🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Bir Doğrunun Eğimi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Bir Doğrunun Eğimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(2, 3) ve B(5, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. ⛰️
Çözüm:
Bir doğrunun eğimi, o doğru üzerindeki iki noktanın ordinatları farkının, apsisleri farkına oranı ile bulunur.
Verilen noktalar: A(\(x_1, y_1\)) = (2, 3) ve B(\(x_2, y_2\)) = (5, 9).
Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Değerleri formülde yerine koyalım: \( m = \frac{9 - 3}{5 - 2} \)
Hesaplamayı yapalım: \( m = \frac{6}{3} \)
Sonuç: \( m = 2 \)
Doğrunun eğimi 2'dir. ✅
Örnek 2:
Eğimleri \( m_1 = \frac{1}{3} \) ve \( m_2 = -3 \) olan iki doğrunun birbirine göre durumunu açıklayınız. 📐
Çözüm:
İki doğrunun eğimleri arasındaki ilişki, doğruların birbirine göre durumunu belirler.
Eğer iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'e eşitse, bu doğrular birbirine diktir. \( m_1 \times m_2 = -1 \)
Verilen eğimler: \( m_1 = \frac{1}{3} \) ve \( m_2 = -3 \)
Çarpımlarını hesaplayalım: \( m_1 \times m_2 = \frac{1}{3} \times (-3) \)
Sonuç: \( m_1 \times m_2 = -1 \)
Bu nedenle, eğimleri \( \frac{1}{3} \) ve -3 olan iki doğru birbirine diktir. perpendicular
Örnek 3:
Y eksenini (0, 4) noktasında kesen ve eğimi -2 olan doğrunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
Bir doğrunun eğim-kesen denklemi \( y = mx + n \) şeklindedir. Burada \( m \) doğrunun eğimi ve \( n \) ise y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
Verilen eğim: \( m = -2 \)
Y eksenini kestiği nokta: (0, 4). Bu noktada \( n = 4 \) olur.
Denklemi oluşturalım: \( y = (-2)x + 4 \)
Sadeleştirilmiş denklem: \( y = -2x + 4 \)
Doğrunun denklemi \( y = -2x + 4 \) olur. 👍
Örnek 4:
Eğim açısı \( 135^\circ \) olan bir doğrunun eğimini bulunuz. 🧭
Çözüm:
Bir doğrunun eğim açısı \( \alpha \) ise, doğrunun eğimi \( m = \tan(\alpha) \) formülü ile bulunur.
Verilen eğim açısı: \( \alpha = 135^\circ \)
Eğim hesaplaması: \( m = \tan(135^\circ) \)
Trigonometrik değer: \( \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) \)
Sonuç: \( m = -1 \)
Eğimi -1'dir. 💡
Örnek 5:
Bir rampanın eğimi, yatayda 10 metre ilerlediğinde dikeyde 2 metre yükselmesi anlamına gelmektedir. Bu rampanın eğim açısı yaklaşık kaç derecedir? ( \( \tan(12.5^\circ) \approx 0.22 \) olduğunu varsayalım.) 🚶♂️
Çözüm:
Rampanın eğimi, dikey yükselişin yatay mesafeye oranıdır.
Dikey yükseliş: 2 metre
Yatay mesafe: 10 metre
Rampanın eğimi: \( m = \frac{\text{Dikey Yükseliş}}{\text{Yatay Mesafe}} = \frac{2}{10} = 0.2 \)
Eğim açısı \( \alpha \) için \( \tan(\alpha) = m \) olduğunu biliyoruz.
Yani, \( \tan(\alpha) = 0.2 \)
Soruda verilen bilgiye göre, \( \tan(12.5^\circ) \approx 0.22 \) idi. Bizim eğimimiz 0.2 olduğu için, eğim açısı \( 12.5^\circ \) civarında olacaktır. Daha hassas bir hesaplama için hesap makinesi gerekebilir ancak verilen seçenekler arasında en yakın değer budur.
Rampanın eğim açısı yaklaşık \( 12.5^\circ \) civarındadır. 📈
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken zemin eğimini hesaplamak zorundadır. Eğer temel, 20 metre uzunluğunda ve 0.5 metre yüksekliğinde bir eğime sahip olacaksa, bu temelin eğimi kaç olur? 🏗️
Çözüm:
Zemin eğimi, dikeydeki değişim miktarının yataydaki değişim miktarına oranıdır.
Dikey değişim (yükseklik): 0.5 metre
Yatay değişim (uzunluk): 20 metre
Temelin eğimi: \( m = \frac{\text{Dikey Değişim}}{\text{Yatay Değişim}} \)
Değerleri yerine koyalım: \( m = \frac{0.5}{20} \)
Hesaplamayı yapalım: \( m = \frac{1/2}{20} = \frac{1}{40} \)
Ondalık olarak ifade edersek: \( m = 0.025 \)
Bu temelin eğimi 0.025'tir. Bu, her 40 metrede 1 metre yükselme anlamına gelir. 📏
Örnek 7:
Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğrunun kesiştiği nokta P(3, 5) ise ve \( m_1 = 2 \) ise, \( m_2 = -1 \) olduğunda diğer doğrunun denklemini bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimini ve geçtiği bir noktayı bilmemiz gerekir.
İkinci doğru \( d_2 \) olsun. Bu doğrunun eğimi \( m_2 = -1 \) olarak verilmiş.
Doğrunun geçtiği nokta P(3, 5). Bu noktada \( x_0 = 3 \) ve \( y_0 = 5 \) olur.
Nokta-eğim formülü: \( y - y_0 = m(x - x_0) \)
Değerleri formülde yerine koyalım: \( y - 5 = -1(x - 3) \)
Denklemi düzenleyelim: \( y - 5 = -x + 3 \)
\( y \) yalnız bırakılırsa: \( y = -x + 3 + 5 \)
Sonuç: \( y = -x + 8 \)
Diğer doğrunun denklemi \( y = -x + 8 \) olur. 🔑
Örnek 8:
Eğim açısı \( 45^\circ \) olan bir doğrunun denklemi \( y = x + 5 \) ise, bu doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulunuz. ➕
Çözüm:
Bir doğrunun denklemi \( y = mx + n \) şeklinde verildiğinde, \( m \) eğimi ve \( n \) ise y eksenini kestiği noktanın ordinatını gösterir.
Verilen doğrunun denklemi: \( y = x + 5 \)
Bu denklemde \( m = 1 \) ve \( n = 5 \) olur.
Eğim açısı \( \alpha \) için \( \tan(\alpha) = m \) olduğunu biliyoruz. \( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğu için, verilen denklemin eğimi \( 45^\circ \) ile uyumludur.
Y eksenini kestiği noktanın ordinatı \( n \) olduğundan, bu nokta (0, n) yani (0, 5)'tir.
Doğrunun y eksenini kestiği nokta (0, 5)'tir. 🎯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-bir-dogrunun-egimi/sorular