🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda İçten Bölen Noktanın Koordinatları Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda İçten Bölen Noktanın Koordinatları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
A \( (1, 3) \) ve B \( (7, 15) \) noktalarını birleştiren AB doğru parçasını, \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \) oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu tür sorularda, C noktasının koordinatlarını bulmak için içten bölme formülünü kullanırız.
- 📌 Formül Hatırlatma: A\( (x_A, y_A) \) ve B\( (x_B, y_B) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{k_1}{k_2} \) oranında içten bölen C\( (x_C, y_C) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur: \[ x_C = \frac{k_2 x_A + k_1 x_B}{k_1 + k_2} \] \[ y_C = \frac{k_2 y_A + k_1 y_B}{k_1 + k_2} \]
- 👉 Verilenler: A\( (1, 3) \), B\( (7, 15) \) ve \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \). Buradan \( k_1 = 1 \) ve \( k_2 = 2 \) olarak alabiliriz.
- ✅ C noktasının x koordinatını hesaplayalım: \[ x_C = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 7}{1 + 2} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]
- ✅ C noktasının y koordinatını hesaplayalım: \[ y_C = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 15}{1 + 2} = \frac{6 + 15}{3} = \frac{21}{3} = 7 \]
- Sonuç olarak, C noktasının koordinatları \( (3, 7) \) olarak bulunur.
Örnek 2:
P \( (-2, 5) \) ve R \( (8, -5) \) noktaları veriliyor. PR doğru parçasını P noktasından başlayarak \( \frac{1}{4} \) oranında içten bölen S noktasının koordinatlarını bulunuz. (Yani, \( |PS| = \frac{1}{4} |PR| \).) 🧐
Çözüm:
Soruda verilen oran, genellikle \( \frac{|PS|}{|SR|} \) şeklinde değil, tüm doğru parçasının bir oranı olarak verilmiştir. Bu durumda önce \( \frac{|PS|}{|SR|} \) oranını bulmalıyız.
- 📌 Verilen: \( |PS| = \frac{1}{4} |PR| \). Bu demektir ki PR doğru parçasını 4 eşit parçaya bölersek, PS uzunluğu bu parçalardan birine eşittir.
- Eğer \( |PS| = \frac{1}{4} |PR| \) ise, o zaman \( |SR| = |PR| - |PS| = |PR| - \frac{1}{4} |PR| = \frac{3}{4} |PR| \) olur.
- Şimdi oranımızı bulabiliriz: \( \frac{|PS|}{|SR|} = \frac{\frac{1}{4} |PR|}{\frac{3}{4} |PR|} = \frac{1}{3} \).
- Yani, \( k_1 = 1 \) ve \( k_2 = 3 \) olarak alabiliriz. Noktalarımız P\( (-2, 5) \) ve R\( (8, -5) \).
- ✅ S noktasının x koordinatını hesaplayalım: \[ x_S = \frac{3 \cdot (-2) + 1 \cdot 8}{1 + 3} = \frac{-6 + 8}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- ✅ S noktasının y koordinatını hesaplayalım: \[ y_S = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot (-5)}{1 + 3} = \frac{15 - 5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]
- Sonuç olarak, S noktasının koordinatları \( \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \) olarak bulunur.
Örnek 3:
K \( (a, 4) \) ve L \( (9, -2) \) noktaları veriliyor. KL doğru parçasını \( \frac{|KM|}{|ML|} = 2 \) oranında içten bölen M noktasının koordinatları \( (7, 0) \) olduğuna göre, 'a' değerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruda, bölme noktasının koordinatları ve oran verilmişken, başlangıç noktalarından birinin bilinmeyen koordinatını bulmamız isteniyor.
- 📌 Verilenler: K\( (a, 4) \), L\( (9, -2) \), M\( (7, 0) \) ve \( \frac{|KM|}{|ML|} = 2 \). Buradan \( k_1 = 2 \) ve \( k_2 = 1 \) olarak alabiliriz.
- C noktasının x koordinatı için formülü kullanalım: \[ x_M = \frac{k_2 x_K + k_1 x_L}{k_1 + k_2} \]
- Verilen değerleri formüle yerine yazalım: \[ 7 = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 9}{2 + 1} \] \[ 7 = \frac{a + 18}{3} \]
- Denklemi 'a' için çözelim:
\( 7 \cdot 3 = a + 18 \)
\( 21 = a + 18 \)
\( a = 21 - 18 \)
\( a = 3 \) - ✅ 'a' değeri 3 olarak bulunur. (M noktasının y koordinatını kontrol etmek isterseniz: \( y_M = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{2 + 1} = \frac{4 - 4}{3} = \frac{0}{3} = 0 \). Bu da doğru, yani y koordinatı tutarlı.)
