıkarımlarla tamamen uyumludur. ✅
C) x sayısı 8'e, y sayısı 6'ya tam bölünür. Bu durum, paketleme şekilleriyle çelişmektedir.
D) x ve y sayıları 2'ye tam bölünür. x 6'ya bölündüğü için 2'ye de bölünür. y 8'e bölündüğü için 2'ye de bölünür. Bu ifade de doğrudur, ancak seçenek B daha kesin ve tam bilgiyi vermektedir. Soruda "kesinlikle doğrudur" ifadesi kullanıldığı için, en kapsamlı doğruyu seçmeliyiz.
E) x sayısı 48'e tam bölünür. x'in 6'ya bölündüğü kesin, ancak 48'e bölüneceği kesin değildir. Örneğin x=6 olabilir.
Dolayısıyla, en kesin ve doğru ifade B seçeneğidir. 👉
A marka sabunlar 6'lı paketler halinde satılıyor ve toplam \( x \) adet sipariş edilmiş. Bu, \( x \) sayısının 6'nın bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, \( x \) sayısı 6'ya tam bölünür. 📌
B marka sabunlar ise 8'li paketler halinde satılıyor ve toplam \( y \) adet sipariş edilmiş. Bu da \( y \) sayısının 8'in bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, \( y \) sayısı 8'e tam bölünür. 📌
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) x ve y sayıları aralarında asaldır. Bu doğru olmak zorunda değildir. Örneğin x=12, y=16 olabilir. Bu durumda aralarında asal değillerdir.
B) x sayısı 6'ya, y sayısı 8'e tam bölünür. Bu, yukarıda yaptığımız çıkarımlarla tamamen uyumludur. ✅
C) x sayısı 8'e, y sayısı 6'ya tam bölünür. Bu durum, paketleme şekilleriyle çelişmektedir.
D) x ve y sayıları 2'ye tam bölünür. x 6'ya bölündüğü için 2'ye de bölünür. y 8'e bölündüğü için 2'ye de bölünür. Bu ifade de doğrudur, ancak seçenek B daha kesin ve tam bilgiyi vermektedir. Soruda "kesinlikle doğrudur" ifadesi kullanıldığı için, en kapsamlı doğruyu seçmeliyiz.
E) x sayısı 48'e tam bölünür. x'in 6'ya bölündüğü kesin, ancak 48'e bölüneceği kesin değildir. Örneğin x=6 olabilir.
Dolayısıyla, en kesin ve doğru ifade B seçeneğidir. 👉
Örnek 5:
Bir pastane, elindeki 120 adet kurabiyeyi eşit sayıda paketlemek istiyor. Paketlere konulacak kurabiye sayısı 3, 4, 5 veya 6 olabiliyor. Pastaneci, kurabiyelerin hiçbirinin artmayacağı ve her pakette eşit sayıda kurabiye olacağı kaç farklı paketleme seçeneği olduğunu hesaplamak istiyor. Bu seçenekleri bulunuz. 🍪
Çözüm:
Pastaneci, 120 adet kurabiyeyi artmayacak şekilde paketlemek istediğine göre, paket sayısının 120'nin bir böleni olması gerekir. Aynı zamanda, her paketteki kurabiye sayısı da 120'nin bir böleni olmalıdır.
Soruda, paketlere konulacak kurabiye sayısının 3, 4, 5 veya 6 olabileceği belirtilmiş. Bu sayılar, 120'nin bölenleri midir, kontrol edelim:
Dolayısıyla, pastanecinin kullanabileceği 4 farklı paketleme seçeneği vardır. Bunlar: 3 kurabiyelik paketler, 4 kurabiyelik paketler, 5 kurabiyelik paketler ve 6 kurabiyelik paketlerdir. 👉
Soruda, paketlere konulacak kurabiye sayısının 3, 4, 5 veya 6 olabileceği belirtilmiş. Bu sayılar, 120'nin bölenleri midir, kontrol edelim:
- 120 / 3 = 40 (Tam bölünüyor)
- 120 / 4 = 30 (Tam bölünüyor)
- 120 / 5 = 24 (Tam bölünüyor)
- 120 / 6 = 20 (Tam bölünüyor)
Dolayısıyla, pastanecinin kullanabileceği 4 farklı paketleme seçeneği vardır. Bunlar: 3 kurabiyelik paketler, 4 kurabiyelik paketler, 5 kurabiyelik paketler ve 6 kurabiyelik paketlerdir. 👉
Örnek 6:
3 basamaklı en küçük tek doğal sayının 5 ile bölümünden kalanı bulunuz. 🔢
Çözüm:
Öncelikle 3 basamaklı en küçük tek doğal sayıyı belirleyelim.
3 basamaklı en küçük doğal sayı 100'dür. Ancak bu çift bir sayıdır.
Tek bir sayı olması için birler basamağını 1 artırmamız gerekir. Dolayısıyla 3 basamaklı en küçük tek doğal sayı 101'dir. ✅
Şimdi 101 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, yalnızca birler basamağındaki rakama bağlıdır. Eğer birler basamağı 0 veya 5 ise, sayı 5'e tam bölünür (kalan 0'dır). Aksi takdirde kalan, birler basamağındaki rakamın 5'ten çıkarılmasıyla veya doğrudan birler basamağındaki rakamın kendisiyle bulunur (eğer birler basamağı 5'ten küçükse).
