💡 11. Sınıf Matematik: Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı Çözümlü Örnekler

✅ Çözüm:
Bu problemde bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülünü kullanacağız.

• 👉 Noktanın koordinatları: \( (x_0, y_0) = (2, 3) \)
• 👉 Doğrunun denklemi: \( Ax + By + C = 0 \) formunda \( 3x + 4y - 5 = 0 \)
• Bu durumda \( A = 3 \), \( B = 4 \) ve \( C = -5 \) olur.

💡 Bir noktanın doğruya olan uzaklık formülü: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\[ d = \frac{|3 \cdot (2) + 4 \cdot (3) + (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|6 + 12 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|13|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{13}{5} \]
Sonuç olarak, \( A(2, 3) \) noktasının \( 3x + 4y - 5 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı \( \frac{13}{5} \) birimdir.

✅ Çözüm:
Doğru denklemini önce \( Ax + By + C = 0 \) genel formuna getirmeliyiz.

• 👉 Doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \)
• Bu denklemi \( Ax + By + C = 0 \) formuna dönüştürelim:
• \( 2x - y + 1 = 0 \)
• Şimdi \( A = 2 \), \( B = -1 \) ve \( C = 1 \) değerlerini elde ettik.
• 👉 Noktanın koordinatları: \( (x_0, y_0) = (-1, 5) \)

💡 Bir noktanın doğruya olan uzaklık formülünü hatırlayalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Değerleri formülde yerine yazalım:
\[ d = \frac{|2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (5) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|-2 - 5 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} \] \[ d = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} \] \[ d = \frac{6}{\sqrt{5}} \]
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{5} \) ile çarparsak:
\[ d = \frac{6\sqrt{5}}{5} \]
Sonuç olarak, \( P(-1, 5) \) noktasının \( y = 2x + 1 \) doğrusuna olan uzaklığı \( \frac{6\sqrt{5}}{5} \) birimdir.

✅ Çözüm:
Bu problemde noktamız orijin olduğu için \( x_0 \) ve \( y_0 \) değerleri sıfır olacaktır.

• 👉 Noktanın koordinatları: \( (x_0, y_0) = (0, 0) \)
• 👉 Doğrunun denklemi: \( 5x - 12y + 26 = 0 \)
• Bu durumda \( A = 5 \), \( B = -12 \) ve \( C = 26 \) olur.

💡 Uzaklık formülünü kullanalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Değerleri formülde yerine yazalım:
\[ d = \frac{|5 \cdot (0) - 12 \cdot (0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \] \[ d = \frac{|0 - 0 + 26|}{\sqrt{25 + 144}} \] \[ d = \frac{|26|}{\sqrt{169}} \] \[ d = \frac{26}{13} \] \[ d = 2 \]
Sonuç olarak, orijin noktasının \( 5x - 12y + 26 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı \( 2 \) birimdir.

✅ Çözüm:
Bu problemde uzaklık değeri verilmiş, bizden doğru denklemindeki bilinmeyen bir katsayıyı bulmamız isteniyor.

• 👉 Noktanın koordinatları: \( (x_0, y_0) = (1, -2) \)
• 👉 Doğrunun denklemi: \( 4x + 3y + k = 0 \)
• Bu durumda \( A = 4 \), \( B = 3 \) ve \( C = k \) olur.
• 👉 Uzaklık: \( d = 3 \) birim.

💡 Uzaklık formülünü kullanarak \( k \) değerini bulalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\[ 3 = \frac{|4 \cdot (1) + 3 \cdot (-2) + k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \] \[ 3 = \frac{|4 - 6 + k|}{\sqrt{16 + 9}} \] \[ 3 = \frac{|-2 + k|}{\sqrt{25}} \] \[ 3 = \frac{|k - 2|}{5} \]
Şimdi denklemi çözerek \( k \) değerlerini bulalım:
\[ |k - 2| = 3 \cdot 5 \] \[ |k - 2| = 15 \] Mutlak değerin tanımı gereği iki durum vardır:

• Durum 1: \( k - 2 = 15 \)
• \( k = 15 + 2 \)
• \( k_1 = 17 \)

• Durum 2: \( k - 2 = -15 \)
• \( k = -15 + 2 \)
• \( k_2 = -13 \)

\( k \) sayısının alabileceği değerler \( 17 \) ve \( -13 \)'tür. Bu değerlerin toplamı:
\[ k_1 + k_2 = 17 + (-13) = 4 \]
Sonuç olarak, \( k \) sayısının alabileceği değerler toplamı \( 4 \)'tür.

✅ Çözüm:
Evin yola olan en kısa uzaklığı, noktanın doğruya olan dik uzaklığı anlamına gelir. Bu da bir noktanın doğruya olan uzaklığı formülü ile hesaplanır.

• 👉 Evin konumu (nokta): \( (x_0, y_0) = (1, 4) \)
• 👉 Yolun denklemi (doğru): \( 3x - 4y + 10 = 0 \)
• Bu durumda \( A = 3 \), \( B = -4 \) ve \( C = 10 \) olur.