Örnek 4:
Bir doğru parçası üzerinde bulunan D noktası \( (5, 6) \) ve E noktası \( (x, y) \) veriliyor. F noktası \( (7, 8) \), DE doğru parçasını \( \frac{|DF|}{|FE|} = \frac{2}{1} \) oranında içten böldüğüne göre, E noktasının koordinatlarını bulunuz. 🎯
Çözüm:
Bu problemde, başlangıç noktalarından biri bilinmiyor. Bölme noktasının ve diğer başlangıç noktasının koordinatları ile oran verilmiş.
- 📌 Verilenler: D\( (5, 6) \), F\( (7, 8) \) ve \( \frac{|DF|}{|FE|} = \frac{2}{1} \). Buradan \( k_1 = 2 \) ve \( k_2 = 1 \) olarak alabiliriz. E noktasının koordinatları \( (x_E, y_E) \) olsun.
- F noktasının x koordinatı için formülü kullanalım: \[ x_F = \frac{k_2 x_D + k_1 x_E}{k_1 + k_2} \]
- Verilen değerleri formüle yerine yazalım: \[ 7 = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot x_E}{2 + 1} \] \[ 7 = \frac{5 + 2x_E}{3} \]
- Denklemi \( x_E \) için çözelim:
\( 7 \cdot 3 = 5 + 2x_E \)
\( 21 = 5 + 2x_E \)
\( 16 = 2x_E \)
\( x_E = 8 \) - F noktasının y koordinatı için formülü kullanalım: \[ y_F = \frac{k_2 y_D + k_1 y_E}{k_1 + k_2} \]
- Verilen değerleri formüle yerine yazalım: \[ 8 = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot y_E}{2 + 1} \] \[ 8 = \frac{6 + 2y_E}{3} \]
- Denklemi \( y_E \) için çözelim:
\( 8 \cdot 3 = 6 + 2y_E \)
\( 24 = 6 + 2y_E \)
\( 18 = 2y_E \)
\( y_E = 9 \) - Sonuç olarak, E noktasının koordinatları \( (8, 9) \) olarak bulunur.
Örnek 5:
Koordinat düzleminde, A\( (-4, -6) \) ve B\( (6, 9) \) noktaları veriliyor. AB doğru parçasını, B noktasına uzaklığı A noktasına uzaklığının 3 katı olacak şekilde içten bölen bir C noktası bulunmaktadır. C noktasının koordinatlarını bulunuz. 🌟
Çözüm:
Bu soruda oran doğrudan verilmemiş, metinsel olarak ifade edilmiştir. Oranı doğru bir şekilde kurmak önemlidir.
- 📌 Soruda "B noktasına uzaklığı A noktasına uzaklığının 3 katı" ifadesi geçiyor. Bu, C noktasının B'ye olan uzaklığı \( |CB| \), A'ya olan uzaklığı \( |AC| \) olduğuna göre, \( |CB| = 3|AC| \) anlamına gelir.
- Bu oranı \( \frac{|AC|}{|CB|} \) şeklinde yazarsak: \( \frac{|AC|}{3|AC|} = \frac{1}{3} \) olur.
- Yani, \( k_1 = 1 \) ve \( k_2 = 3 \) olarak alabiliriz. Noktalarımız A\( (-4, -6) \) ve B\( (6, 9) \).
- ✅ C noktasının x koordinatını hesaplayalım: \[ x_C = \frac{3 \cdot (-4) + 1 \cdot 6}{1 + 3} = \frac{-12 + 6}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \]
- ✅ C noktasının y koordinatını hesaplayalım: \[ y_C = \frac{3 \cdot (-6) + 1 \cdot 9}{1 + 3} = \frac{-18 + 9}{4} = \frac{-9}{4} \]
- Sonuç olarak, C noktasının koordinatları \( \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) olarak bulunur.
Örnek 6:
Bir mühendis, iki farklı şehir arasındaki yeni bir otoban projesi için koordinat düzleminde planlama yapmaktadır. Şehir A'nın koordinatları \( (10, 20) \) ve Şehir B'nin koordinatları \( (70, 80) \) olarak belirlenmiştir. Mühendis, otoban üzerinde Şehir A'dan Şehir B'ye doğru gidildikçe, A şehrine olan uzaklığın B şehrine olan uzaklığın yarısı olduğu bir dinlenme tesisi (T noktası) inşa etmeyi planlamaktadır. Bu dinlenme tesisinin koordinatlarını bulunuz. 🛣️
Çözüm:
Bu "Yeni Nesil" problemde, günlük hayattan bir senaryo üzerinden doğru parçasını bölen nokta kavramını kullanacağız. Önemli olan metindeki oranı doğru anlamaktır.
- 📌 T noktasının A şehrine olan uzaklığı \( |AT| \), B şehrine olan uzaklığı \( |TB| \) olarak adlandıralım.
- Soruda "A şehrine olan uzaklığın B şehrine olan uzaklığın yarısı olduğu" belirtilmiştir. Bu ifade, \( |AT| = \frac{1}{2} |TB| \) anlamına gelir.
- Bu oranı \( \frac{|AT|}{|TB|} \) şeklinde düzenlersek: \( \frac{|AT|}{|TB|} = \frac{1}{2} \) olur.