101 sayısının birler basamağındaki rakam 1'dir.
Bu nedenle, 101 sayısının 5 ile bölümünden kalan 1'dir. 👉
3 basamaklı en küçük doğal sayı 100'dür. Ancak bu çift bir sayıdır.
Tek bir sayı olması için birler basamağını 1 artırmamız gerekir. Dolayısıyla 3 basamaklı en küçük tek doğal sayı 101'dir. ✅
Şimdi 101 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, yalnızca birler basamağındaki rakama bağlıdır. Eğer birler basamağı 0 veya 5 ise, sayı 5'e tam bölünür (kalan 0'dır). Aksi takdirde kalan, birler basamağındaki rakamın 5'ten çıkarılmasıyla veya doğrudan birler basamağındaki rakamın kendisiyle bulunur (eğer birler basamağı 5'ten küçükse).
101 sayısının birler basamağındaki rakam 1'dir.
Bu nedenle, 101 sayısının 5 ile bölümünden kalan 1'dir. 👉
Örnek 7:
Birler basamağı 0 olan üç basamaklı en büyük çift doğal sayının 3 ile bölümünden kalanı bulunuz. 🧐
Çözüm:
Soruda verilen koşulları adım adım uygulayalım:
1. Üç basamaklı en büyük çift doğal sayı: Üç basamaklı en büyük doğal sayı 999'dur. Bu sayı tek olduğu için çift olan en büyüğünü bulmak için birler basamağını 1 azaltmalıyız. Bu durumda sayı 998 olur. Ancak soruda birler basamağının 0 olması gerektiği belirtilmiş. Bu durumda, üç basamaklı en büyük sayının birler basamağını 0 yaparak elde edebileceğimiz en büyük sayı 990'dır. Bu sayı hem üç basamaklıdır, hem birler basamağı 0'dır, hem de çifttir. ✅
2. 3 ile bölümünden kalan: Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Bu önemli bir bölünebilme kuralıdır! 💡
Şimdi 990 sayısının rakamları toplamını bulalım:
\( 9 + 9 + 0 = 18 \)
Son olarak, 18 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım:
\( 18 \div 3 = 6 \) ve kalan 0'dır.
Bu nedenle, birler basamağı 0 olan üç basamaklı en büyük çift doğal sayının 3 ile bölümünden kalan 0'dır. 👉
1. Üç basamaklı en büyük çift doğal sayı: Üç basamaklı en büyük doğal sayı 999'dur. Bu sayı tek olduğu için çift olan en büyüğünü bulmak için birler basamağını 1 azaltmalıyız. Bu durumda sayı 998 olur. Ancak soruda birler basamağının 0 olması gerektiği belirtilmiş. Bu durumda, üç basamaklı en büyük sayının birler basamağını 0 yaparak elde edebileceğimiz en büyük sayı 990'dır. Bu sayı hem üç basamaklıdır, hem birler basamağı 0'dır, hem de çifttir. ✅
2. 3 ile bölümünden kalan: Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Bu önemli bir bölünebilme kuralıdır! 💡
Şimdi 990 sayısının rakamları toplamını bulalım:
\( 9 + 9 + 0 = 18 \)
Son olarak, 18 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım:
\( 18 \div 3 = 6 \) ve kalan 0'dır.
Bu nedenle, birler basamağı 0 olan üç basamaklı en büyük çift doğal sayının 3 ile bölümünden kalan 0'dır. 👉
Örnek 8:
Bir okulda düzenlenen satranç turnuvasına katılan öğrenci sayısı, 5'e ve 6'ya tam olarak bölünebilmektedir. Turnuvaya katılan öğrenci sayısı 300'den az ve 250'den fazladır. Buna göre, turnuvaya katılan öğrenci sayısı kaçtır? ♟️
Çözüm:
Bu problemi çözmek için öncelikle verilen bilgileri matematiksel ifadelere dökelim:
30'un katları: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, ...
Bu katlardan 250 ile 300 arasında olanı arıyoruz.
Dolayısıyla, turnuvaya katılan öğrenci sayısı 270'dir. 👉
- Turnuvaya katılan öğrenci sayısı hem 5'e hem de 6'ya tam bölünebiliyor. Bu, öğrenci sayısının 5 ve 6'nın ortak katı olması gerektiği anlamına gelir. 📌
- 5 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
EKOK(5, 6) = 30 - Yani, turnuvaya katılan öğrenci sayısı 30'un bir katı olmalıdır.
- Ayrıca, öğrenci sayısı 300'den az ve 250'den fazladır.
30'un katları: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, ...
Bu katlardan 250 ile 300 arasında olanı arıyoruz.
- 240 sayısı 250'den azdır.
- 270 sayısı 250'den fazla ve 300'den azdır.
- 300 sayısı 300'den az koşulunu sağlamaz.
Dolayısıyla, turnuvaya katılan öğrenci sayısı 270'dir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-bolme-ve-bolunebilme-kurallari/sorular