💡 Uzaklık formülünü kullanalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Değerleri formülde yerine yazalım:
\[ d = \frac{|3 \cdot (1) + (-4) \cdot (4) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|3 - 16 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|-3|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{3}{5} \]
Uzaklık \( \frac{3}{5} \) birimdir. Haritada 1 birim 1 km'ye karşılık geldiği için evin yola olan en kısa uzaklığı \( \frac{3}{5} \) km veya \( 0.6 \) km'dir.

✅ Çözüm:
Geminin fenerden geçtiği en yakın mesafe, fenerin konumunun (noktanın) geminin rotasına (doğruya) olan dik uzaklığıdır. Bu durumu bir noktanın doğruya olan uzaklığı formülü ile çözebiliriz.

• 👉 Deniz fenerinin konumu (nokta): \( (x_0, y_0) = (6, 8) \)
• 👉 Geminin rotası (doğru): \( 3x + 4y - 20 = 0 \)
• Bu durumda \( A = 3 \), \( B = 4 \) ve \( C = -20 \) olur.

💡 Uzaklık formülünü kullanalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Değerleri formülde yerine yazalım:
\[ d = \frac{|3 \cdot (6) + 4 \cdot (8) + (-20)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|18 + 32 - 20|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|30|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{30}{5} \] \[ d = 6 \]
Koordinatlar metre cinsinden olduğu için, geminin fenerden geçtiği en yakın mesafe \( 6 \) metredir.

✅ Çözüm:
İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için, doğrulardan birinin üzerinde bir nokta seçip bu noktanın diğer doğruya olan uzaklığını hesaplarız.

• 👉 \( d_1 \) doğrusu üzerinde bir nokta bulalım. Bunun için \( x = 0 \) alırsak:
• \( 3(0) - 4y + 10 = 0 \)
• \( -4y = -10 \)
• \( y = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
• Yani, \( P(0, \frac{5}{2}) \) noktası \( d_1 \) doğrusu üzerindedir.

Şimdi bu \( P(0, \frac{5}{2}) \) noktasının \( d_2: 3x - 4y - 15 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığını hesaplayalım.

• 👉 Noktanın koordinatları: \( (x_0, y_0) = (0, \frac{5}{2}) \)
• 👉 Doğrunun denklemi: \( 3x - 4y - 15 = 0 \)
• Bu durumda \( A = 3 \), \( B = -4 \) ve \( C = -15 \) olur.

💡 Uzaklık formülünü kullanalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Değerleri formülde yerine yazalım:
\[ d = \frac{|3 \cdot (0) + (-4) \cdot (\frac{5}{2}) + (-15)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|0 - 10 - 15|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|-25|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{25}{5} \] \[ d = 5 \]
Sonuç olarak, paralel doğrular arasındaki uzaklık \( 5 \) birimdir.

💡 Ek Bilgi: İki paralel doğru \( Ax + By + C_1 = 0 \) ve \( Ax + By + C_2 = 0 \) arasındaki uzaklık formülü de şöyledir:
\[ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Bu formülü de kullanarak aynı sonuca ulaşabiliriz:
\[ d = \frac{|10 - (-15)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|10 + 15|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|25|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{25}{5} = 5 \]

✅ Çözüm:
Bu problemde noktanın bir koordinatı bilinmiyor ve uzaklık değeri verilmiş.

• 👉 Noktanın koordinatları: \( (x_0, y_0) = (m, 1) \)
• 👉 Doğrunun denklemi: \( 8x - 6y + 1 = 0 \)
• Bu durumda \( A = 8 \), \( B = -6 \) ve \( C = 1 \) olur.
• 👉 Uzaklık: \( d = \frac{3}{2} \) birim.

💡 Uzaklık formülünü kullanarak \( m \) değerini bulalım: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\[ \frac{3}{2} = \frac{|8 \cdot (m) + (-6) \cdot (1) + 1|}{\sqrt{8^2 + (-6)^2}} \] \[ \frac{3}{2} = \frac{|8m - 6 + 1|}{\sqrt{64 + 36}} \] \[ \frac{3}{2} = \frac{|8m - 5|}{\sqrt{100}} \] \[ \frac{3}{2} = \frac{|8m - 5|}{10} \]
Şimdi denklemi çözerek \( m \) değerlerini bulalım:
\[ 10 \cdot \frac{3}{2} = |8m - 5| \] \[ 15 = |8m - 5| \] Mutlak değerin tanımı gereği iki durum vardır:

• Durum 1: \( 8m - 5 = 15 \)
• \( 8m = 15 + 5 \)
• \( 8m = 20 \)
• \( m_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \)

• Durum 2: \( 8m - 5 = -15 \)
• \( 8m = -15 + 5 \)
• \( 8m = -10 \)
• \( m_2 = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \)

\( m \) sayısının alabileceği değerler \( \frac{5}{2} \) ve \( -\frac{5}{4} \)'tür. Bu değerlerin çarpımı:
\[ m_1 \cdot m_2 = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{25}{8} \]
Sonuç olarak, \( m \) sayısının alabileceği değerler çarpımı \( -\frac{25}{8} \)'dir.