- Yani, \( k_1 = 1 \) ve \( k_2 = 2 \) olarak alabiliriz. Noktalarımız A\( (10, 20) \) ve B\( (70, 80) \).
- ✅ T noktasının x koordinatını hesaplayalım: \[ x_T = \frac{2 \cdot 10 + 1 \cdot 70}{1 + 2} = \frac{20 + 70}{3} = \frac{90}{3} = 30 \]
- ✅ T noktasının y koordinatını hesaplayalım: \[ y_T = \frac{2 \cdot 20 + 1 \cdot 80}{1 + 2} = \frac{40 + 80}{3} = \frac{120}{3} = 40 \]
- Sonuç olarak, dinlenme tesisinin (T noktasının) koordinatları \( (30, 40) \) olarak bulunur.
Örnek 7:
Bir harita üzerinde, Kalesi \( K(2, 10) \) ve Deniz Feneri \( D(12, 0) \) noktaları ile işaretlenmiştir. Bu iki nokta arasında, Kalesi'nden Deniz Feneri'ne doğru gidildiğinde, Kalesi'ne olan uzaklığı Deniz Feneri'ne olan uzaklığının 2 katı olan bir Gözlem Kulesi (G noktası) inşa edilecektir. Gözlem Kulesi'nin koordinatlarını bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu problem de önceki gibi bir "Yeni Nesil" örneğidir. Metinsel ifadeyi matematiksel orana dönüştürmek kilit noktadır.
- 📌 Gözlem Kulesi (G noktası) için, Kalesi'ne olan uzaklığı \( |KG| \) ve Deniz Feneri'ne olan uzaklığı \( |GD| \) olsun.
- Soruda "Kalesi'ne olan uzaklığı Deniz Feneri'ne olan uzaklığının 2 katı" deniyor. Bu, \( |KG| = 2|GD| \) anlamına gelir.
- Bu oranı \( \frac{|KG|}{|GD|} \) şeklinde yazarsak: \( \frac{|KG|}{|GD|} = \frac{2}{1} \) olur.
- Yani, \( k_1 = 2 \) ve \( k_2 = 1 \) olarak alabiliriz. Noktalarımız K\( (2, 10) \) ve D\( (12, 0) \).
- ✅ G noktasının x koordinatını hesaplayalım: \[ x_G = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 12}{2 + 1} = \frac{2 + 24}{3} = \frac{26}{3} \]
- ✅ G noktasının y koordinatını hesaplayalım: \[ y_G = \frac{1 \cdot 10 + 2 \cdot 0}{2 + 1} = \frac{10 + 0}{3} = \frac{10}{3} \]
- Sonuç olarak, Gözlem Kulesi'nin (G noktasının) koordinatları \( \left(\frac{26}{3}, \frac{10}{3}\right) \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Bir aydınlatma firması, uzun bir koridorun iki ucuna yerleştirilmiş A ve B lambaları arasına, koridoru daha eşit aydınlatmak amacıyla ek bir C lambası yerleştirmeyi planlamaktadır. A lambasının başlangıç noktasından uzaklığı 3 metre, B lambasının uzaklığı ise 15 metredir (koridorun başlangıcını 0 kabul edelim, yani A(3) ve B(15)). C lambasını, A lambasına olan uzaklığının B lambasına olan uzaklığına oranı 1:2 olacak şekilde yerleştirmek istiyorlar. C lambasının başlangıç noktasından uzaklığı kaç metre olmalıdır? (Bu durumu tek boyutlu bir doğru parçası üzerinde düşününüz.) 💡📏
Çözüm:
Bu örnek, koordinatları tek boyutlu (sadece x ekseni üzerinde) düşünerek konuyu günlük hayata uyarlamaktadır. Mantık iki boyutlu durumla aynıdır.
- 📌 Tek boyutlu düzlemde, A noktasının koordinatı \( x_A = 3 \), B noktasının koordinatı \( x_B = 15 \) olarak veriliyor. C noktasının koordinatı \( x_C \) olsun.
- Verilen oran \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \). Buradan \( k_1 = 1 \) ve \( k_2 = 2 \) olarak alabiliriz.
- C noktasının koordinatını (yani başlangıçtan uzaklığını) bulmak için tek boyutlu içten bölme formülünü kullanalım: \[ x_C = \frac{k_2 x_A + k_1 x_B}{k_1 + k_2} \]
- Verilen değerleri formüle yerine yazalım: \[ x_C = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 15}{1 + 2} \] \[ x_C = \frac{6 + 15}{3} \] \[ x_C = \frac{21}{3} \] \[ x_C = 7 \]
- ✅ Sonuç olarak, C lambasının başlangıç noktasından uzaklığı 7 metre olmalıdır. Bu, lambanın A ve B lambaları arasında, A'ya 4 metre, B'ye 8 metre uzaklıkta olduğu anlamına gelir, yani oran 4:8 = 1:2'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-bir-dogru-parcasini-belli-bir-oranda-icten-bolen-noktanin-koordinatlari/sorular