📄 11. Sınıf Matematik: Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir \(P(x_0, y_0)\) noktasının \(ax+by+c=0\) doğrusuna olan uzaklığı \(d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) formülü ile bulunur.
Bu soruda \(A(x_0, y_0) = (1, 2)\) ve doğru denklemi \(3x+4y-5=0\) olduğundan \(a=3\), \(b=4\) ve \(c=-5\) değerlerini formülde yerine koyalım.
\(d = \frac{|3(1)+4(2)-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(d = \frac{|3+8-5|}{\sqrt{9+16}}\)
\(d = \frac{|11-5|}{\sqrt{25}}\)
\(d = \frac{|6|}{5}\)
\(d = \frac{6}{5}\) birimdir.
Buna göre, \(A(1, 2)\) noktasının \(3x+4y-5=0\) doğrusuna olan uzaklığı \(\frac{6}{5}\) birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için, bu doğrulardan birinin üzerinde bir nokta seçip, o noktanın diğer doğruya olan uzaklığını hesaplamamız gerekir. Doğruların genel denklemleri \(Ax+By+C_1=0\) ve \(Ax+By+C_2=0\) şeklinde olduğunda, bu doğrular paraleldir ve aralarındaki uzaklık \(d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) formülüyle de bulunabilir.
Burada \(A=3\), \(B=-4\), \(C_1=10\) ve \(C_2=-15\) değerlerini yerine koyalım.
\(d = \frac{|10-(-15)|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(d = \frac{|10+15|}{\sqrt{9+16}}\)
\(d = \frac{|25|}{\sqrt{25}}\)
\(d = \frac{25}{5}\)
\(d = 5\) birimdir.
Alternatif olarak, \(d_1: 3x-4y+10=0\) doğrusu üzerinde bir nokta seçelim. Örneğin, \(x=0\) için \(-4y+10=0 \Rightarrow 4y=10 \Rightarrow y=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\). Yani \(P(0, \frac{5}{2})\) noktası \(d_1\) üzerindedir.
Bu noktanın \(d_2: 3x-4y-15=0\) doğrusuna olan uzaklığını bulalım:
\(d = \frac{|3(0)-4(\frac{5}{2})-15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(d = \frac{|0-10-15|}{\sqrt{9+16}}\)
\(d = \frac{|-25|}{\sqrt{25}}\)
\(d = \frac{25}{5}\)
\(d = 5\) birimdir.
Her iki durumda da sonuç 5 birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir noktanın doğruya olan uzaklığı formülünü kullanalım: \(d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Verilenler: \(A(x_0, y_0) = (m, 3)\), doğru denklemi \(4x-3y+7=0\) (yani \(a=4\), \(b=-3\), \(c=7\)), uzaklık \(d=2\) birim.
Formülde yerine koyalım:
\(2 = \frac{|4(m)-3(3)+7|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(2 = \frac{|4m-9+7|}{\sqrt{16+9}}\)
\(2 = \frac{|4m-2|}{\sqrt{25}}\)
\(2 = \frac{|4m-2|}{5}\)
Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
\(|4m-2| = 2 \times 5\)
\(|4m-2| = 10\)
Mutlak değer kuralına göre iki durum vardır:
Durum 1: \(4m-2 = 10\)
\(4m = 12\)
\(m = 3\)
Durum 2: \(4m-2 = -10\)
\(4m = -8\)
\(m = -2\)
Buna göre, \(m\) değerlerinin alabileceği değerler \(3\) ve \(-2\) dir.